二次根式 基础知识详解+基本典型例题解析

【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正：
(1)
；
(2)
× =4× × =4 × =4 =8 .
【答案】(1)不正确．
改正：
=
(2)不正确．
＝ × =2×3=6；
改正：
×=
×=
=
=
＝4 .
2.计算：（1）（2014 秋•门头沟区期末） 4 ÷（﹣ ）×
．
（2）（2014 秋•松江区校级期中）计算： ÷ ×
【解析】解：因为 =
=2 ，因此 不是最简二次根式．
故选 B． 【总结升华】规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 举一反三： 【变式】化简
（1） (2)2 a3b2c5 (a 0, b 0)
（2） 16ab2c3
则|a|+
=﹣a﹣（a﹣b） =﹣2a+b．
故选：A． 【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题
关键．
4. 已 知 a, b, c 为 三 角 形 的 三 边 ， 则 (a b c)2 (b c a)2 (b c a)2 =
．
【答案】 a b c 【解析】 a, b, c 为三角形的三边, a b c 0,b c a 0,b c a 0
1．当 x 是__________时，
+ 在实数范围内有意义？
【答案】 x≥- 且 x≠-1
2x 3≥0 ①
【解析】依题意，得

x

1≠0
②
由①得：x≥-
Leabharlann Baidu
由②得：x≠-1
当 x≥- 且 x≠-1 时，
+ 在实数范围内有意义.
【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念. 举一反三：
【变式】（2015•随州）若代数式
【要点梳理】
知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根
1.乘法法则：
（ a ≥0，b ≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，
只把被开方数相乘. 要点诠释：
(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中 a、b 都必须是非 负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).
．
【思路点拨】做二次根式的乘除时要注意计算法则，根号外和根号内的因式分别相乘除， 最终计算结果要化为最简形式.
【答案与解析】解：（1）原式=﹣2 ÷ ×
=﹣ ×
= 4． 3
（2）原式 ÷ × =
=． 【总结升华】掌握乘除运算的法则，并能灵活运用.
类型二、最简二次根式
3. （2016•自贡）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【思路点拨】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中 的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时 满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【答案】B．
【总结升华】 a2 a 成立的条件是 a >0;若 a <0,则 a2 a .
【基本典型例题】(2) 类型一、二次根式的乘除
1. 计算：（1）（2014 秋•闵行区校级期中） ×（﹣2 ）÷
．
（2）（2014 春·高安市期中） a 8a 2 a 2 1 2a 2a a
【答案与解析】 解：（1） ×（﹣2 ）÷
二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．注意：本题中的分母不能等 于零．
举一反三： 【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）.
A. 32 B. 0.32 C. 2 D. x
【答案】B. 类型二、二次根式的性质
3. 计算下列各式：
(1) 2 ( 3)2 4
(2) (3.14 )2
1 x
1

x 有意义，则实数 x 的取值范围是（
）
A．x≠1 【答案】D
B. x≥0
C. x≠0 D. x≥0 且 x≠1
提示：∵代数式 + 有意义，
∴
，
解得 x≥0 且 x≠1． 类型二、二次根式的性质
2.根据下列条件，求字母 x 的取值范围：
(1)
； (2)
.
【答案与解析】 (1)
(2)
【总结升华】二次根式性质的运用.
2.
（ a ≥0）；
3.
.
要点诠释： 1.二次根式
(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，
即 a ( a )2 (a≥0）.
2. a2 与 ( a )2 要注意区别与联系：1). a 的取值范围不同，( a )2 中 a ≥0， a2 中 a
为任意值。
2). a ≥0 时， ( a )2 = a2 = a ； a <0 时， ( a )2 无意义， a2 = a .
【总结升华】根据数轴判断出 a、b、c 的正负性，根据二次根式的性质与化简、绝对值 的性质，正确进行计算即可. 举一反三：
【变式】若整数 m 满足条件 (m 1)2 m 1, 且m 2 , 则 m 的值是___________. 5
【答案】 m =0 或 m =-1.
【基本典型例题】(2) 类型一、二次根式的概念
开方数相除.。 要点诠释：
(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数 a、b 的取值范围应特别
注意， a ≥0， b >0，因为 b 在分母上，故 b 不能为 0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽 量化简，最后结果中分母不能带根号.
2.商的算术平方根的性质:
= ×（﹣2 ）×
=﹣
=﹣
=﹣ ．
(2)原式= a 8a2 a2 1 2a 2a a
2 2a2 a2 2 2a 2a 2a a
2
2a2
2a a2
2a a
4 2.
【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.
举一反三：
【变式】 2
a2 b2 6x2
（ a ≥0， b >0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除
式的算术平方根. 要点诠释：
运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.
知识点三、最简二次根式
（1）被开方数不含有分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
二次根式 目录
一、二次根式 二、二次根式的乘除 三、二次根式的加减 四、《二次根式》全章复习与巩固
一、二次根式基础知识讲解+基本典型例题解析
【学习目标】 1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.
2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（ a ≥0），
（ a ≥0），
0），并利用它们进行计算和化简． 【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ 根号． 要点诠释：
x2 4 3a 3b 5
ab b
【答案】原式= 2 1 5 4
a2 b2 x2 a b 6x2 3a 3b b
5 =2
(a b)(a b) x 2 b 5
6x2
3(a b) a b 2
b 5 18 12
【答案】(1)原式= 22 a2ab2c4c = 2abc2 ac ;
（2） 原式= 4bc ac
4.已知 0< a < b ,化简 a b b2 2ab a2 . a b a3b2 a2b3
【答案与解析】原式= a b (b a)2 = a b b a 1 (a b) a b a2b2 (a b) a b ab (a b)(a b) = 1 ab ab
举一反三：
【变式】x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？
（ 1 ） y=
x
－
1 x 1
,___________________ ；（ 2 ） y=
______________________；
x2 2x 2 ，
【答案】 (1)x≥0，x 1 0 x≤0且x 1
（2） x2 2x 2 (x 1)2 1 0, x为任意实数.
举一反三： 【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）.
（1）
1 ；（2） 3
3 ；（3）
x2 1 ；（4）3 8 ；（5）
( 1)2 ；（6） 1 x（ x 1 ） 3
A．2 B.3 C.4 D.5 【答案】B.
2. （2016•贵港）式子
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
【基本典型例题】(1) 类型一、二次根式的概念
1（2015 春•潍坊期中）下列各式中
次根式的有（ ）个．
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】 B
【解析】解： 2 ，- 3 ， x2 1 一定是二次根式，故选：B．
，一定是二
【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号 数或 0．
；第二，被开方数是正
必须满足 a ≥0，b
≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等
式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分
解因数，把含有 形式的 a 移到根号外面.
知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则：
（ a ≥0， b >0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1 【思路点拨】被开方数是非负数，且分母不为零，由此得到：x﹣1＞0，据此求得 x 的取值 范围． 【答案】C． 【解析】 解：依题意得：x﹣1＞0， 解得 x＞1． 故选：C．
【总结升华】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：
3. （2016•潍坊）实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+
的
结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b 【思路点拨】直接利用数轴上 a，b 的位置，进而得出 a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及 二次根式的性质化简得出答案． 【答案】A． 【解析】 解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，
二次根式的两个要素：①根指数为 2；②被开方数为非负数.
（a≥
”称为二次
2.代数式：形如 5，a，a+b，ab， ，x3，
这些式子，用基本的运算符号(基
本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们 称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质
1. a ≥0，（ a ≥0）；
（1) 被开方数是分数或分式；
（2）含有能开方的因数或因式.
【基本典型例题】(1)
类型一、二次根式的乘除法
1．(1) × ； (2) × ； (3) ； (4)
；
【答案与解析】(1) × = ；
(2) × =
=；
(3) = = =2；
(4)
=
= ×2=2 .
【总结升华】直接利用
计
算即可． 举一反三：
4. （2015 春•孝南区月考）已知实数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，
化简： a2 | a c | (c b)2 | b | |．
【解析】解：由图可知，a＜0，c＜0，b＞0，且|c|＜|b|， 所以，a+c＜0，c﹣b＜0，
a2 | a c | (c b)2 | b | =﹣a+a+c+b﹣c﹣b=0.
即原式= a b c a c b b c a = a b c
【总结升华】重点考查二次根式的性质：
的同时，复习了
三角形三边的性质.
二、二次根式的乘除基础知识讲解+基本典型例题解析
【学习目标】 1、 掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的 乘除运算. 2、 了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.
(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
≥0， ≥0，….. ≥
0）.
(3).若二次根式相乘的结果能写成 的形式，则应化简，如
.
2.积的算术平方根:
（ a ≥0，b ≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方
根的积.
要点诠释：
(1)在这个性质中，a、b 可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都
【答案与解析】(1) 原式=-2 3 =- 3 . 42
(2) 原式= 3.14- = -3.14 .
【总结升华】 二次根式性质的运用. 举一反三：
【变式】（1）
(2
5 )2 =_____________.
2
（2） a 2 ( 2 a )2 =_____________.
【答案】(1) 10;(2) 0.