人教版八年级数学下册二次根式全章复习与巩固(提高)典型例题讲解+练习及答案.doc
新人教版初中数学八年级下册二次根式混合运算立体解析+巩固练习及答案-精品试卷
二次根式混合运算四、典题探究 例1 计算（1）])251()251[(5122--+（2）3232353135-+---+（3）6)23()23(÷+++÷b例2 （1）化简)23)(36(23346++++（2）先化简再求值。
abb a a b ab b a b a b a -÷-++-+])())((4[，其中a=3，b=4例3 已知2323,2323-+=+-=y x 求代数式22353y xy x +-的值例4 设2611-的整数部分为x ，小数部分为y ，求yy x 2++的值。
五、演练方阵A 档（巩固专练）1． 已知223-=x ，y 是x 的倒数，则22xy y x -的值为 2． 已知2323,2323-+=+-=y x ，则22y x +的值为3．若ym y 1+=，则y y 21+的结果为4． 若22+=a a ，则=+aa 1 5．已知75+的小数部分为a ，75-的小数部分为b ，则ab+5b= 6．化简yx y x xy xy yx 2)2(-+⋅⋅-=7.计算)6223()6322(+÷-8.计算73271031046+----9．)35)(32(5322++++10已知351,351+=-=y x ，求下列各式的值（1）225y xy x +- （2）yx y x yx y x +---+B 档（提升精练）11．比较大小：－721_________－341．12．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 13．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．14．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222dc abd c ab +-＝______．15．已知233x x +＝－x3+x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0 16．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y 17．若0＜x ＜1，则4)1(2+-xx －4)1(2-+xx 等于………………………（ ）（A ）x2 （B ）－x2 （C ）－2x （D ）2x 18．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………（ ） （A ）a -（B ）－a （C ）－a - （D ）a19．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab－b 可变形为………………………………………（ ） （A ）2)(b a +（B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---20.已知23+=-b a ，23-=-c b 求 ac bc ab c b a ---++222的值C 档（跨越导练）21．（235+-）（235--）； 22.1145-－7114-－732+； 23.（a 2mn －mab mn ＋mn nm ）÷a 2b 2mn ；24.（a ＋ba ab b +-）÷（b ab a +＋aab b-－ab b a +）（a ≠b ）．25.已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值． 26.已知21=+xx ，那么191322++-++x x x x x x 的值27．已知x+y=3，xy=2，求x y yx+的值．28．已知a 、b 为实数，且1(1)1a b b +---=0，求a 2008－b 2008的值．29．已知x=5－26，求3x 4－28x 3－17x 2+2x －10的值．30. 若a b S 、、满足357,23a b S a b +==-，求S的最大值和最小值.二次根式混合运算答案（第一课时）四、典题探究例1：解（1）原式1551)251251)(251251(51=⨯=--+-++=（2）原式)32)(32()32()35)(35()35(3)13)(13()13(52+-+-+-+--+-=3425217)347(23152515---=+-+--=（3）原式623236+++=666)23()23)(23()23(6⋅⋅++-+-=3352273312213223-=++-= 例2：（1）解 原式)23)(36()23(3)23)(36(36+++++++=363231+++=263623-=-+-=（2）解原式ba ab b a b a ab b a b a b a ab ab⋅⨯-++--+=]))(()())((4[2ba ab b a b a ab b a -⨯-+--=))(()(2ba ab b a b a ba --=---=+-=1当a=3 b=4时 原式=234334-=-- 例3：解 ∵6252323-=+-=x 6252323+=-+=y∴10625625=++-=+y x 1)625)(625(=+-=xy∵xy xy y x xy y x y xy x 5]2)[(35)(335322222--+=-+=+-xy x 11)1(32-+=将x+y=10，xy=1代入，得 原式2891111032=⨯-⨯=例4：解 222)29()2(182)9(182112611-=+-=-=-2329-=-=通过估算可知23-的整数部全为1，则221)23(-=--=y52223222)22(12=++-=-+-+=++∴y y x 五、演练方阵A 档（巩固专练）1．24- 2．98 3.m 2+2 4．223-5．2 6．x+y7．324313- 8．1 9．22235-+ 10．（1）23，（2）362；B 档（提升精练）11.＜ 12.－7－52． 13.40． 14．ab ＋cd ． 15．D16．C 17．D18．C 19．C 20.11C 档（跨越导练）21.原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215．22.原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．23.原式＝（a 2m n －mab mn ＋m n nm ）·221b a nm＝21b n m m n ⋅－mab1n mm n ⋅＋22b ma n nmn m ⋅＝21b －ab1＋221ba ＝2221b a ab a +-．24.原式＝ba ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a ba ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．25. 解∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴ x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232y x y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652． 26.解∶两边平方得，xx 1++2=4，xx 1+=2，两边同乘以x 得，x 2+1=2x,∴x 2+3x+1=5x, x 2+9x+1=11x. ∴原式=11151-= 55 －1111。
部编数学八年级下册二次根式的应用及探究材料大题专练(培优强化30题)2023复习备考【人教版】含答案
2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.2二次根式的应用及探究材料大题专练（培优强化30题）A卷基础过关卷（限时30分钟，每题10分，满分100分）1．（2022秋•西安月考）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响，g≈10m/s2）．（1）求从60m高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）（2）已知高空坠物动能（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg 的玩具被抛出后经过3s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）【分析】（1）把60m代入公式t＝即可；（2）先根据公式t＝求出h，再代入动能计算公式求出这个玩具产生的动能，即可判断．【解答】解：（1）由题意知h＝60m，∴t＝＝＝2（s），故从60m高空抛物到落地的时间为2s；（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由：当t＝3s时，3＝，∴h＝45，经检验，h＝45是原方程的根，∴这个玩具产生的动能＝10×0.2×45＝90（J）＞65J，∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．【点评】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键．2．（2022春•赣州期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．（1）截出的两块正方形木料的边长分别为 3dm ， 4dm ；（2）求剩余木料的面积；（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出 2 块这样的木条．【分析】（1）由正方形的面积可得边长分别为dm和dm，再对二次根式进行化简即可；（2）矩形的长为7dm，宽为4dm，再求面积即可；（3）剩余木条的长为3dm，宽为dm，再由题意进行截取即可．【解答】解：（1）＝3dm，＝4dm，故答案为：3dm，4dm；（2）矩形的长为3+4＝7（dm），宽为4dm，∴剩余木料的面积＝（7×4）﹣18﹣32＝56﹣18﹣32＝6（dm2）；（3）剩余木条的长为3dm，宽为4﹣3＝（dm），∵3＜3×1.5，＞1，∴能截出2×1＝2个木条，故答案为：2．【点评】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简和运算，矩形的面积公式是解题的关键．3．（2019春•沂水县期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；（2）t2是t1的多少倍？（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？【分析】（1）将h＝50代入t1＝进行计算即可；将h＝100代入t2＝进行计算即可；（2）计算t2与t1的比值即可得出结论；（3）将t＝1.5代入公式t＝进行计算即可．【解答】解：（1）当h＝50时，t1＝＝（秒）；当h＝100时，t2＝＝＝2（秒）；（2）∵＝＝，∴t2是t1的倍．（3）当t＝1.5时，1.5＝，解得h＝11.25，∴下落的高度是11.25米．【点评】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．4．（2019秋•二道区期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．（1）求剩余木料的面积．（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出 2 块这样的木条．【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；（2）求出3和范围，根据题意解答．【解答】解：（1）∵两个正方形的面积分别为18dm2和32dm2，∴这两个正方形的边长分别为3dm和4dm，∴剩余木料的面积为（4﹣3）×3＝6（dm2）；（2）4＜3＜4.5，1＜＜2，∴从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条，故答案为：2．【点评】本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键．5．（2018秋•太仓市期末）若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝（a+b+c）．记：Q＝．（1）当a＝4，b＝5，c＝6时，求Q的值；（2）当a＝b时，设三角形面积为S，求证：S＝Q．【分析】（1）先根据△ABC的三边长求出p的值，然后再代入三角形面积公式中计算；（2）设底边c上的高为h，根据三角形的面积公式得到S＝c•h＝c，代入Q＝得到Q＝c，于是得到结论．【解答】解：（1）∵a＝4，b＝5，c＝6，∴p＝（a+b+c）＝，∴Q＝＝＝；（2）∵a＝b，∴设底边c上的高为h，∴h＝，∴S＝c•h＝c，∵a＝b，∴p＝（a+b+c）＝a+c，∴Q＝＝＝c，∴S＝Q．【点评】本题考查了二次根式的应用，三角形的面积公式，正确的化简二次根式是解题的关键．6．（2019秋•会同县期末）已知长方形的长a＝，宽b＝．（1）求长方形的周长；（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．【分析】首先化简a＝＝2，b＝＝．（1）代入周长计算公式解决问题；（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可．【解答】解：a＝＝2，b＝＝．（1）长方形的周长＝（2+）×2＝6；（2）正方形的周长＝4＝8，∵6＝.8＝，∵＞∴6＞8．【点评】此题考查二次根式的实际运用，掌握二次根式的化简方法以及长方形、正方形的周长与面积计算方法是解决问题的关键．7．（2021春•广陵区校级月考）一个三角形的三边长分别为10、x和．（1）求它的周长（要求结果化简）（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．【分析】（1）利用二次根式的性质进行化简，进而求值计算即可；（2）如果一个二次根式化简后为整数，则被开方数就是一个能开得尽方的数，适当取值即可．【解答】解：（1）因为x＞0，所以三角形的周长为：10+x+＝10×++2＝2++2＝5；（2）当x＝5时，＝5，为整数，此时，三角形的周长为5＝5×5＝25．【点评】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．8．（2021秋•长安区校级期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为8米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为+1米，宽为﹣1米．（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2×（）＝2（8+7）＝16+14（米），答：长方形ABCD的周长是16+14（米），（2）通道的面积＝＝56﹣（13﹣1）＝56（平方米），购买地砖需要花费＝6×（56）＝336﹣72（元）．答：购买地砖需要花费336﹣72元；【点评】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．9．（2022春•海沧区校级期末）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板．（1）求原矩形木板的面积；（2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你计算说明理由．【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；（2）求出2和的范围，根据题意解答．【解答】解：（1）∵两个正方形的面积分别为12dm2和27dm2，∴这两个正方形的边长分别为2dm和3dm，∴原矩形木板的面积为3（2+3）＝45（dm2）；（2）最多能裁出3块这样的木条．理由如下：∵2≈3.464，≈1.732，3.46÷1≈3（块），1.73÷1.5≈1（块），3×1＝3（块）．∴从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能裁出3块这样的木条．【点评】本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键．10．（2022春•沂水县期中）座钟的钟摆摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中r表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），g为重力加速度且g＝9.8m/s2，假如一台座钟的钟摆长为0.5m，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1min内，该座钟发出多少次滴答声？（≈3.16，π取3.14，结果保留整数）【分析】由给出的公式先计算出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到滴答次数．【解答】解：当l＝0.5m，g＝9.8m/s2时，r＝2π＝2π＝2π＝，≈（s），∴在1min 内，该座钟发出滴答声的次数为：60÷1.42≈42，答：在1min 内，该座钟发出约42次滴答声．【点评】本题主要考查了二次根式的应用，计算出钟摆的周期是解决本题的关键．B 卷 能力提升卷（限时50分钟，每题10分，满分100分）11．（2022春•伊宁市校级期末）已知矩形的长为a ，宽为b 且，．（1）求矩形的周长；（2）当S 矩形＝S 正方形时，求正方形的边长m 的值．（注：S 表示面积）【分析】（1）根据矩形的周长＝2×（长+宽），列式计算即可；（2）设正方形的边长为m ，根据S 矩形＝S 正方形，列出方程6×4＝72，解方程求出m 的值．【解答】解：（1）∵矩形的长为a ，宽为b 且＝6，＝4．∴矩形的周长＝2（a +b ）＝2（6+4）＝20；（2）设正方形的边长为x ，则m ＞0．∵S 矩形＝S 正方形，∴m 2＝ab ＝6×4＝72，∴m ＝6（负值舍去），∴正方形的边长m 为6．【点评】本题考查了二次根式的应用，掌握矩形、正方形的周长与面积公式是解题的关键．12．（2022秋•攸县期末）已知长方形长a ＝，宽b ＝．①求长方形的周长；②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系．【分析】①根据周长公式列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；②先求出正方形的边长，再由周长公式求解可得．【解答】解：①长方形的周长为2×（+）＝2×（2+）＝6；②长方形的面积为×＝2×＝6，则正方形的边长为，∴此正方形的周长为4，∵6＝，4＝，且＜，∴6＞4，则长方形的周长大于正方形的周长．【点评】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．13．（2022秋•南昌期末）如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．（1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积；（2）当a＝20+2，b＝20﹣2，x＝，求剩余部分的面积．【分析】（1）用长方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可；（2）根据（1）所列出的式子，再把a＝20+2，b＝20﹣2，x＝代入即可求出答案．【解答】解：（1）剩余部分的面积为：ab﹣4x2；（2）把a＝20+2，b＝20﹣2，x＝代入ab﹣4x2得：（20+2）（20﹣2）﹣4×（）2＝400﹣8﹣4×2＝400﹣8﹣8＝384．【点评】此题主要考查二次根式的应用，用代数式表示正方形、矩形的面积，需熟记公式，且认真观察图形，得出等量关系．14．（2023•源城区开学）如图，B地在A地的正东方向，两地相距km．A，B两地之间有一条东北走向的高速公路，且A，B两地到这条高速公路的距离相等．上午8：00测得一辆在高速公路上行驶的汽车位于A地的正南方向P处，至上午8：20，B地发现该车在它的西北方向Q处，该段高速公路限速为110km/h．问：该车是否超速行驶？【分析】根据题意得到AB＝28，∠P＝45°，∠PAC＝90°，∠ABQ＝45°，则∠ACP＝45°，∠BCQ ＝45°，作AH⊥PQ于H，根据题意有AH＝BQ，再证明△ACH≌△BCQ，得到AC＝BC＝AB＝14，根据等腰直角三角形的性质得PC＝AC＝28，CQ＝＝14，所以PQ ＝PC+CQ＝42，然后根据速度公式计算出该车的速度＝126（km/h），再与110km/h比较即可判断该车超速行驶了．【解答】解：如图，AB＝28，∠P＝45°，∠PAC＝90°，∠ABQ＝45°，∴∠ACP＝45°，∴∠BCQ＝45°，作AH⊥PQ于H，则AH＝BQ，在△ACH和△BCQ中，∴△ACH≌△BCQ（AAS），∴AC＝BC，∴AC＝BC＝AB＝14，∴PC＝AC＝28，CQ＝＝14，∴PQ＝PC+CQ＝42，∴该车的速度＝＝126（km/h）∵126km/h＞110km/h，∴该车超速行驶了．【点评】本题考查了二次根式的应用：二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．15．（2022春•江都区期末）请阅读下列材料：问题：已知，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小明的做法是：根据得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．仿照上述方法解决问题：（1）已知，求代数式x2+6x﹣8的值；（2）已知，求代数式x3+2x2的值．【分析】（1）根据x＝﹣3求出x+3＝，两边平方后求出x2+6x+9＝10，求出x2+6x＝1，再代入求出答案即可；（2）根据x＝求出2x+1＝，两边平方求出4x2+4x+1＝5，求出x2+x＝1，再变形后代入，即可求出答案．【解答】解：（1）∵x＝﹣3，∴x+3＝，两边平方得：（x+3）2＝10，即x2+6x+9＝10，∴x2+6x＝1，∴x2+6x﹣8＝1﹣8＝﹣7；（2）∵x＝，∴2x＝﹣1，∴2x+1＝，两边平方，得（2x+1）2＝5，即4x 2+4x +1＝5，∴4x 2+4x ＝4，即x 2+x ＝1，∴x 3+2x 2＝x 3+x 2+x 2＝x （x 2+x ）+x 2＝x ×1+x 2＝x +x 2＝1．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，整式的加减等知识点，能够整体代入是解此题的关键．16．（2016春•泰州校级期末）（1）阅读：若一个三角形的三边长分别为a 、b 、c ，设，则这个三角形的面积为．（2）应用：如图1，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，BC ＝4，求△ABC 面积．（3）引申：如图2，在（2）的条件下，AD 、BE 分别为△ABC 的角平分线，它们的交点为I ，求：I 到AB 的距离．【分析】（2）先根据三边长度求出p 的值，再代入公式计算可得；（3）过点I 作IF ⊥AB 、IG ⊥AC 、IH ⊥BC ，由角平分线性质可得IF ＝IH ＝IG ，再根据S △ABC ＝S △ABI +S △ACI +S △BCI 即可求得IF 的长．【解答】解：（1）如图：在△ABC中，过A作高AD交BC于D，设BD＝x，那么DC＝a﹣x，由于AD是△ABD、△ACD的公共边h2＝c2﹣x2＝b2﹣（a﹣x）2，解出x得x＝，于是h＝，△ABC的面积S＝ah＝a即S＝，令p＝（a+b+c），对被开方数分解因式，并整理得到；（2）由题意，得：a＝4，b＝5，c＝6；∴p＝＝；∴S＝＝＝，故△ABC的面积是；（3）如图，过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H，∵AD 、BE 分别为△ABC 的角平分线，∴IF ＝IH ＝IG ，∵S △ABC ＝S △ABI +S △ACI +S △BCI ，即＝×6•IF +×5•IG +×4•IH ，∴3•IF +•IF +2•IF ＝，解得IF ＝，故I 到AB 的距离为．【点评】本题主要考查三角形面积的计算和角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．17．（2022春•武江区校级期末）请阅读下列材料：问题：已知x ＝+2，求代数式x 2﹣4x ﹣7的值．小敏的做法是：根据x ＝+2得（x ﹣2）2＝5，∴x 2﹣4x +4＝5，得：x 2﹣4x ＝1．把x 2﹣4x 作为整体代入：得x 2﹣4x ﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：（1）已知x ＝﹣2，求代数式x 2+4x ﹣10的值；（2）已知x ＝，求代数式x 3+x 2+1的值．【分析】（1）根据完全平方公式求出x 2+4x ＝1，代入计算即可；（2）根据二次根式的乘法法则、完全平方公式计算，答案．【解答】解：（1）∵x ＝﹣2，∴（x +2）2＝5，∴x 2+4x +4＝5，∴x 2+4x ＝1，∴x 2+4x ﹣10＝1﹣10＝﹣9；（2）∵x ＝，∴x2＝（）2＝，则x3＝x•x2＝×＝﹣2，∴x3+x2+1＝﹣2++1＝．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、二次根式的乘法法则是解题的关键．18．（2021春•石城县期末）在二次根式中如：，＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4﹣的有理化因式可以是 4+ ，分母有理化得 ．（2）计算：①已知x＝，求x2+y2的值；②．【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果．②原式各项分母有理化，合并即可得到结果．【解答】解：（1）4﹣的有理化因式可以是4+，＝＝．故答案为：4+，；（2）①当x＝＝＝＝2+，y＝＝＝＝2﹣时，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（2++2﹣）2﹣2×（2+）×（2﹣）＝14．②原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1．【点评】此题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．19．（2021秋•洪江市期末）阅读并解答问题：＝＝；＝＝；＝＝2﹣；……上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：（1）将的分母有理化；（2）已知a＝，b＝，求a+b的值；（3）计算+…++．【分析】（1）利用平方差公式进行二次根式分母有理化计算；（2）先利用平方差公式进行分母有理化计算，从而化简a和b的值，然后代入求值；（3）利用平方差公式进行分母有理化计算，然后通过观察数字变化的规律进行分析计算．【解答】解：（1）原式＝＝﹣2；（2）a＝＝﹣，b＝＝，∴a+b＝＝2；（3）原式＝++...++＝﹣1+﹣+...+﹣+﹣＝10﹣1＝9．【点评】本题考查二次根式的分母有理化计算，理解二次根式的性质，掌握平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题关键．20．（2022秋•昌平区期中）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式．（1）下列式子中①，②，③， ③ 是根分式（填写序号即可）；（2）写出根分式中x的取值范围 x≥1且x≠2 ；（3）已知两个根分式，．①若M2﹣N2＝1，求x的值；②若M2+N2是一个整数，且x为整数，请直接写出x的值： 1 ．【分析】（1）根据根分式的定义进行判断即可；（2）根据二次根式的定义，分式有意义的条件进行分析即可；（3）①对式子进行化简，再进行求解即可；②对式子进行化简，结合分式有意义的条件及二次根式的定义进行求解即可．【解答】解：（1）①不是根分式，②不是根分式，③是根分式，故答案为：③；（2）由题意得：x﹣1≥0，x﹣2≠0，解得：x≥1，x≠2，故x的取值范围是：x≥1且x≠2；故答案为：x≥1且x≠2；（3）当，时，①M2﹣N2＝1，（）2﹣（）2＝1，，，解得：x＝1，经检验，x＝1是原方程的解；②M2+N2＝（）2+（）2＝+＝＝＝1+，∵M2+N2是一个整数，且x为整数，∴是一个整数，∴x﹣2＝±1，解得：x＝3或1，经检验，x＝1符合题意，故答案为：1．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，分式有意义的条件，二次根式的定义，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．C卷培优压轴卷（限时80分钟，每题10分，满分100分）21．（2022•南京模拟）请阅读下面材料，并解决问题：海伦——秦九韶公式海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记那么三角形的面积．这个公式称为海伦公式．秦九韶（约1202﹣1261年），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式．它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一个公式，所以海伦公式也称海伦﹣秦九韶公式．问题：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BC＝8，请用海伦一秦九韶公式求△ABC的面积．【分析】已知三角形ABC的三边为整数，直接将其带入海伦公式求面积即可．【解答】解：根据材料，得a＝6，b＝7，c＝8，∴，∴＝＝＝．【点评】本题考查二次根式的应用，解题的关键是通过阅读理解材料中所给的定义以及概念，再运用材料中的知识点解决对应的问题即可．22．（2021秋•叙州区期末）已知△ABC三条边的长度分别是，，，记△ABC ．的周长为C△ABC（1）当x＝2时，△ABC的最长边的长度是（请直接写出答案）；（用含x的代数式表示，结果要求化简）；（2）请求出C△ABC（3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S＝．其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．若x为整数，当C取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．△ABC【分析】（1）把x＝2代入三角形的三边中，分别计算，比较后即可求解；（2）把三角形的三边求和，利用二次根式的性质化简即可求解；（3）先根据x的取值范围，确定三角形周长的最大值及三角形各边的长，代入公式求出三角形的面积．【解答】解：（1）当x＝2时，＝，，，∴△ABC的最长边的长度是3；（2）由题知：，解得﹣1≤x≤4．∴，，＝++＝+5−x+x＝+5；∴C△ABC（3）∵C＝+5，﹣1≤x≤4，且x为整数，△ABC越大，∴x越大C△ABC∴当x＝4时，C取得最大值，此时三边为，1，4，△ABC∵+1＜4，∴不合题意舍去．当x＝3时，三边为2，2，3，∴S＝＝＝＝．【点评】本题主要考查了二次根式，掌握三角形的三边关系和二次根式的化简和性质是解决本题的关键．23．（2022秋•南山区校级期中）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．例如：＝＝＝＝1+．解决问题：（1）在括号内填上适当的数：＝＝③①： 5 ，②： ，③ 3+ ．（2）根据上述思路，化简并求出+的值．【分析】（1）模仿样例进行解答便可；（2）把28看成，7看成，借助完全平方公式将每个根号内化成完全平方数的形式，便可开方计算得结果．【解答】解：（1）由题意得，＝＝3+，则①＝5，②＝，③＝3+，故答案为：①5；②；③3+；（2）+＝＝＝5﹣＝7．【点评】本题考查了二次根式的性质，完全平方式的应用，关键是把被开方数化成完全平方数．24．（2022秋•临汾期中）阅读与思考阅读下列材料，并完成相应的任务：法国数学家爱德华•卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第n项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第n个数F（n）可以表示为+，其中n≥1．（说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列）任务：（1）卢卡斯数列中的第1个数F（1）＝ 2 ，第2个数F（2）＝ 1 ；（2）卢卡斯数列有一个重要特征：当n≥3时，满足F（n）＝F（n﹣﹣1）+F（n﹣2）．请根据这一规律写出卢卡斯数列中的第6个数F（6）．【分析】（1）根据F（n）＝+，将n＝1，2分别代入计算即可求解；（2）根据当n≥3时，满足F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2），先求出F（4），F（5），再进一步求出F（6）．【解答】解：（1）F（1）＝1+1＝2，第2个数F（2）＝+＝1．故答案为：2；1；（2）∵F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2），∴F（3）＝F（2）+F（1）＝1+2＝3；F （4）＝F（3）+F（2）＝3+1＝4，F （5）＝F（4）+F（3）＝4+3＝7，∴F（6）＝F（5）+F（4）＝7+4＝11．【点评】本题考查了二次根式的应用，关键是掌握“卢卡斯数列”．25．（2022春•南城县校级月考）观察下列等式：；；…你根据观察得到的结论，解答下列各题：（1）猜想：＝ ；（2）解方程：．【分析】（1）根据阅读部分提供的方法直接可得答案；（2）根据阅读部分的方法把方程化为x＝3，再解方程即可．【解答】解：（1）由题意可得：．故答案为：；（2）∵，∴，∴x＝3，解得：x＝＝＝．【点评】本题属于阅读题，考查分母有理化，二次根式的化简，理解题意，根据阅读部分提供的信息解题是关键．26．（2022秋•杏花岭区校级月考）小明在解决问题：已知a＝．求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：∵a＝＝＝2﹣∴a﹣2＝﹣∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简+++…+；（2）比较﹣ ＞ ﹣；（填“＞”或“＜”）（3）A题：若a＝+1，则a2﹣2a+3＝ 4 ．B题：若a＝，则4a2﹣4a+7＝ 5 ．【分析】（1）根据分母有理化的方法化简即可；（2）先将和化简，比较大小，从而可比较﹣和﹣；（3）A题：由a＝+1，可得a﹣1＝，（a﹣1）2＝2，从而可得a2﹣2a＝1，进一步求解即可；B题：由a＝，可得a＝，从而可得2a﹣＝1，两边同时作平方，可得，进一步求解即可．【解答】解：（1）+++…+＝…+＝＝；（2）＝，＝，∵＜，∴﹣＞﹣，故答案为：＞；（3）A题：∵a＝+1，∴a﹣1＝，∴（a﹣1）2＝2，即a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴a2﹣2a+3＝4，故答案为：4；B题：∵a＝，∴a＝，∴2a﹣＝1，∴＝1，即，∴，∴4a2﹣4a+7＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，规律型，完全平方公式和平方差公式等，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．27．（2022春•赤坎区校级期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，+1与﹣1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，＝＝＝＝．（1）请你写出3+的有理化因式： 3﹣ ；（2）请仿照上面的方法化简（b≥0且b≠1）；（3）已知a＝，b＝，求的值．【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解答；（2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简；（3）通过分母有理化可化简a、b，从而求出a+b、ab，根据＝，将a+b，ab的值代入即可求解．【解答】解：（1）∵（3+）（3﹣）＝9﹣11＝﹣2，∴3﹣是3+的有理化因式，故答案为：3﹣；（2）＝＝＝1+；（3）∵a＝＝﹣﹣2，b＝＝2﹣，∴a+b＝﹣2，ab＝﹣1，∴＝＝＝＝4．【点评】本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法．28．（2022秋•皇姑区校级期中）阅读理解：已知x＝+1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：根据x＝+1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x2﹣2x﹣5＝1﹣5＝﹣4．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：（1）已知x＝﹣2，求代数式x2+4x﹣5的值；（2）已知x＝，求代数式x3+x2+1的值．【分析】（1）仿照阅读材料解答即可；（2）把已知变形可得x2+x＝1，代入即可求出答案．【解答】解：（1）∵x＝﹣2，∴x+2＝，∴（x+2）2＝（）2，∴x2+4x＝﹣1，∴x2+4x﹣5＝﹣6；（2）∵x＝，∴2x+1＝，∴（2x+1）2＝（）2，变形整理得：x2+x＝1，∴x3+x2+1＝x（x2+x）+1＝x+1＝+1＝．【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是读懂题意，能将已知式子适当变形．29．（2022春•南部县校级月考）在《九章算术》中有求三角形面积公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，量出高并非易事，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（1208年﹣1261年）提出了“三斜求积术”，阐述了利用三角形三边长求三角形面积方法，简称秦九韶公式．在海伦（公元62年左右，生平不详）的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）得出的，故我国称这个公式为海伦﹣秦九韶公式．它的表述为：三角形三边长分别为a、b、c，则三角形的面积．（公式里的p为半周长即周长的一半）请利用海伦﹣秦九韶公式解决以下问题：（1）三边长分别为3、6、7的三角形面积为 ．（2）四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝7，AD＝6，∠B＝90°，四边形ABCD的面积为 ．（3）五边形ABCDE中，AB＝BC＝，CD＝6，DE＝8，AE＝12，∠B＝120°，∠D＝90°，求出五边形ABCDE的面积．【分析】（1）根据题意应用二次根式的计算解答即可；（2）根据二次根式的计算解答即可；（3）根据二次根式的混合计算解答即可．【解答】解：（1）三边长分别为3、6、7的三角形面积为；故答案为：；（2）∵四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝5，∴△ABC的面积＝，∴△ACD的面积＝，∴四边形ABCD的面积为：，故答案为：；（3）∵五边形ABCDE中，AB＝BC＝，CD＝6，DE＝8，AE＝12，∠B＝120°，∠D＝90°，∴AC＝6，∴△ABC的面积＝，∴CE＝10，∴△CDE的面积为：，∴AC＝6，AE＝12，CE＝10，∴△ACE的面积＝，∴五边形ABCDE的面积为．【点评】此题考查二次根式的应用，关键是根据三角形的面积公式解答．。
八年级数学下册《二次根式》知识点+解题技巧+章节测试(含答案)
五、求值：（每小题 7 分，共 14 分）
3 2
3 2
x3 xy2
25．已知 x＝
，y＝
，求
的值．
3 2
3 2
x4 y 2x3y2 x2 y3
x
2x x2 a2
1
26．当 x＝1－ 2 时， 求
＋
＋
的值．
x2 a2 x x2 a2 x2 x x2 a2
x2 a2
六、解答题：（共 20 分）
＝______．
ab c2d 2
1
1
12．比较大小：－ _________－ ．
27
43
13．化简：(7－5
2
2018
) ·(－7－5
2
2017
) ＝______________．
14．若
x 1＋
y
3
2
2
＝0，则(x－1) ＋(y＋3) ＝____________．
15．x，y 分别为 8－ 11 的整数部分和小数部分，则 2xy－y2＝____________．
四、巧配方，独占鳌头
例 4. 计算 分析：因为
都有意义，所以
所以
所以
解：原式
五、整体代入，别开生面
例 5. 已知
，求下列各式的值。
（1）
（2）
分析：根据 x、y 值的特点，可以求得
，如果能将所求的值的
式子变形为关于
或 xy 的式子，再代入求值要比直接代入求值简单得多。
解：因为 所以 （1）
（2） （也可以将
1
32
2、【提示】
＝
＝－（ 3 ＋2）．【答案】×．
32 34
3、【提示】 (x 1)2 ＝|x－1|， ( x 1)2 ＝x－1（x≥1）．两式相等，必须 x≥1．但等式左边 x 可取任
部编数学八年级下册专题考前必做30题之二次根式小题培优提升(压轴篇,八下册人教)2023复习含答案
2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】专题6.1考前必做30题之二次根式小题培优提升（压轴篇，八下人教）本套试题主要针对期中期末考试的选择填空压轴题，所选题目典型性和代表性强，均为中等偏上和较难的题目，具有一定的综合性，适合学生的培优拔高训练.试题共30题，选择20道，每题3分，填空10道，每题4分，总分100分.涉及的考点主要有以下方面：1.二次根式的概念与性质：二次根式的识别及有意义的条件、二次根式的性质和化简2.二次根式的乘除：二次根式的乘法法则及计算、二次根式的除法法则及计算、最简二次根式3.二次根式的加减：二次根式的加减、二次根式的混合运算、乘法公式在二次根式计算中的应用、二次根式的化简及求值、二次根式的应用、二次根式的规律探究题、二次根式的材料综合阅读题一、单选题1．（2023秋·贵州铜仁·x的取值范围是（ ）A．x≥2，且x≠0B．x≥2C．x≤2D．x>2【答案】B【分析】根据二次根式的性质及分式的有意义的条件求解即可．【详解】解：由题意得：x−2≥0x≠0，解得：x≥2，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不为零，掌握知识点是解题关键．2．（2022秋·重庆北碚·）A．9B．10C．11D．123．（2023春·八年级单元测试）若|a−2|+b2+4b+4+=0）A．B．4C．1D．84．（2023秋·河南南阳·九年级统考期末）已知m为实数，且m，下列说法：①x≥1；②当x=52时，m的值是4或−2；③m≥1；>0．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．45．（2023春·浙江·八年级专题练习）若y，则x+y的立方根是（ ）A．1B．5C．−5D．−16．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）若a=2020×2022−2020×2021,b==a，b，c的大小关系是（）A．c>b>a B．c>a>b C．b>a>c D．b>c>a【答案】A7．（2022秋·福建·九年级统考期末）下列与）A B C D8．（2022·浙江·九年级自主招生）若A+⋯则[A]=（）（其中[A]表示不超过A的最大整数）A．2019B．2020C．2021D．2022【答案】C9．（2022秋·江苏·八年级统考期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为（）A．5B．C．6D．10．（2021·浙江·九年级自主招生）已知A==A3+B3的整数部分为（）A．11B．12C．13D．1411．（2023秋·四川宜宾·=a+b=（）A．1B．2C．3D．5∴a+b=3+2=5；故选D．【点睛】本题考查二次根式的减法法则．熟练掌握二次根式的减法法则是解题的关键．12．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简(a−b 的结果是（）A B C．D．13．（2023春·八年级单元测试）规定a⊗b=a−b，则2的值是（）a bA．5+B．C．D．9+14．（2023·全国·九年级专题练习）已知|a+b2−4b+4=0，则(ab)2的值是（）A．18B．C．6D．1215．（2023秋·四川宜宾·>1)，则x+1x的值为（）A B．3C．5D．716．（2021春·山东威海·八年级校考期中）计算+20182019正确的结果是（ ）A ．BC ．1D17．（2022春·广东惠州·八年级统考期末）已知T 1=32，T 276，T 3==1312，…T n =n 为正整数．设S n =T 1+T 2+T 3+⋯+T n ，则S 2022值是（ ）A ．202220222023B ．202320222023C ．202212023D ．20231202218．（2022秋·河北秦皇岛·八年级校联考阶段练习）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，=1，[−2.5]=−3．现对82进行如下操作：82第一次=9，第二次=3，第三次=1，这样对82只需进行3次操作后即可变为1，类似地，对300只需进行多少次操作后即可变为1（）A．3B．4C．5D．6==；第2个19．（2022秋·河南驻马店·九年级校考阶段练习）观察下列等式：第1个等式：a等式：a 2=1=3个等式：a 3=1=4个等式：a 4=1=，……，按照上述规律，计算：a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a 99=（ ）A ．B ．C ．9D ．820．（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考开学考试）有依次排列的一列式子：1，，1，，1…小红对式子进行计算得：第1=；第2个式子：1=根据小红的观察和计算，她得到以下几个结论：①第8个式子为1；②对第n 个式子进行计算的结果为③前100；④将第n 个式子记为a n ，令b n =1a n ，且9a 2n +19a nb n +9b 2n=575，则正整数n=15．小红得到的结论中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题三、21．（2023秋·海南海口·九年级校联考期末）已知−1＜x＜3+1|=_______．22．（2022春·广东河源·八年级校考期中）若b a b=________．【答案】1【分析】根据二次根式的性质，求得a，b，即可求解．【详解】解：由二次根式的性质可得，a−3≥0，3−a≥0，解得a=3，则b=0，∴a b=30=1，故答案为：1．【点睛】此题考查了二次根式的性质及零次幂的运算，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件，正确求得a，b．23．（2022秋·河南开封·八年级统考期末）计算：(2+|=______．【答案】3++324．（2023春·浙江宁波·八年级校考阶段练习）已知x+y=−2，xy=3____________；25．（2023春·全国·八年级专题练习）实数m在数轴上的位置如图所示，则化简|m−1|___．26．（2023春·全国·八年级专题练习）已知△ABC的三边分别为a、b、c，___________．【答案】4c【分析】根据三角形三边的关系得到a+b+c>0，a<b+c，b<a+c，c<a+b，据此化简二次根式，然后根据整式的加减计算法则化简即可得答案．【详解】解：∵△ABC的三边分别为a、b、c，∴a+b+c>0，a<b+c，b<a+c，c<a+b，∴a+b+c>0，a<b+c，b<a+c，c<a+b，∴原式=(a+b+c)+(b+c−a)+(c+a−b)−(a+b−c)=a+b+c+c+b−a+c+a−b−a−b+c=4c．故答案为：4c．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，整式的加减计算，三角形三边的关系，正确根据三角形三边的关系得到a+b+c>0，a<b+c，b<a+c，c<a+b是解题的关键．27．（2022秋·河北秦皇岛·八年级校联考阶段练习）两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次+1．（1的有理化因式为___________；（2“>”“<”或“=”）；（3）计算：111+⋯+1___________．28．（2022秋·辽宁丹东·八年级统考期末）若5+a,b，则a+b=______．29．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）使用手机支付宝付款时，常常需要用到密码．嘉淇学完二次根式后，突发奇想，决定用“二次根式法”13，中间加一个大写字母X，就得到一个六位密码“169X13”密码是__________．30．（2022秋·四川遂宁·九年级统考期末）观察下列等式：x1==32=1+11×2；x2==76=1+12×3；x3==1312=1+13×4；……根据以上规律，计算x1+x2+x3+…+x2023−2023=______．。
人教数学八年级下册《二次根式》的巩固与提升分专题例谈 .docx
初中数学试卷桑水出品《二次根式》的巩固与提升分专题例谈赵化中学 郑宗平在数式相关的题型中，含二次根式的题是同学们感到比较头疼的，特别是其综合解答题的正确率也比较低；二次根式涵盖知识点多，解答的技巧性强；不但在代数中占据很重要的位置，而且有时在几何计算中也常能发挥很关键的作用，二次根式是很能考查同学们在初中阶段的数学素养的；下面我“分类”例举的一部分题型是对二次根式的巩固与提升，让我们来共同探究. 一、善于挖掘隐含条件，准确的“移进”和“移出”. 例（ ）A.--D.分析：a 0≤的条件.这是因为根据二次根式的定义可知3a 0-≥，所以a 0≤==- C.例2.把(a 1- .分析：(a 1-101a>-的条件，所以1a 0->，可得a 1<，所以a 10-<；所以 ()a 11a -=--=(a 1-.点评：关于二次根式的根号内外的“移进”和“移出”，关键是要抓住二次根式的被开方数是非负数这个特点，先确定字母的隐含的取值范围，a 进行“移进”和“移出”的变形化简；这类题在考试中常出现在考题的填空和选择题中，是正确率比较低的热点考题. 追踪练习：1.把下列各式化简：①；②.2.把根号外的因式“移入”根号内：①...(x 1-；④.-二、利用二次根式中的算术平方根的双重非负数性[ )a 0≥有a 00≥]巧解题 例1.x y 、6y -，求1x y -的值？分析：根据式子有13x 03x 10-≥⎧⎨-≥⎩，从中可求得x 的值，进一步求得y 的值，使问题得以解决.略解：根据题意可知：13x 03x 10-≥⎧⎨-≥⎩ 解得：1x 3=；把1x 3=6y =-有：6y -，解得：y 6= 所以111x y 636183--⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭.例2.已知：2a 12a =，求20151ab 2⎛⎫⎪⎝⎭的值？分析：2a 2a 10-+=()2a 10-=，利用非负数的性质可求得ab 、的值.略解：2a 2a 10-+= ，进一步可得()2a 10-=0，()2a 10-≥∴ ()2a 10⎧-=⎪= ∴a 10a b 10-=⎧⎨++=⎩ 解得：a 1b 2=⎧⎨=-⎩∴()()20152015201511ab 121122⎛⎫⎡⎤=⨯⨯-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.例3.分析：本题显得比较抽象，似乎难以找到突破口，但题中有二次根式这一重要特点，所以抓住从被23a 0-≥，可求得a 0=. 略解：23a 0-≥，可得a 0≤ ；又∵a 0≥ ∴a 0= ∴原式32106+++=.点评：二次根式的算术平方根的双重非负数性是属于考试中的高频考点，这个知识点容易与其它知识点联姻构成有一定含金量的综合题，而双重非负数性在其中扮演的往往是关键角色，上面的几道例题就是要抓住算术平方根及其被开方数都是非负数的破题；比如很多同学对于例3这类题不知从何入手，但只要抓住本题是二次根式构建的，从被开方数是非负数这点入手，就可以隐藏在其中的a 的值挖出来，从而使问题得以解决. 追踪练习：1.已知y=2.已知a 40-,化简并求22222a ab a abb a b+-+-的值？ 3.若2m6m 9-+xy 的值？4.的值？5.已知2014a a -+，试求2a2014-的值？ 三、逆用()2aa 0=≥即()2a a 0=≥巧化简.例1.化简：+ 分析：根据题中式子可知,a 0b 0≥≥，∴,22a b==∴22a b -=-=,等，即逆用()2a a0=≥可以巧化简.略解：原式=()()222222⎛⎫-⎪+⎪⎪⎝⎭=22⎛⎫=ab⋅ab ab=ab ab--=a bab+-例2.分析：本题按常规可以把分母中根号化去，但若用()2a a=≥可以进行巧算，更简捷.分子分别有)231=，22253=-=-=.略解：原式=21==-=点评：逆用()2a a0=≥即()2a a0=≥来化简、计算或分解因式等往往能起到“四两破千斤”的作用.比如例2的计算化简（主要把分母中的根号化去，即分母有理化），按常规方法要分子和分母要同时乘以有理化因式，在计算中是容易出错的，但用()2a a0=≥进行巧算，可以做到快速准确.追踪练习：1.-.2.化简：⎫3.已知：y18=的值？a=计算或化简.例1.若0m1<<111m1m⎛⎫+⨯⎪+⎝⎭.分析：本题关键是含二次根号的部分化简.的221m2m+-可以借助因式分解的方法化成21mm⎛⎫-⎪⎝⎭a=来可将根号化去.略解：∵0m1<<2111mm mm m m-=-=-=∴原式=()()21m1m1m11m11m1m m1m m m11m1m+---⎛⎫⨯+⨯=⨯⨯=⎪++++⎝⎭.例2.若ab c、、为ABC的三边.分析：a的部分的正负情况是本题的关键，根据三角形三边之间的关系可以搞定.略解：∵a b c、、为ABC的三边∴,,a0b0c0>>>；a b c-<；b c a+>；c b a-<.∴,,,a b c0a b c0b c a0c b a0++>--<+->--<∴原式=a b c a b c b a c c b a+++--+-+---=a b c a b c b a c c b a++-+++-++--=2a2b4c-++例3.分析：双重二次根式的计算或化简往往是同学们感到比较抽象的.其实关键也是把被开方数部分化成“平方”的形式，本题比较抽象的是被开方数部分是两“项”，但我们若用“拆项”的技巧，可以使问题得以解决.也就是2532-=-=-，此时被开方数可以化成2a=来可将外层根号化去.===点评：a=也是属于考试中的高频考点，这个知识点更容易与其它知识点联姻构成的综合题，本专题的前面两道例题就这方面的题型. 《二次根式》一章“几乎所有”涉及计算或化a =的这个二次根式的性质.a 抓住这几个环节:首先想办法把被开方数写成2aa ；最后根据绝对值的代数意义[ 即 ()()a a 0a a a 0⎧≥⎪=⎨-≤⎪⎩ ] 来化简. 追踪练习：1.计算：①(()211---+；②2. 实数m n 、 如图所示：请化简3. 1= a ？ 五、利用幂的运算法则、乘法公式等进行二次根式的计算或化简例.计算：1. ))2015201544； 2.(21-； 3..分析：本例的3道小题都是幂的运算法则、乘法公式在二次根式中的稍难运算的运用.1小题逆用积的乘方的法则和平方差公式进行计算；2小题可以把括号的其中两项看成一个整体，然后里利用完全平方公式计算；3小题抓住两个括号里的“项”相同．．和互为相反数．．．．．的特征，利用平方差公式可以进行简便运算.略解：1.原式)()()222201520152444151611⎡⎤⎡⎤==-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎣⎦；2.原式((2221116⎡==++==-⎣3.原式22235⎡⎡=+-=-=+-=⎣⎣点评：二次根式的运算中，以前学习过的法则、运算律以及乘法公式同样适用.本专题的三个例子都是同学们感到有一定难度的计算题，但是我们运用幂的运算法则、乘法公式使其运算过程大大简化了；运用幂的运算法则、乘法公式要注意两点：其一.运算式子有没有符合法则和公式的结构特征；其二.要有整体的思想. 追踪练习： 1.计算： ①.；②.2⎝⎭；③.2；④.(21；⑤.))2015201622；⑥. (11-. 2. .计算：22-.六、含二次根式的代数式的整数部分与小数部分例.已知a 是1-b 5的小数部分，c abc 的值？ 分析：由..,14014123<<<可得：,,61575823-<--<<<<.由此根据题中的条件可以分别确定题中a b c 、、的值. 略解：∵..,14014123<<<∴,,61575823-<--<<<< ∴,,a 5b 572c 2=-=-== ∴())()()()22abc 522522256450⎡⎤=-=--+=--=⎢⎥⎣⎦点评：含二次根式的代数式的值的整数部分与小数部分的确定，关键是确定根式部分值的范围，然后在此基础上确定整个代数式的值的范围，使其整数部分与小数部分得以确定；特别要注意其小数部分往往是一个含二次根式的式子，它是整个式子减去整数，比如上面b c 、的值的确定：,b 572c 2=-==，除非题有要求，小数部分不要写成一个近似的小数，而是一个含二次根式的式子，这正是这类题的“魅力”所在，是众命题人青睐和关注的原因. 追踪练习：1.若x y 、分别是822xy y -的值？2.已知a b 、分别为62a b -的值？3.5+a ，5的小数部分是b ，求ab 5b +的值？4.的整数部分为a ，小数部分为b ，求22a b +的值？5.已知x 是6y 2的小数部分，z 是)12-的整数部分，求22x z y z -的值？ 6. 周六，小华的妈妈和小华作了一个小游戏.小华的妈妈说：“你现在学习了二次根式，若m 表示n 表示它的小数部分，我这个钱包里的钱数是)m n ⋅元，你猜一下这个钱包的钱数是多少？若猜对了，钱包里的钱就由你支配.”你能运用数学知识帮小华获得支配权吗？ 七、整体代换·巧变求值.例1. 已知x 5y 5=-=+，求223x 5xy 3y ++的值？分析：从要求值的式子特征来看，若直接代入求值计算过程比较繁琐；若从223x 5xy 3y ++变形即()2223x 6xy 3y xy 3x y xy ++-=+-，从已知整体求出xy 和x y +的值，整体代入过程便变得简捷了. 略解：∵x 5y 5=-=+∴(((,xy 5525241x y 5510=-+=-=+=-++= ∴原式()22223x 6xy 3y xy 3x y xy 31013001299=++-=+-=⨯-=-= 例2.已知a b =2a b +的值.分析：从要求值的式子特征来看，是以ab 和a b +为架构的；恰巧a b 、互为倒数，所以我们可以先整体求出ab 和a b +的值，在此基础上求代数式的值便轻松了.11-m n略解：∵a b==∴()(,22ab1a b232434314==+==++=++-=2a b11961961196195++==--点评：上面两道题如果直接代入求值，计算量比较大，而且容易出错，通过观察已知和要求的值的式子，发现都可以变形和化简，若运用整体的代换的思想，“两头凑”，也就比较容易求出式子的值.追踪练习：1.若x2=2x4x6--的值？2. 已知：,11a b22==，求：①.22a ab b-+的值；②.a bb a+的值.3.已知：x y y z--=222x y z xy xzyz++---的值？八、稍复杂的含二次根式的代数式值的大小比较例..分析：我们采用“倒数法”，倒数值大的反而小，问题便可以解决.略解：设m n==m n====>∴m n>∴11m n<点评：平时我们常用“近似数法”、“平方法”和“比差法”等来比较含二次根式的代数式值的大小，但稍微复杂的，这些方法就不管用了，所以必须突破常规才能解决问题.比如本题采用“倒数法”，通过分母有理化分别求出原式的倒数值，比较其倒数的大小，从而比较原式值的大小.追踪练习：1.比较大小：()--（填“>”或“<”或“=”）2.()（填“>”或“<”或“=”）3.的大小.4.设a＞b＞c＞d＞0且，x y z===x、y、z的大小关系．九、解含无理系数的方程（组）和不等式（组）例1.解x1>+分析：本题关键是未知数的系数含有无理数，在系数化为1的时候要特别注意系数的正负情况，同时要注意将结果中分母中的根号化去，即分母有理化.略解：由x1+得x1>∴(1x1>∵1∴x=∴x1=-例2.解方程组：2y++分析：解二元一次方程组的方法消元.关键是本题未知数的系数含有无理数，这种特点的方程组若采用代入消元法，过程较为繁琐，一般采用加减法消元.略解：①3y+=③③-②得：y=将y=+=解得：x=∴原方程组的解是xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点评：解含无理系数的方程（组）和不等式（组）都要注意结果要把分母中的根号化去（即分母有理化），解含无理系数的方程（组）一般采用加减法更简捷，而解含无理系数的不等式（组）要注意的是系数化为1时系数的正负性.追踪练习：1.1>+；2.解方程组：11+==十、几何计算中的二次根式运算或化简例1.若一个矩形的的周长为cm，一边长为cm，求另一边长和此矩形的面积？分析：根据矩形的的周长可以先求出两邻边的和（即长与宽的和），再用两邻边的和减去已知的一边长；根据矩形的面积公式可求得矩形的面积.略解：根据题意和矩形的周长公式可知另一边为：1111122222-==⨯⨯==矩形的面积为：66=-=故矩形另一边长为(cm，而矩形的面积为2cm例2.如图，在方格纸中的小正方形的面积为1，ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，小刚通过观察探究得出如下结论：①.△ABC 的形状是等腰三角形；②.△ABC的周长是③.△ABC 的面积是5；④.点C 到AB⑤.直线EF 是线段BC 的垂直平分线.你认为刚观察的结论正确的序号有 .解析：结合图形和已知条件可以求出方格纸中的小正方形的边长为1，再根据勾股定理可计算出ABC 的三边长分别为，故①正确，②错误；ABC 的面积由间接计算得到：11333122422⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故③错误；利用三角形的等积法：1AB h 42⋅=h 4=，解得h 故④正确；根据垂直平分线的判定并结合图象可知EF 是线段BC 的垂直平分线，⑤正确.故选①④⑤.点评：几何的相关计算中往往要通过二次根式的计算或化简来解决不在少数，是中考和各类考试的热点考题；这类题型把二次根式的计算或化简和勾股定理即其它几何知识很好结合在一起考察，是数形结合等思想方法较好体现.追踪练习：1.如图在四边形ABCD 中，,,1AB BC DC BC AE CD BC 4⊥⊥==求四边形ABCD 的周长和面积？2.如图一块长方形场地ABCD 的长AB 与宽AD 1，DE ⊥AC于点E ，BF ⊥AC 于点F ，连结BE 、DF ；现计划在四边形DEBF 区域内 （阴影部分）种植花草，求四边形DEBF 与长方形ABCD 的面积之比.3.已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中，B C 、 两点在第二象限内，OA 与x 轴的夹角为60°，求出点B 点坐标.。
新人教版八年级下册二次根式(全章)习题及答案
二次根式16.1 二次根式：1. 有意义的条件是 。
2. 当__________3. 11m +有意义，则m 的取值范围是 。
4. 当__________x 是二次根式。
5. 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。
6. 2x =，则x 的取值范围是 。
7. 2x =-，则x 的取值范围是 。
8. )1x 的结果是 。
9. 当15x ≤5_____________x -=。
10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。
11. 11x =+成立的条件是 。
12. 若1a b -+互为相反数，则()2005_____________a b -=。
13. )()()230,2,12,20,3,1,x y y x xx x y +=--++中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）15. 若23a ，则）A. 52a -B. 12a -C. 25a -D. 21a -16. 若A ==（ ）A. 24a + B. 22a + C. ()222a + D. ()224a +17. 若1a≤）A. (1a-B. (1a-C. (1a-D. (1a-18.=x的取值范围是（）A. 2x ≠ B. 0x≥ C. 2x D. 2x≥19.）A. 0B. 42a- C. 24a- D. 24a-或42a-20. 下面的推导中开始出错的步骤是（）()()()()23123224==-==∴=-∴=-A. ()1B. ()2C. ()3D. ()421.2440y y-+=，求xy的值。
22. 当a取什么值时，代数式1取值最小，并求出这个最小值。
23. 去掉下列各根式内的分母：())10x ())21x24. 已知2310x x -+=25. 已知,a b (10b -=，求20052006a b -的值。
16.2 二次根式的乘除1. 当0a ≤，0b__________=。
八年级下二次根式(全章)高频率习题及答案
二次根式16.1 二次根式：1. 有意义的条件是 。
2. 当__________3. 11m +有意义，则m 的取值范围是 。
4. 当__________x 是二次根式。
5. 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。
6. 2x =，则x 的取值范围是 。
7. 2x =-，则x 的取值范围是 。
8. )1x 的结果是 。
9. 当15x ≤ 5_____________x -=。
10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。
11. =成立的条件是 。
12. 若1a b -+()2005_____________a b -=。
13. )))020x y x x y =-+ 中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）15. 若23a 等于（ ）A. 52a -B. 12a -C. 25a -D. 21a -16. 若A =（ ） A. 24a + B. 22a + C. ()222a + D. ()224a +17. 若1a≤）A. (1a-B. (1a-C. (1a-D. (1a-18.=成立的x的取值范围是（）A. 2x≠ B. 0x≥ C. 2x D. 2x≥19.的值是（）A. 0B. 42a- C. 24a- D. 24a-或42a-20. 下面的推导中开始出错的步骤是（）()()()()123224==-==∴=-∴=-A. ()1B. ()2C. ()3D. ()421. 2440y y-+=，求xy的值。
22. 当a1取值最小，并求出这个最小值。
23. 去掉下列各根式内的分母：())10x ())21x24. 已知2310x x -+=25. 已知,a b (10b -=，求20052006a b -的值。
16.2 二次根式的乘除1. 当0b __________a≤，0=。
2. _____,______m n==。
人教版初二数学8年级下册 第16章(二次根式)拓展练习(附答案)
人教版八下数学第16章《二次根式》一、选择题1. 下列式子为最简二次根式的是( )A．3B．4C．8D．12 2. 要使二次根式3−2x有意义，则x的取值范围是( ).A．x≥32B．x≤32C．x≥23D．x≤233. 下列计算正确的是( )A．8−2=2B．2+3=5C．2×3=5D．8÷2=4 4. 如果一个三角形的面积为12，一边长为3，则这条边上的高是( )A．4B．2C．2D．225. 计算8−2(2+2)得( )A．−2B．2−2C．2D．42−26. 8n是整数，正整数n的最小值是( )A．4B．3C．2D．07. 已知0<a<1，则a，a2，1a之间的大小关系为( )A．1a >a2>a B．a>1a>a2C．a2>a>1aD．1a>a>a28. 设10的小数部分为b，则b(10+3)的结果是( )A．1B．是一个无理数C．3D．无法确定9. 若a=b2−1+1−b2b−1+4，则a+b的值为( )A．±1B．3C．4D．3或5二、填空题10. 计算(2+3)(2−3)的结果为．11. 计算：13×27=．12. 计算：(22−18)−1=．13. 已知a+b=23+1，ab=3，则(a+1)(b+1)=．14. 如图，正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是2和5，那么两个长方形（阴影部分）的面积之和为．三、解答题15. 计算：22×212÷418−316. 化简524x−6x9+3x1x，并将自己所喜欢的x值代入化简结果进行求值．17. 已知x=5−2，求(9+45)x2−(5+2)x+4的值．18. 先化简再求值：x2x2+4x+4÷xx+2−x−1x+2，其中x=2−1．19. 一个圆形的半径长为x，它的周长与长为20π，宽为365π的长方形的周长相等，求x的值．20. 如图，已知A(0,a)，B(b,0)，P(c,0)为坐标轴正半轴上三点，且满足a−2+b−2+(a−2c)2=0．的值；(1) 判断△AOB的形状，并求BPOP(2) 过点A作AQ⊥AP，且AQ=AP，点Q在第二象限，连接BQ交y轴于点M，请在图的值；上作出图形，并求OMOP(3) 如图，过点P作AP⊥PF，连接BF，若∠OAP+∠F=45∘，求BF的值．答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】B3. 【答案】A4. 【答案】A5. 【答案】A6. 【答案】C【解析】 ∵8n =22n ，∴ 要使 8n 是整数，正整数 n 的最小值是 2．7. 【答案】D8. 【答案】A9. 【答案】B二、填空题10. 【答案】 −111. 【答案】 312. 【答案】 −2213. 【答案】 33+214. 【答案】 210三、解答题15. 【答案】 原式=23−66．16. 【答案】 6x ，当 x =1 时，原式 =6．17. 【答案】 4．18. 【答案】 1x +2，2−1．19. 【答案】 x =1655．20. 【答案】(1) △AOB 是等腰直角三角形，OB =2，OP =2，则 BP =2−2，则 BP OP =2−1；(2) 过点 Q 作 QN ⊥y 轴与点 N ，则 △AQN ≌△PAO ， ∴AN =OP =2，证 △QNM ≌△BOM ，∴MN =OM ，则 ON =BP =2−2，则 OM =12(2−2)，则 OMOP =12(2−2)2=12(2−1)；(3) 连接 AB ，过点 P 作 PT ⊥OB 交 AB 于点 T ，证 △ATP ≌△FBP ，得 AP =PF ，BF =AT ，易求 AB =2OA =22，BT =2PB =2(2−2)=22−2，∴AT=AB−BT=2，∴BF=2．。
人教版八年级下册第十六章 二次根式复习归纳总结(提高题参考答案详解)
第十六章 二次根式复习总结（一）知识归纳（1）二次根式定义：形如式子叫做二次根式。
二次根式的形式定义：①从形式上看，二次根式必须含有二次根号“”。
②被开方数a 可以是数，也可以是含有字母的式子，但a 必须是非负数,否则a 无意义。
③“”的根指数为2,即“ 2”，一般省略根指数2，写作“”.需要注意的是:(1)建议不要把精力放在辨别一个式子是否为二次根式上，而应该侧重于理解被开方数是非负数（不要误记为正数）的要求．(2)提醒学生的是“数式通性”：如果被开方数是一个常数，那么它不可以是负数；如果被开方数含字母，那么它有取值范围的限制（与分式类似）．(3)形如a b （a ≥o ）的式子也是二次根式，b 与a 是相乘的关系，要注意当b 是假分数时不能写成带分数。
二次根式（根号）的双重非负性：)0(,0≥≥a a ；(1)注意：)0(≥a a 的最小值是0.(2)拓展：具有非负性的式子有：)0(0;0;02≥≥≥≥a a a a 若02=++c b a ，则a=b=c=0)0(≥a a（2）二次根式的性质：1、 是一个非负数；2、3、 (a )2＝ a (a ≥0) ；a 2＝||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧(a >0)，(a ＝0)，(a <0).化简二次根式时注意: ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)a b ＝ab (a ≥0，b >0)2a 与2)(a 的对比：① 运算顺序不同：2)(a 是先求算术平方根再平方，2a 是先平方再求算术平方根；② a 的取值不同：2)(a 中a 的取值是0≥a ，而2a 中a 的取值是任意实数；③ 运算结果不同：2)(a =a （0≥a ）；2a =⎩⎨⎧<-≥=)0()0(||a a a a a ．总结：求使代数式有意义的字母取值范围的类型：二次根式型：被开方数大于或等于0； 分式型：分母不等于0；复合型：对于分式、根式组成的复合型代数式，应取其各部分字母取值范围的公共部分。
八年级数学下册辅导讲义(人教版)专题01 二次根式及其运算知识基础巩固+技能提升(解析版)
专题01 基础巩固+ 技能提升【基础巩固】1. （荆州市月考）下列说法错误的是（）A．2a与()2a-相等BC．D．a与a-互为相反数【答案】D.【解析】解：A、()2a-=2a,故A正确；B=,,故B正确；C、互为相反数,故C正确；-=,故D错误；D、a a故答案为：D.2．（山东淄博月考）如图,1/x、2x三个按键,以下是这三个按键的功能．1/x：将荧幕显示的数变成它的倒数；③2x：将荧幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数据后,按照以下步骤操作,依次按照从第一步到第三步循环按键．若一开始输入的数据为10,那么第2018步之后,显示的结果是（）A．B．100C．0.01D．0.1 10【答案】C .【解析】解：根据题意得各步显示的数如下：第一步：102＝100,第二步：1100＝0.01,＝0.1；第四步：0.12＝0.01,第五步：10.01＝100,＝10；第七步：102＝100,第八步：1100＝0.01,＝0.1； … 所以显示的数是六步一个循环∵2018÷6=336 (2)∴按了第2018下后荧幕显示的数与第二步相同,所以显示的数是0.01．故答案为：C ．3．（四川达州期末）若,x y 为实数,且满足26||0x y --=,则2021x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是________．【答案】-1. 【解析】解：由题意得：260220x y x y --=⎧⎨+-=⎩, 解得：22x y =⎧⎨=-⎩, ∴2021202122x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=-1；故答案为：-1．4．（北京月考）已知3m =,则2019()m n +的值为______． 【答案】1.【解析】解：由题意得：16-n 2≥0,16-n 2≤0,故n 2=16,即n =±4,又n ≠-4,∴n =4,m =-3∴原式=（4-3）2019=1故答案为：1．-= 5．与,则a b________．【答案】2.【解析】解：根据题意得：a-1=2,b+2=5-2b,∴a=3,b=1∴a-b=2故答案为：2．6．（克东县期中）当x时,式子x2﹣4x+2017=________．【答案】2016.【解析】解：x2﹣4x+2017=（x﹣2）2+2013=2+2013=2016．故答案为：2016．7．（江苏扬州市期末）已知5=+,当x分别取1、2、3、…、2021时,所对y x应y值的总和是_____．【答案】2033.【解析】解：当x＜4时,y=-2x+9,即当x=1时,y=9-2=7；当x=2时,y=9-4=5；当x=3时,y=9-6=3；当x≥4时,y=1,即当x分别取4,5,…,2021时,y的值均为1,综上所述,当x分别取1,2,3,…,2021时,所对应的y值的总和是7+5+3+2018×1=2033,故答案为：2033．8．（浙江杭州市期中）已知ABC的三边长分别为1,k,3,则化简92k-的结果是_______．【答案】12-4k.【解析】解：由题意可知：2＜k＜4,∴1＜9-2k＜5,1＜2k-3＜5,∴原式=92k--=9-2k-2k+3=12-4k,故答案为：12-4k．9．（北京顺义区期末）为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根,许多数学家进行了探索,期间经历了400余年,直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的,她在《代数备旨》中把图1?=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________,计算结果为_______________.a+3.【解析】解：根据题意可知图中的甲代表a,图2所示题目（字母代表正数）∵a＞0,=a+3a+3.10．a,小数部分是b,求ab的值．32=,23<,∴532,∴a=2,b2=-=,即)41263ab++===.11．2++【解析】解：原式32=+--2332=+--=12．（云南曲靖市期末）先化简,再求值：2241244x xx x x-⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭,其中2x=-【答案】22x-+,.【解析】解：2241244x xx x x-⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭22(2)22(2)(2)x x xx x x x--⎛⎫=-⨯⎪--+-⎝⎭2222xx x--=⨯-+22x=-+,当2x=-+,原式==13．（浙江杭州期末）计算：（13-+++（2）(222【答案】（1）；（2）8-【解析】解：（13+=5+=+=；++（2）(222=5243+--=8-14．（浙江绍兴市期末）定义：若一个三角形两边的平方差等于第三边上高的平方,则称这个三角形为勾股高三角形,这两边的交点称为勾股顶点．（1）如图①,已知△ABC为勾股高三角形,其中A为勾股顶点,AD是BC边上的高．若BD ＝1,CD＝2,求高AD的长；-,求证：△ABC是勾股高三角形．（2）如图②,△ABC中,AB＝AC＝3,BC＝3【答案】（1（2）见解析.【解析】解：（1）解：∵AD是BC边上的高,BD＝1,CD＝2,∴AB 2＝AD 2＋1,AC 2＝AD 2＋4,∵△ABC 为勾股高三角形,A 为勾股顶点,∴ AC 2－AB 2＝AD 2,即（AD 2＋4）－（AD 2＋1）＝AD 2,∴ AD（2）∵AB ＝AC ＝3 ,∴点A 不可能为勾股顶点过B 作BH 垂直AC 于D 点H ,设HC ＝x ,由题意,得BC 2－CH 2＝BH 2＝AB 2－AH 2,∴()()2222333x x -=--,x ＝6-∴BH 2＝BC 2－CH 2＝()(223627--=∵AB 2－BC 2＝()223327-=∴BH 2＝AB 2－BC 2∴△ABC 是勾股高三角形．15．（河南省孟津县月考）根据下图,b c a c -+++．【答案】﹣b ．【解析】解：由数轴可以看出：a ＞0,b ＜0,c ＜0,a ＜﹣c ,b c a c ++,=|b |-|b +c |+|a -c |+|a +c |,＝﹣b ﹣[﹣（b +c ）]+（a ﹣b ）+[﹣（a +c ）],＝﹣b+（b+c）+a﹣b﹣a﹣c,＝﹣b．16．（2019·南阳市月考）如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B,再直爬向点C停止,已知点A表示,点C表示2,设点B所表示的数为m．（1）求m的值（2）求2m m的值1(1)（3）直接写出蚂蚁从点A到点C所经过的整数中,非负整数有个【答案】（1）2m=-（2）6-（3）3.【解析】解：（1）由题意可得：m-2=2,∴m=2-（2）把m=2-2m m1(1)2|221|2213232=-；6（3）从点A到点C所经过的整数有-1,0,1,2,其中非负整数有0,1,2,所以蚂蚁从点A到点C所经过的整数中,非负整数有3个．=,17．（成都市温江区月考）观察下列一组式的变形过程,1==（1＝；（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．并证明你的结论．（3）利用上面的结论,求下列式子的值：)++⋅．1【答案】（1）（21=-n 为正整数）,证明见解析；（3）2007.【解析】解：（1故答案为：（2=-n 为正整数）．1=n 为正整数）；（3）原式＝12008++⋅1+)﹣1）+1）＝2008﹣1＝2007.18．阅读下列材料,并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中,利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题,这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”,该公式是：设△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,△ABC 的面积为S ． （1）（举例应用）已知△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,且a ＝4,b ＝5,c ＝7,则△ABC 的面积为 ；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示,现测得AB ＝（）m ,BC ＝5m ,CD＝7m ,AD ＝m ,∠A ＝60°,求该块草地的面积．【答案】（1）（2）（）m 2【解析】解：（1）△ABC 的面积为S＝故答案为：；（2）解：过点D 作DE ⊥AB ,垂足为E ,连接BD ,在Rt △ADE 中,∵∠A ＝60°,∴∠ADE ＝30°,∴AE ＝12AD ＝∴BE ＝AB ﹣AE ＝＝DE ==∴BD ==∴S △BCD =∵S △ABD ＝112422AB DE ⋅=⨯⨯=∴S 四边形ABCD ＝S △BCD +S △ABD ＝ 24+ 19．（江苏南通市期末）（1）判断下列各式是否成立？并选择其中一个说明理由；===． （2）用字母表示（1）中式子的规律,并给出证明． 【答案】（1）成立,理由见解析；（2）2211n nn n n n +=--（n ＞1）,理由见解析.【解析】解：（1）成立,===（2====,1)n =>,1)n ==>． 20．（2019·兰州市期中）先阅读下列的解答过程,然后再解答：,只要我们找到两个正数a 、b ,使a +b ＝m ,ab ＝n ,使得22m +===（a＞b ）这里m ＝7,n ＝12,由于4+3＝7,4×3＝12即227+==2=（1＝ ,＝ ；（2【答案】（11 , ；（22.【解析】解：（1中,m =4,n =3,由于3+1=4,3×1=3+==即22411；,m＝9,n＝20,由于4+5＝9,4×5＝20+==即229=2（2这里m＝19,n＝60,由于15+4＝19,15×4＝60+==即2219=2221．（洛阳市期中）像2）2）＝1a（a≥0）、＋1）﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式．例如＋1﹣﹣有理化因式．进行二次根式计算时,利用有理化因式,可以化去分母中的根号．请完成下列问题：（1；（2）计算：（3的大小,并说明理由．【答案】（12）2＋；（3.【解析】解：（12＋（22＋；（3,,,．22．（江苏盐城市期中）先观察下列等式,再回答问题：111111112=+-=+；111112216=+-=+；1111133112=+-=+；（1）根据上面三个等式,(直接写出结果) （2）根据上述规律,解答问题：设...m =+求不超过m 的最大整数是多少？【答案】（1）1120；（2）不超过m 的最大整数是2019．【解析】解：（1）观察可得1120；（2）m ＝112+116+1112+…+1120192020⨯ ＝1×2019+（12+16+112+…+1120192020⨯）＝2019+（1﹣12+12﹣13+13﹣14+…+1120192020-）＝2019+（1﹣1 2020）=2019 20192020,∴不超过m的最大整数是2019．【拓展提升】1.数；③实数与数轴上的点是一一对应的关系；④两个无理数的和一定是无理数；⑤已知a＝2b＝2则a、b是互为倒数．其中错误的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B.【解析】解：①带根号的数是无理数,,正确；③实数与数轴上的点是一一对应的关系,正确；④两个无理数的和一定是无理数,错误；⑤已知a＝2b＝2则a、b是互为倒数,正确．故答案为：B.2．（偃师市月考）设a,b部分,则21b a-的值为（）A1B1+C1D1【答案】B.∴a ,∴b ,∴21b a -, 故答案为：B ．3．（湖南邵阳市期末）若表示a ,b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示,则化简a b - ）A ．2b -B ．2bC ．2a -D ．2a【答案】C .【解析】解：∵由数轴可得a ＜0＜b ,|a |＞|b |, ∴a −b ＜0,a ＋b ＜0,∴a b -+|a −b |＋|a ＋b |＝b - a −（a ＋b ） ＝b - a –a -b =−2a ． 故答案为：C ．4.（四川期末）化简正确的是（ ）A B C D 【答案】C . 【解析】解：﹣1x＞0,得x ＜0,x. 故答案为：C ．5．（浙江杭州市）化简二次根式 ）A B C D 【答案】B .【解析】解：由题意知：a +2≤0,即a ≤-2,原式=a a ==故答案为：B .6．（2019·孟津县月考）把根号外的因式移入根号内,得________【解析】解：∵310a -≥, ∴a ＜0,∴a===．故答案为：a．7．将(0)a a -<化简的结果是___________________.【答案】 【解析】解：∵a ＜0 ∴a －3＜0,∴(a -=-故答案为：8．（北京期中）我们学完二次根式后,爱思考的小鲍和小黄提出了一个问题：我们可以算22,23-的值,我们可以算122,233的值吗？金老师说：也是可以的,你们可以查阅资料来进行学习.他们查阅资料后,发现了这样的结论：0)nmaa =≥,例如：122=,3248===,那请你根据以上材料,写出123=____________,238=___________.4.【解析】123=,2384===．9．（龙口市期中）已知实数a 满足|2014-a |+a ,那么a -20142+1的值是______ ． 【答案】2016.【解析】解：∵a -2015≥0, ∴a ≥2015,∴原式可变形为：a -=a , ∴a -2015=20142, ∴a =20142+2015,∴a -20142+1=20142+2015-20142+1=2016. 故答案为：2016.10．（灌南县月考）已知a 满足2019a a -=．（1有意义,a 的取值范围是 ；则在这个条件下将2019a -去掉绝对值符号可得2019a -=（2）根据（1）的分析,求22019a -的值． 【答案】（1）a ≥2021；a -2019；（2）2021. 【解析】解：（2）由（1）可知,∵2019a a -=,∴2019a a -=,2019=, ∴220202019a -=, ∴202019220a =-.11．先阅读下列解答过程,437+=,4312⨯=,即：227+=,=所以2====+问题：（1==____________﹔（2,只要我们找到两个正数a ,b （a b >）,使a b m +=,ab n =,即22m +== =__________．（3（请写出化简过程）【答案】（11（2)a b >；（3.【解析】解：（11===；；（2)a b ===>；（3．12．（广东茂名市月考）阅读下述材料：我们在学习二次根式时,熟悉的分母有理化以及应用．其实,有一个类似的方法叫做“分子有理化”:与分母有理化类似,分母和分子都乘以分子的有理化因式,从而消掉分子中的根式比如：-==分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小,也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：-==>再例如：求y=的最大值．做法如下：解：由20,20x x+≥-≥可知2x≥,而y==当2x=时,2,所以最大值是2．解决下述问题：（1）比较4和（2）求y=【答案】（1）4-<（2）y的最大值为2,1．【解析】解：（1）4===而4>4∴>4∴<（2）由10x -,10x +,0x 得01x ,y +∴当x =0时,有最大值1,1,所以y的最大值为2；当x =1时,1,0,所以y 1．13．仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标,设两条直角边的边长为a ,b ,则面积为12ab ,四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：222a b ab +≥,当且仅当a b =时取等号．在222a b ab +≥中,若0a >,0b >,代替a ,b 得,a b +≥,即2a b+≥（*）,我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求代数式的最小值．我们以“已知x 取实数,2”为例给同学们介绍．2=0>0>,≥=,=时取等号,即当x =,最小值为总结：利用基本不等式0,0)2a b a b +≥>>求最值,若ab 为定值,则+a b 有最小值． 请同学们根据以上所学的知识求下列代数式的最值,并求出取得最值时相应x 的取值．（1）若0x >,求22x x+的最小值； （2）若2x >,求12x x +-的最小值； （3）若0x ≥,的最小值． 【答案】见解析.【解析】解：（1）由题知42=222x x x x++,∴422x x +≥,当且仅当242=x x 时取等号, 即当x =1时,最小值为4；（2）由题知11=2222x x x x +-++--, ∴1222x x -++≥-,当且仅当12=2x x --时取等号, 即当x =3时,最小值为4；（32922+,26≥,2, 即当x =1时,最小值为6.。
人教版八年级数学下册二次根式全章复习与巩固(基础)典型例题讲解+练习及答案.doc
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】《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）责编：杜少波【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2a =（0a ≥），如2221122););)33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a . （32a a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42a 2()a 的异同2a a 可以取任何实数，而2a 中的a 必须取非负数；2a a ，2a =a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2a 2)a .3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.222,,3,ab x a b +次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.2882228显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则： 类型 法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b ab a b =≥≥积的算术平方根化简公式：(0,0)ab a b a b =≥≥二次根式的除法=(0,0)a aa b b b≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a aa b b b=≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd = （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.(4)(9)49-⨯-≠--.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． 当________时，二次根式3x -在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三【：二次根式 高清ID 号：388065 关联的位置名称：填空题5】 【变式】①242x x =-成立的条件是 . ②2233x x x x--=--成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴≥2≤3x <)2．当0≤x <1时，化简21x x +-的结果是__________.【答案】 1.【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，所以21x x +-=x +1-x =1.【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即2a =a ，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三【变式】（2015春•大冶市期末）已知﹣=2，则+的值为_____________． 【答案】5.解：∵﹣=2，∴=+2，两边平方得，25﹣x 2=4+15﹣x 2+4，∴2=3，两边平方得4（15﹣x 2）=9， 化简，得x 2=，∴+=+=5．故答案为：5．3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）.A. 14B. 48C. abD. 44a + 【答案】A.【解析】选项B ：48=43；选项C ：有分母；选项D ：44a +=21a +，所以选A. 【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；（2）被开方数中不含能开方的因式或因数. 类型二、二次根式的运算4．（2016•来宾）下列计算正确的是（ ） A ．﹣= B ．3×2=6C ．（2）2=16D ．=1【答案】B.【解析】解：A 、不能化简，所以此选项错误；B 、3×=6，所以此选项正确；C 、（2）2=4×2=8，所以此选项错误；D 、==，所以此选项错误；故选B ．【总结升华】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的计算法则是关键，要注意：①二次根式的运算结果要化为最简二次根式；②与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；③灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．举一反三 【变式】计算：48(54453)833-+⨯ 【答案】243610-.5.化简20102011(32)(32)+⋅-. 【答案与解析】201020102010=(32)(32)(32)(32)(32)(32)1(32)3 2.+⋅-⋅-⎡⎤=+⋅-⋅-⎣⎦=⋅-=-原式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.6.已知2231,12x x x x=-+求.【答案与解析】2231,1=30,(1)133331=33x x x xx x x =+∴->∴=--+==原式当时，原式【总结升华】 化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论. 举一反三【:二次根式 高清ID 号：388065关联的位置名称：计算技巧6-7】 【变式】已知a b +=-3, ab =1,求ab b a +的值. 【答案】∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b11++)=-=3ab ab a bb a ab∴原式.中考数学知识点代数式 一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
人教版八年级数学下册《二次根式》小结与复习提升卷含答案
八年级数学下册《二次根式》小结与复习提升卷含答案1. 对于任意两个和为正数的实数a 、b ，定义◎运算如下：a ◎b b a b a +-=,例如： 3◎111313=+-=.那么8◎12= ． 2.观察下列各式：312311=+；413412=+；514513=+…… （1）请你猜想：_____614=+，______715=+； （2）计算（写出推导过程）：15113+（3）写你将猜想到的规律用含有自然数n （n ≥1）的代数式表达出来 .3. 小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如221223）（+=+,善于思考的小明进行了以下探索: 设()222n m b a +=+ (其中a,b,m,n 均为整数)，则有mn b n m a mn n m b a 2,2,22222222=+=∴++=+这样小明就找到了一种把类似2b a +的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:(1)当a,b,m,n 均为正整数时，若2)3(3n m b a +=+,用含m,n 的式子分别表示a,b 为a= ,b=(2)利用所探索的结论,用完全平方式表示出=+347(3)请化简:36-12.4．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如1323235+，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：335333535=⨯⨯= （一） 36333232=⨯⨯=（二） ()()()()()1-31-31-321-3131-3213222==+⨯=+ （三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．132+还可以用以下方法化简：()()()1-3131-313131-3131-313222=++=+=+=+（四） （1）请用不同的方法化简352+. （2）参照（三）式得352+= ； ‚ 参照（四）式得352+= ． （3）化简：12121 (571351)131-+++++++++n n ．参考答案 1. 552-2.（1）615614=+，716715=+ （2）151141514151961511513151132===+⨯=+ （3）()21121++=++n n n n3.解：（1）mn b n m a mn n m n m 2,3,323)3(22222=+=∴++=+（2）232）（+（3）∵23-336-12）（= ∴3-33-336-122==）（4.解：（1）()()()()()()353535235353-5235222-=--=-+=+， ()()()()3-5353-535353-535222=++=+=+；（2）()()()()()()5-7575-73-5353-51-3131-3+++++=原式()()121212121212...--+-++--+++n n n n n n =21212...25-723-521-3--+++++n n =2112-+n ．。
人教版八年级数学下册二次根式典型例题讲解+练习及答案(提高).doc
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】二次根式（提高）责编：常春芳【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质1、； 2.；3.. 要点诠释：1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0a a a =≥）.2.2a 与2()a 要注意区别与联系：1）a 的取值范围不同，2()a 中a ≥0，2a 中a 为任意值.2）a ≥0时，2()a =2a =a ；a <0时，2()a 无意义，2a =a -.【典型例题】类型一、二次根式的概念1．当x 是__________时，+在实数范围内有意义？ 【答案】 x ≥-且x ≠-1 【解析】依题意，得23010≥①≠②x x +⎧⎨+⎩由①得：x ≥-由②得：x ≠-1当x ≥-且x ≠-1时，+在实数范围内有意义.【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.举一反三：【变式】（2015•随州）若代数式11x x +-有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x≠1 B. x ≥0 C. x≠0 D. x ≥0且x≠1【答案】D提示：∵代数式+有意义，∴， 解得x ≥0且x ≠1．类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x 的取值范围：(1)； (2). 【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【：二次根式及其乘除法（上）例1(1)(2)】【变式】x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）y=x -－11+x ,___________________；（2）y=222+-x x ，______________________； 【答案】(1)01001x x x x -+≠∴≠-≥，≤且（2）2222(1)10,x x x x -+=-+>∴为任意实数.3. （2016•潍坊）实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |+的结果是（ ）A ．﹣2a +bB ．2a ﹣bC ．﹣bD ．b【思路点拨】直接利用数轴上a ，b 的位置，进而得出a ＜0，a ﹣b ＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．【答案】A ．【解析】解：如图所示：a ＜0，a ﹣b ＜0，则|a |+=﹣a ﹣（a ﹣b ）=﹣2a +b ．故选：A ．【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．【：二次根式及其乘除法（上）例4】4.已知c b a ,,为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=．【答案】a b c ++【解析】c b a ,,为三角形的三边,0,0,0a b c b c a b c a ∴+->--<+->即原式=a b c a c b b c a +-++-++-=a b c ++【总结升华】重点考查二次根式的性质：的同时，复习了三角形三边的性质.中考数学知识点代数式一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
人教版初二数学下册：二次根式全章复习与巩固(提高)巩固练习
《二次根式》全章复习与巩固--巩固练习（提高）一、选择题1．x 是怎样的实数时，212x x --在实数范围内有意义？（ ） A. 122x x >≠且 B. 122x x ≥≠±且 C. 122x x ≠≠±且 D. 122x x ≥≠且 2．（2016•杨浦区三模）如果()21221a a -=-，那么 ( ).A ．12a <B ．12a ≤C ．12a >D ．12a ≥ 3．已知443253x <<+-，那么满足上述条件的整数x 的个数是（ ）.A ．4 B. 5 C. 6 D. 74．若x ＜0，则的结果是( ).A ．0B ．-2C ．0或-2D ．2 5．5220,x y x y-++=-若则的值是( ).A ．-7B ．-5C ．3D ．76．（2015•宁夏）下列计算正确的是（ ）A.B.=2C.（）﹣1=D.（﹣1）2=27．小明的作业本上有以下四题： ①；②；③；④.做错的题是( ).A ．①B ．②C ．③D ．④ 8．()2220,a a a a ≥--时，和相比较，下面四个选项中正确的是（ ）.A.()222a a a =-≥- B. ()222a a a >->-C. ()222a a a <-<- D. ()222a a a ->=-二. 填空题9. 计算=___________.10. 若的整数部分是a ，小数部分是b ，则___________.11．比较大小①______；②___.（用>或<填空）12. 已知最简根式232a b a b -+-+-2a+b-1与b-2a 是同类根式，则b a a b +的值为___________. 13．若m ＜0，则=___________.14.已知实数a 满足20102011a a a -+-=，则22010a -=____________.15．已知数,,a b c 在数轴上的位置如图所示：则22()a a c c b b -++---=__________. 16．（2015•黔西南州）已知x=，则x 2+x+1= ．三 综合题17． 计算： (1) ()ab ab bab a b a ab--÷-+ (2)18. 已知：，求的值.19．（2016春•张家港市期末）若,a b 都是实数，且114412b a a =--，试求22b a b a a b a b+++-.20.（2014秋•德惠市期末）某号台风的中心位于O 地，台风中心以25千米/小时的速度向西北方向移动，在半径为240千米的范围内将受影响、城市A 在O 地正西方向与O 地相距320千米处，试问A 市是否会遭受此台风的影响？若受影响，将有多少小时？【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B. 2．【答案】D. 【解析】()2121221a a a -=-=- ，所以120a -≤,即12a ≥. 3．【答案】C.【解析】由原式得：4(32)4(53)(32)(32)(53)(53)x -+<<+--+所以4(32)2(53)x -<<+，因为14(32)2<-<，72(53)8<+<, 所以2,3,4,5,6,7x =. 4．【答案】D.5．【答案】D.【解析】5220,x y -++=若则50,20x y -=+=，即5,2x y ==-. 6．【答案】B. 【解析】解：与不能合并，所以A 选项错误；B 、原式==2，所以B 选项正确； C 、原式==，所以C 选项错误； D 、原式=3﹣2+1=4﹣2，所以D 选项错误．故选B ．7．【答案】D.【解析】32a a 与不是同类根式，不能加减. 8.【答案】A.【解析】因为0a ≥，所以222,(),a a a a a a =-=-=-，即()222a a a =-≥-.二、填空题 9.【答案】.10.【答案】1. 【解析】()31,3133311a b a b ∴==-∴-=--=的整数部分是1，小数部分.11．【答案】①5323-<+ ②【解析】①.②又，且12．【答案】23-. 【解析】因为最简根式232a b a b -+-+-2a+b-1与b-2a 是同类根式（注意没说是同类二次根式）， 所以根指数与被开方数相同，即232122a b a b a b b a -+-=-+-⎧⎨+=-⎩即13a b =-⎧⎨=⎩.13．【答案】-m.14．【答案】2011.【解析】因为20102011a a a -+-=，所以a -2011≥0，即a ≥2011， 则原式可化简为：20102011,20112010,a a a a -+-=-=所以 即22010a -=2011. 15．【答案】0.【解析】由图像知：0,0,0,0,0a c b a c c b <<>+<-<所以原式=a a c c b b -++--=a a c c b b -++-+-=0.16．【答案】2．【解析】解：∵x=，∴x 2+x+1 =（x+）2﹣+1 =（+）2+=+=2．故答案为：2．三.解答题17.【解析】 (1) 原式=a ab ab ab ab ba ba ab+--÷-+=a ab a ba ab ab b-⨯+-=()() ()()a ab a b a ba ab b a b⋅⋅+-⨯+-=a.(2) 原式18.【解析】∴原式.19.【解析】∵114412b a a=-+-+，∴140410aa-≥⎧⎨-≥⎩，∴14a=把14a=代入114412b a a=-+-+，∴12b=∴把14a=，12b=代入22b a b aa b a b++-+-=9132222222-=-=.20.【解析】解：如图，OA=320，∠AON=45°，过A点作ON的垂线，垂足为H，以A为圆心，240为半径画弧交直线OH于M、N，在Rt△OAH中，AH=OAsin45°=160＜240，故A市会受影响，在Rt△AHM中，MH===80∴MN=160，受影响的时间为：160÷25=6.4小时．答：A市受影响，受影响时间为6.4小时．附录资料：巩固练习】一.选择题1．（2015•潍坊模拟）下列说法中，错误的是（）A.平行四边形的对角线互相平分B.对角线互相平分的四边形是平行四边C．菱形的对角线互相垂直 D.对角线互相垂直的四边形是菱形2．（2016•莆田）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直3．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )A.4B.8C.12D.164.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（）A．20 B．15 C．10 D．55.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于（）A．40° B．50° C．80° D．100°6．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为( )A.1B. 2C. 2D. 3二.填空题7．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm．8．（2015•南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为.9. 已知菱形ABCD两对角线AC ＝ 8cm, BD ＝ 6cm, 则菱形的高为________.10.（2016•内江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，AC＝10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_____.12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为_______.三.解答题13．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是3，求AB的值．14．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．15（2015春•泰安校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD 于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；2.【答案】D【解析】∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．故选D．3.【答案】D；【解析】BC＝2EF＝4，周长等于4BC＝16.4.【答案】B；【解析】∵∠BCD=120°，∴∠B=60°，又∵ABCD是菱形，∴BA=BC，∴△ABC是等边三角形，故可得△ABC的周长=3AB=15．5.【答案】C；【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BAC＝12∠BAD，CB∥AD，∵∠BAC＝50°，∴∠BAD＝100°，∵CB∥AD，∴∠ABC＋∠BAD＝180°，∴∠ABC＝180°－100°＝80°．6.【答案】D ；【解析】∠DAF ＝∠FAO ＝∠OAE ＝30°，所以2BE ＝CE ＝AE ，3BE ＝3，BC ＝3BE ＝3. 二.填空题7.【答案】103；【解析】由题意，菱形相邻内角为60°和120°，较长对角线为222105103-=. 8．【答案】1：；【解析】如图，设AC ，BD 相较于点O ，∵菱形ABCD 的周长为8cm ， ∴AB=BC=2cm ， ∵高AE 长为cm ，∴BE==1（cm ），∴CE=BE=1cm ，∴AC=AB=2cm ，∵OA=1cm ，AC ⊥BD ， ∴OB==（cm ），∴BD=2OB=2cm ， ∴AC ：BD=1：．9.【答案】245cm ； 【解析】菱形的边长为5，面积为168242⨯⨯= ，则高为245cm . 10.【答案】.【解析】∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4， 在Rt △OBC 中，∵OB=3，OC=4， ∴BC==5，∵OE ⊥BC ，∴OE •BC=OB •OC ， ∴OE==． 故答案为．11.【答案】60；【解析】因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在Rt△AOB 中利用勾股定理求出OB ＝12，BD＝2OB ＝24，DE ＝2OC ＝10，BE ＝2BC ＝26，△BDE 的周长为60．12.【答案】（3,4）；【解析】过B 点作BD ⊥OA 于D ，过C 点作CE ⊥OA 于E ，BD ＝4，OA ＝x ，AD ＝8－x ，()22284x x =-+，解得5x =，所以OE ＝AD ＝8－5＝3，C 点坐标为（3,4）.三.解答题 13.【解析】 解：∵∠ABC ＝120°∴∠BCD ＝∠BAD ＝60°； ∵菱形ABCD 中， AB ＝AD ∴△ABD 是等边三角形；又∵E 是AB 边的中点， B 关于AC 的对称点是D ，DE ⊥AB 连接DE ，DE 与AC 交于P ，PB ＝PD ； DE 的长就是PB ＋PE 的最小值3； 设AE ＝x ，AD ＝2x ， DE ＝()22233x x x -==，所以1x =，AB ＝22x =.14.【解析】四边形BFDE 是菱形， 证明：∵AD⊥BD，∴△ABD 是直角三角形，且AB 是斜边， ∵E 为AB 的中点，∴DE＝12AB ＝BE ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC∥AB，DC ＝AB ，∵F 为DC 中点，E 为AB 中点， ∴DF＝12DC ，BE ＝12AB ， ∴DF＝BE ，DF∥BE，∴四边形DFBE 是平行四边形， ∵DE＝EB ，∴四边形BFDE 是菱形． 15.【解析】证明：∵∠ABC=90°，BD 为AC 的中线， ∴BD=AC ，∵AG ∥BD ，BD=FG ，∴四边形BGFD 是平行四边形， ∵CF ⊥BD ，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴DF=AC，∴BD=DF；（2）证明：∵BD=DF，∴四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，∴四边形BDFG的周长=4GF=20．。
(家教培优专用)人教版数学八年级下册--二次根式全章复习与巩固(基础)巩固练习
《二次根式》全章复习与巩固--巩固练习（基础）一.选择题1．下列式子一定是二次根式的是( ).A ．B ．C ．D ．2.若21,a a =-则a 应是（ ）. A. 负数 B. 正数 C. 非零实数 D. 有理数3.18的同类二次根式是（ ）. A. 27 B.24 C.72 D.1084．下列说法正确的是( ).A ．若，则a ＜0 B ．C ．D ．5的平方根是 5．5220,x y x y -++=-若则的值是( ).A ．-7B ．-5C ．3D ．76．下列各式中，最简二次根式是（ ）.A.1x y - B.ab C.21x + D.25a b 7．（2015•潜江）下列各式计算正确的是（ ）A.+=B.4﹣3=1C. 2×3=6 D.÷=3 8．把1()()a b a b a b--<-化成最简二次根式，正确结果是（ ）. A.b a - B.a b - C.a b -- D.b a --二. 填空题9. 计算11(124)(240.5)83---=___________. 10.（2015•永州模拟）设m=+1，那么1m m+的整数部分是 ． 11．比较大小：2313.12. 43a b +与2a-b+6a b +的值为___________.13．已知20,_______a b a a b <<-=化简.14．249213a a a a +--+-+-的值等于 ___________.15．已知数,,a b c 在数轴上的位置如图所示：则22()a a c c b b -++---=__________.16．在实数范围内因式分解：(1)44a a ++ =___________________. (2)=___________________. 三. 综合题17．计算：(1)(2) 23232327264b a ab a a b a -+18.（2015•江西校级模拟）已知x=，y=，求的值．19．先化简代数式1(1)11a a a +÷--，然后当4a =时，求代数式的值.20. 若x ，y 是实数，且，求的值.【答案与解析】一.选择题1．【答案】 C.【解析】满足二次根式必须被开方数大于等于0，因为x 没有取值范围，所以只有中无论x取何值22x +≥0，即选C.2．【答案】 A.【解析】 2a a =Q ，所以21a a a a ==-，即a a =-，又因为a 0≠，所以a 是负数. 3．【答案】C .【解析】判断是否是同类二次根式，一定要先化为最简二次根式，再判断. 因为 A 2733= B.2426= C.7262= D .10863=而1832=，所以选C.4．【答案】C .5．【答案】D .【解析】5220,x y -++=若则50,20x y -=+=，即5,2x y ==-.6．【答案】C .【解析】只有选项C 满足被开方数是整数或是整式；且被开方数中不含能开方的因式或因数.7．【答案】D.【解析】解：A.，无法计算，故此选项错误， B.4﹣3=，故此选项错误， C.2×3=6×3=18，故此选项错误， D.=，此选项正确， 故选D ．8.【答案】D.【解析】21()()()()a b a b a b a b a b a b a b a b ----=--=-----，因为a b <，所以原式=()a b b a ---=--.二.填空题9. 【答案】4323+. 10.【答案】3.【解析】解：∵m=+1， ∴1m==， ∴1m m +=+1+=∵2＜＜2.5∴10＜5＜12.5∴13＜5+3＜15.5∴3＜＜＜15.5÷4＜4∴1m m +的整数部分为3． 故答案为：3． 11．【答案】<. 12．【答案】2. 【解析】因为43a b +b+1与2a-b+6是同类二次根式，所以124326b a b a b +=⎧⎨+=-+⎩, 解方程组得11a b =⎧⎨=⎩. 13．【答案】b -.【解析】因为2a a b a a b --=--，又因为0a b <<，所以原式=()a b a a b a b ---=--+=-.14．【答案】0.【解析】因为2a -≥0，即2a ≤0，即0a =，所以原式=0.15．【答案】0.【解析】由图像知：0,0,0,0,0a c b a c c b <<>+<-<,所以原式=a a c c b b -++--=a a c c b b -++-+-=0.16．【答案】(1)2(2)a +;(2)三、解答题17.【解析】 (1) 原式=(2) =2ab 3a 332ab a ab a -+原式=532ab a . 18.【解析】解： 原式==当x=，y=时，原式===﹣．19.【解析】原式=111 11a a aaa a a-+÷=⨯=+ --.20.【解析】∵x-1≥0， 1-x≥0，∴x=1，∴y＜.∴=.。
2020—2021年人教版初中数学八年级下册二次根式的乘除例题解析+巩固练习及答案(精品试题).docx
二次根式乘除四、典题探究例1 计算：（1）－12×6；（2）3x ×6y ；（3）2x y +×24x y +；（4）32x y ×318xy .例2 计算：（1）72÷6；（2）112÷16.（3）263x y xy；（4）56214- 例3 计算：（1）75÷（6×12）；（2）2×5÷50.例4 阅读理解题型222233=+，333388=+ 验证：2233322222321-+==-2222(21)2222221213-+==+=+--； 332222333333(31)333333883131318-+-+====+=+---． （1）按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n （n 为任意正整数且2n ≥）表示的等式，并给出证明． 五、演练方阵A 档（巩固专练）1. 直接填写计算结果： （1）805=_________；（2）3590710÷=___________；（3）32111273103÷⨯=_________；（4）7623483x y x y=__________． 2. 计算24812⨯⨯=_______；224024-＝_________．3. 把根号外的因式移到根号内：1(1)1a a --=-__________ 4.．下列二次根式中不是最简二次根式的是（ ） A. 21a + B. 21x + C.24b D. 0.1y5. 计算341843÷⨯；结果为（ ）Ａ．32Ｂ．42 Ｃ．52Ｄ．626. 给出下列四道算式： （1）2(4)44ab ab-=-（2）22223411453+=- （3）2847xx x=（4）2()()b a a b a b a b-=->-其中正确的算式是（ ） Ａ．（1）（3） Ｂ．（2）（4） Ｃ．（1）（4）Ｄ．（2）（3）7. 化简二次根式2(5)3-⨯得（）Ａ．53-Ｂ．53 Ｃ．53±Ｄ．308. 计算：（1）2222414034-+ （2）521000.5x y x y（3）23314525÷（4）1a b b a b ⎛⎫÷ ⎪ ⎪⎝⎭9. 计算：（1）325(3)23⨯-；（2）18502⨯（3）213215 38⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭． 10. 一个三角形一边长为23cm ，这边上的高是6cm ，求这个三角形的面积B 档（提升精练）11. 若6 2.449=，则54=（精确0.01）．12. 计算188⨯=．13. 计算：25(4)(169)9-⨯⨯-=，计算：0.04640.25169⨯=⨯． 14. 已知一个直角三角形的斜边21c =，一条直角边4b =，则另一条直角边a =． 15. 计算：322113÷=． 16. 已知三角形的一边长为2xy ，这边上的高为1xy，则这个三角形的面积是． 17. 计算：311294524543⎛⎫÷⨯- ⎪⎝⎭．18. 计算：533455156y xy x y x ⎛⎫⎛⎫÷-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．19. 若直角三角形的面积是218cm ，一条直角边长3cm ，求另一条直角边长及斜边上的高线长．20. 张老师在微机上设计了一个长方形图片，已知长方形的长是140cm π，宽是35cm π．他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助张老师求出圆的半径．C 档（跨越导练） 21. 式子2233x xy y--=成立时，x y ，满足的条件为（ ）Ａ．0x y ⎧⎨<⎩≥Ｂ．00x y ⎧⎨>⎩≤ Ｃ．0x y ⎧⎨<⎩≤ Ｄ．0x y ⎧⎨>⎩≥ 22. 下列根式中最简二次根式的个数有（ ）22x y ，2ab，35xy ，22y c，225()a b -，3375x y ，22x y +．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个23. 下列计算正确的是（ ） A ．51533= B ．824= C ．142a a b b = C ．51542= 24. 化简21a a a--的结果（ ）．A ．1a --B ．1a ---C ．1a -D ．1a --25. 定义运算“@”的运算法则为: x@y= 4xy + ，则 (2@6)@8=． 26. 计算：①42259x y （y ＞0）=______.②224a b c （a ＞0,b ＞0,c ＞0）=______.27. 对于题目：“化简并求值：22112a a a ++-，其中15a =．”甲、乙两人的解答不同，甲的解答是：222111111125a a a a a a a a a ⎛⎫++-=+-=+-= ⎪⎝⎭；乙的答案是：22211111124925a a a a a a a a a a a ⎛⎫++-=+-=+-=-= ⎪⎝⎭． 谁的解答是错误的？为什么？ 28. 已知3xy =，求y xx y x y+的值。
2020—2021学年人教版八年级数学下册专题复习资料 第16章 《二次根式》巩固与提升分题目例析
八年级数下册专题复习资料：《二次根式》巩固与提升分题目例析编制：赵化中学新人教版八年级数学下册的《二次根式》可以看作是七年级数学之《数的开方》的延伸，同时这个单元也是为后面多个章节的学习作铺垫，《二次根式》内容和习题安排上融合串联了七八年级数与式、方程与不等式等等的内容，位置特殊，作用明显.含二次根式的题型是统考、中考的热点题型；但在二次根式的学习中部分同学们感到比较吃力，下面我分10个题目例举解析，附有追踪和提升性练习，希望对同学们有所帮助.题目一. 利用二次根式中即算术平方根的双重非负数性巧解“难”题例1.、m n=-n 4，求()-2021m n 的值？分析：根据式子有62m 0m 30-≥⎧⎨-≥⎩，先求得m 的值，再n 的值，代入即可求值.略解：根据题意可知：62m 0m 30-≥⎧⎨-≥⎩解得：=m 3；把=m 3=-n 4有：解得：=n 4 所以()()()-=-=-=-202120212021m n 3411.例2.已知++=2a 2a 10，则()+2021a b（ ）A.1B.-1C. 0D.2 分析：根据式子整理为()-+=2a 10，利用非负数的性质可求得、ab 的值，从而使问题得以解决.略解：原式整理为()-=2a 10∵()-≥2a 10≥0∴ -=⎧⎨++=⎩a 10a 2b 30)()()=-=-=-202120212021b 1211. 故选B. 例3.的值？分析：()--≥2a 10，而()--≤2a 10，故-=a 10 可求得a 1=，代入可求值.略解：∵(--a ∴-=a 10 ，解得a 1=.∴原式==-+=3102..追踪练习： 1.若=b 3 ，分别求出+a b 的算术平方根.2. 如果有+=-y 24x，求yx 的值.3.已知-=m 30,化简并求+-⨯-22222m mn m mnn m n的值. 4.若-+2a 6a 9()-2021a 4b 的值.5.6.题目二.逆用()2a a 0=≥即()2a a 0=≥巧算举例.例1.例2.⑴.⑵.原式==-7；⑶. 原式-=例3.分析：双重二次根式的计算或化简往往是同学们感到比较抽象的.其实关键也是把被开方数部分化成“平方”的形式，本题比较抽象的是被开方数部分是两“项”，但我们若用“拆项”的技巧，可以使问题得以解决.也就是223211-=-=-，此时被开方数可以化成)21a =来可将外层根号化去.1===.追踪练习：1.2.计算：3.-.4.已知：b 18=5..a=略解：⑴.⑵.⑶. 例2.略解：例3.若0<分析：本题关键是含二次根号的部分化简.的221m 2m+-可以借助因式分解的方法化成21m m⎛⎫- ⎪⎝⎭a =来可将根号化去.略解：∵0m 1<<2111m m m m m m -==-=-=∴原式=()()21m 1m 1m 11m 11m 1m m 1m +---⎛⎫⨯+⨯=⨯⨯= ⎪+⎝⎭. 例4.若a b c 、、为⊿ABC 的三边.分析：构建的，情况是本题的关键，根据三角形三边之间的关系可以搞定. 略解：∵a b c 、、为⊿ABC 的三边∴a b c +>，b c a -<，b c a +>.∴,,a b c 0b c a 0b c a 0+->--<+->∴原式=a +b c a +-=a b c ++ 例5.()-++--22a a c c b b分析：本题关键是结合数轴上表示的实数a,b,c ，分别判断出+-a,a c,c b,b 的正负情况，然后根据绝对值的意义化简. ∵<><a 0,b 0,c 0，且<<a c b∴+<a c 0。
人教版数学八年级下二次根式(全章)高频率习题及答案
二次根式高频考点16.1二次根式：1. 使式子.口有意义的条件是 _________________________ 。
2. 当 ___________ 时，府7 +厂衣有意义。
3. 若、..— 有意义，则m 的取值范围是。
m +1 4. 当x _________ 时，J （1_x j 是二次根式。
5. 在实数范围内分解因式： x 4-9= ___________ ,X -2屁+ 2= ____________6. 若4x 2 =2x ，贝卩x 的取值范围是 ________________________ 。
7. 已知 i [ x - 2 = 2 - x ，贝U x 的取值范围是 ______________________ o8. 化简：•,X 2-2X ，1 X V ：1 的结果是 __________________________ o9. 当 1 兰x V5 时，J （x_1 j + x — 5 = __________ o10. 把a.,-；的根号外的因式移到根号内等于 ___________________ o 11. 使等式•..，x 1 X -1 = X -1口 X 1成立的条件是 ______________________ 12. 若a-b+1与J a + 2b +4互为相反数，则（a -b 『°5= __________________ 。
-2,2 xV 0 , 3 3, . x 2 1,x y 中，二次15. 若 2 Y a Y,3，则〔2 ~• i.〔 a ~3 等于(A. 5 - 2aB. 1 - 2aC. 2a - 5D. 2a -1 16.若 A = a 2 4 ，则 A =( )2 2A. a 24 B. a 22 C.a 22 D.a 2 4A.戶B. 3 2mC..a 2 1 D.A. 2个B. 3 个C. 4 个D. 5 个 14.下列各式一定是二次根式的是（）17. 若a叮，贝U ... 1 -a 3化简后为（）A. a-1 . a -1B.C. a-1 ,1-aD. 1 — a、a-118. 能使等式二2 =二2 成立的x的取值范围是（）A. x=2B. x_0C. x>2D. x_219. 计算：J（2a—1）2+ J（1—2a $ 的值是（）A. 0B. 4a-2C. 2-4aD. 2-4a 或4a - 220. 下面的推导中开始出错的步骤是（）；2 3 二J 22一3 二12 1—2胎=/—2^3=屁川（2）2 3 —2 3|川川皿川仙32=-2||（|||）川川川川川4A. 1B. 2C. 3D. 421. 若、,x - y • y2-4y • 4 =0，求xy 的值。
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《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.
2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.
3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】
【要点梳理】
知识点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式
形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如1
3,,0.02,02
等式子，都叫做二次根式.
要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子
a 才是二次根式，a 才有意义.
2.二次根式的性质 （1）； （2）
；
（3）.
要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即
a 2=（0a ≥），如22212;;3x ===（0x ≥）.
（2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论a .
（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.
（42
的异同
a 可以取任何实数，而2
中的a 必须取非负数；
a ，2=a （0a ≥）.
相同点：被开方数都是非负数，当a 2
.
3. 最简二次根式
1）被开方数是整数或整式；
2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.都是最简二次根式.
要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方
数是否相同，再判断.显然是同类二次根式.
知识点二、二次根式的运算 1. 乘除法
（1）乘除法法则：
类型 法则 逆用法则
二次根式的乘法
0,0)a b =≥≥
积的算术平方根化简公式：
0,0)a b =≥≥
二次根式的除法
0,0)a b
=≥>
商的算术平方根化简公式：
0,0)a b
=≥>
要点诠释：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的
法则，如=
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如-⨯-≠-⨯-.
(4)(9)49
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
要点诠释：
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二
+-=+-=-.
次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22
【典型例题】
类型一、二次根式的概念与性质
1． x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)； (2).
【答案】（1）;
（2）.
【解析】(1) 要使在实数范围内有意义，
则必有
∴当时，在实数范围内有意义；
(2) 要使在实数范围内有意义，则必有
∴当时，在实数范围内有意义；
a≥时a才是二次根【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0
式.
举一反三：
【变式】已知，求的值.
【答案】根据二次根式的意义有
将代入已知等式得
2.（2016•柘城县校级一模）把1
a a
-- 中根号外的因式移到根号内的结果是( ).
A ．a -
B ．a -
C ．a --
D ．a 【答案】A.
【解析】由二次根式的意义知1
0a
-
> ，则0a < ()2
11a a a a a
--
=-⨯-=-. 【总结升华】在利用二次根式性质化简时，要注意其符号，要明确a 是非负数，反过来将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数。
举一反三：
【变式】（2014春•团风县校级期中）已知x 为奇数，且
=
，
求•．
【答案】解：∵
=，
∴6≤x＜9，
∵x 为奇数， ∴x=7， 则
•
=8×
=12
．
3. 实数,,a b c 在数轴上对应的点如图：
22()1()a c c b a b c --+++.
【答案与解析】由数轴可知0,0,0,,a c b a c b ><<>>并且b a >
,00,100,0,00,00
a c a c c c a
b b a b a b
c b c >∴-><∴-<><>∴+<<<∴+<Q Q Q Q
∴22()1()a c c b a b c -+-++-+
=1a c c b a b c -+-++-+ =1a c c b a b c -+---++ =1c -
【总结升华】本题不仅考查了二次根式和绝对值的化简问题，同时考查了学生的观察能力.通过观察确定,,a b c 的大小关系是本题的关键.
【：二次根式 高清ID 号：388065关联的位置名称：填空题5】 举一反三：
【变式】∆ABC 的三边长为a 、b 、c ，则2
2
()()a b c a b c ---+-= . 【答案】22c a -. 类型二、二次根式的运算 4．（2015•昆山市一模）计算 （1）
（2）
．
【答案与解析】解：（1）原式=2﹣1+3=4；
（2）原式=2﹣3﹣﹣2=﹣﹣3．
【总结升华】此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的
性质化简以及乘法计算 公式是解决问题的关键． 举一反三：
【变式】计算
【答案】
5.已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，化简
【答案与解析】∵a 、b 、c 为△ABC 的三边长，
∴原式
【总结升华】利用三角形任意两边之和大于第三边和进行化简.
6.若0x >___________x xy xy y xy y
x xy
+-=+-.
【答案与解析】
【总结升华】把分子分母分别分解因式，然后约分，可以简化化简步骤. 举一反三： 【
变
式
】
当
222
1221123
a a a a a a a a -+-+=---+.
【答案】23,10.23
a a =
=-<+由得
22(1)(1)1
=11a a a a a --∴-=-+
-原式，
将2323
a =
=+=3.
()()()()
x x y y x y y x y x x y y x y
x
xy xv y x y xy xy
+-+
+-=+=
+=原式。