2023年高二(上)数学期末试卷一下卷 北师大版

北师大版高二（上）数学期末试卷一
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三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝3a n﹣3．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n＝log3a n，，求数列{c n}的前n项和T n．
18．（12分）设a＞0，，a1＝1，a n+1＝f（a n）n∈N+．
（1）求a2，a3，a4的值，猜想数列{a n}的通项公式；
（2）试证明通项公式的正确性．（用数学归纳法证明）
19．（12分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，P（1，t）是抛物线上一点，且|PF|＝2．（1）求抛物线C的方程；
（2）直线l与抛物线C交于A，B两点，若•＝﹣4（O为坐标原点），则直线l是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．
20．（12分）已知a∈R，命题p：函数的定义域为R；命题q；关于x的不等式x2﹣ax+1≤0在上有解．
（Ⅰ）若命题p是真命题，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
21．（12分）（1）已知双曲线＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P（x1，y1），点Q（x1，
﹣y1）是双曲线＝1上不同的两个动点，求直线A1P与直线A2Q的交点的轨迹E的方程；
（2）设直线l1：y＝k1x+2交轨迹E于C、D两点，且直线l1与直线l2：y＝k2x交于点F，若k1k2＝﹣，试证明F为CD的中点．
22．（12分）已知椭圆经过如下四个点中的三个，，P2
（0，1），，．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆经过椭圆M的右顶点C，求△ABC 面积的最大值．
北师大版高二（上）数学期末试卷一
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参考答案与试题解析
三、填空题
13.【解答】解：因为函数f（x）可导，所以
＝．故答案为：．
14.【解答】解：若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，即
“∃x∈[，2]，使得λ＞2x+成立”是假命题，
由x∈[，2]，当x＝时，函数y＝2x+≥2＝2，
取最小值2；
所以实数λ的取值范围为（﹣∞，2
]．故答案为：（﹣∞，2]．
15.【解答】解：由的解集为（﹣1，﹣），得的解集
为（﹣1，﹣），即的解集为．
故答案为：
16.【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
设AA1＝2AB＝2AC＝2，BM＝a，CN＝b，
则A（0，0，0），B（1，0，0），M（1，0，a），N（0，1，b），＝
（1，0，a），＝（0，1，b），
设平面AMN的法向量＝（x，y，z），
由，取z＝1，得＝（﹣a，﹣b，1），
平面ABC的法向量＝（0，0，1），
∵平面AMN与平面ABC所成（锐）二面角为，
∴cos＝＝，
得a2+b2＝3，
∴当B1M|最小时，BM＝a最大，此时a＝，b＝0，
∴tan∠AMB＝，
∴∠AMB＝．
故答案为：．
三、解答题
17．【解答】解：（Ⅰ）当n＝1时，2a1＝2S1＝3a1﹣3，∴a1＝3，
当n≥2时，2a n＝2S n﹣2S n﹣1＝（3a n﹣3）﹣（3a n﹣1﹣3）即：
，
∴数列{a n}为以3为首项，3为公比的等比数列．
∴
（Ⅱ）由b n＝log3a n，
得
则，
．
18．【解答】解：（1）a1＝1，，a n+1＝f（a n）n∈N+，∴，
，
，
猜想数列{a n}的通项公式为；
证明：（2）①当n＝1时，，猜想正确；
②假设n＝k（k≥1且k∈N+）时，猜想成立，即，
当n＝k+1时，a k+1＝f（a k）＝＝
．即n＝k+1时，猜想成立．
由①②知，对于任何n∈N+时，都有．
19.【解答】解：（1）由抛物线的定义知|PF|＝1+＝2，∴p＝2，
∴抛物线C的方程为：y2＝4x．
（2）设AB的方程为：x＝my+n，代入y2＝4x有y2﹣4my﹣4n＝0，设
A（x1，y1），B（x2，y2），则y1•y2＝﹣4n，
∴x1•x2＝，
∴＝x1•x2+y1•y2＝n2﹣4n＝﹣4，
∴n＝2，
∴AB的方程为：x＝my+2，恒过点N（2，0）．
20.【解答】解：（1）命题p：函数的定义域为R；当
p为真时，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，
①当a＝0，不等式化为0x2+0x+1＞0，符合题意．
②当a≠0时，有a＞0，且△＝a2﹣4a＜0故0＜a＜4，即
当p真时有0≤a＜4．
（2）命题q；关于x的不等式x2﹣ax+1≤0在上有解．由
题意知当q为真时，在上有解．
令，则y＝g（x）在上递减，在[1，2]上递增，所
以a≥g（x）min＝g（1）＝2
所以当q假时，a＜2，
由（1）知当p假时a＜0或a≥4，又
因为p∨q为真，p∧q为假，
所以或，
即a的取值范围是[0，2）∪[4，+∞）．
21.【解答】（1）解：由已知得，，则
①
②
①×②得，又
．得．
（2）证明：得，
由韦达定理得，
设CD的中点G（x，y），
则，，
联立，得，，，
解得，，，
则点F与点G重合，知F为CD的中点．
2.【解答】（Ⅰ）由题意，点P1（﹣，）与点P3（，）关于原点对称，根
据椭圆的对称性且椭圆过其中三个点可知，
点P1（﹣，）和点P3（，）都在椭圆上，
又因为P3（，）与点P4（，1）不可能同时在椭圆上，即
椭圆过点P1（﹣，），P3（，），P2（0，1），
所以+＝1，且+＝1，
故a2＝4，b2＝1，
所以椭圆的方程为+y2＝1．
（Ⅱ）由题意，可设直线AB的方程为x＝ky+m（m≠2），联
立，得（k2+4）y2+2kmy+m2﹣4＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则由y1+y2＝，y1y2＝，①
又以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，
所以•＝0，
所以（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝0，
将x1＝ky1+m，x2＝ky2+m代入上式可得，
（k2+1）y1y2+k（m﹣2）（y1+y2）+（m﹣2）2＝0，
将①代入上式可得m＝或m＝2（舍），则
直线l恒过点D（，0），
＝|DC||y1﹣y2|＝×＝，所以S
△ABC
设t＝（0＜t≤），
则S△ABC＝在t∈（0，]上单调递增，所
以当t＝时，S△ABC取得最大值．。