人教版八年级数学下册二次根式典型例题讲解+练习及答案(提高).doc

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二次根式（提高）

责编：常春芳

【学习目标】

1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.

2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进

行计算和化简．

【要点梳理】

要点一、二次根式及代数式的概念

1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.

2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质

1、

； 2.；

3.

. 要点诠释：

1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，

即2()(0a a a =≥）.

2.2a 与2()a 要注意区别与联系：1）a 的取值范围不同，2()a 中a ≥0，2a 中a 为任意值.

2）a ≥0时，2()a =2a =a ；a <0时，2()a 无意义，2a =a -.

【典型例题】

类型一、二次根式的概念

1．当x 是__________时，

+在实数范围内有意义？ 【答案】 x ≥-

且x ≠-1 【解析】依题意，得23010≥①≠②x x +⎧⎨+⎩

由①得：x ≥-

由②得：x ≠-1

当x ≥-且x ≠-1时，+在实数范围内有意义.

【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.

举一反三：

【变式】（2015•随州）若代数式11x x +-有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x≠1 B. x ≥0 C. x≠0 D. x ≥0且x≠1

【答案】D

提示：∵代数式

+有意义，

∴， 解得x ≥0且x ≠1．

类型二、二次根式的性质

2.根据下列条件，求字母x 的取值范围：

(1)

； (2). 【答案与解析】(1)

(2)

【总结升华】二次根式性质的运用.

举一反三：

【：二次根式及其乘除法（上）例1(1)(2)】

【变式】x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？

（1）y=x -－1

1+x ,___________________；（2）y=222+-x x ，______________________； 【答案】(1)01001x x x x -+≠∴≠-≥，≤且

（2）2222(1)10,x x x x -+=-+>∴为任意实数.

3. （2016•潍坊）实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |+

的结果是（ ）

A ．﹣2a +b

B ．2a ﹣b

C ．﹣b

D ．b

【思路点拨】直接利用数轴上a ，b 的位置，进而得出a ＜0，a ﹣b ＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．

【答案】A ．

【解析】

解：如图所示：a ＜0，a ﹣b ＜0，

则|a |+

=﹣a ﹣（a ﹣b ）

=﹣2a +b ．

故选：A ．

【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．

【：二次根式及其乘除法（上）例4】

4.已知c b a ,,为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=

．

【答案】a b c ++

【解析】c b a ,,为三角形的三边,0,0,0a b c b c a b c a ∴+->--<+->

即原式=a b c a c b b c a +-++-++-=a b c ++

【总结升华】重点考查二次根式的性质：

的同时，复习了三角形三边的性

质.