二次根式例题讲解

❖考点解析：
1.二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；
2.分式有意义的条件：分母不等于 0.
A
7
典例剖析
例 2 完成下列各个问题：
（1）已知 (xy3)22y0， 则 xy 1 ；
❖考点解析： 1.三种非负数：二次根式，绝对值，完全平方式； 2.几个非负数之和为 0，则每个非负数都为 0.
A
8
典例剖析
（3）
a2
a
a （a≥0） a （a≤0）
点拨：( a ) 2 与 a 2 的区别与联系.
呈现方式相近， 所含意义不同；
取值范围有别， 运算顺序相反； 运算结果虽不同，结果都是非负数.
A
4
知识梳理
知识点 3 二次根式的化简和运算： （1）二次根式的乘除
①二次根式的乘法法则： a bab (a0 ， b0) 积的算术平方根的性质： a ba b(a0 ， b0)
例 2 二次根式的化简求值问题
已知 x32 2，y32 2， 求式子 x2yxy2的值.
❖考点解析： 化简求值步骤
先化简
化简所求式 化简已知式
再求值
整体代入
A
18
王牌例题
例 3 阅读理解，探索问题
阅读材料：
小明学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写
成另一个式子的平方，如 32 2(1 2)2，善于思考的
例 2 完成下列各个问题：
（2）当 x 取何值时， 9x13的值最小？
解：∵ 9x 1≥0 ∴当 9x10时，9x13的值最小 解得 x 1 9
即当
x
1 9
时， 9x13的值最小
❖考点解析：
二次根式的值为A 非负数.
9
典例剖析
例 2 完成下列各个问题：
（3）若 a＜1，化简式子 (a 1)2 1的结果是（ D ）
典例剖析
例 4 计算下列各题：
（3）( 21)(2 2)2222 2 2 另解：原式＝ ( 21)2( 21) 2[(2)212]
2
❖考点解析： 巧用乘法公式、因式分解及运算律
A
13
典例剖析
例 4 计算下列各题：
（4） 48
3
1 2
12
24
❖考点解析： 混合运算步骤：
48 1122 6
运算顺序 ↓
32
运算法则
16 626 4 6
↓ 运算结果
A
14
王牌例题
例 1 二次根式的大小比较问题 （请在横线上填写“＞”、“＜”或“＝”）
（1）2 11 ＜ 3 5 ；
（2） 13 7 ＞ 17 3；
（3） 5 1 ＞ 1 .
2
2
❖考点解析：
巧用二次根式比较大小的方法：
（1）外因内移法；（2）平方法；（3）求差法.
小明进行以下探索：
设 ab2(mn2)（2 其中 a、b、m、n 均为正整 数），则有 a b2 m 2 2 n 2 2 m2 n ，
∴ am22n2，b2mn. 这样小明就找到了一种把
部分 ab 2式子化为平方式的方法. 请你按照小明的方法探索并解决下列问题：
A
19
王牌例题
例 3 解决问题
设 ab2(mn2)2 则有 a b2 m 2 2 n 2 2 m2 n ∴ am22n2， b2mn
（1）当 a、b、m、n 均为正整数时，若
ab3(mn3)2，用含 m、n 的式子表示 a、
b，则 a＝ m2＋3n2 ，b＝ 2mn
；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数 a、b、m、n
填空： ＋
A. a2
B. 2a
C. a
D. a
❖考点解析：
二次根式的性质：
a2
aLeabharlann Baidu
a （a≥0） a （a≤0）
A
10
典例剖析
例 3 化简：
（1） 1 2 ； 22
❖考点解析： 1.商的算术平方根的性质； 2.最简二次根式的条件. 简记：（如下图）
最简二次根式
（2） 1 7 4 ； 93
a （3） 0.5a3b 2
叫做最简二次根式.
①被开方数不含分母；
②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
（3）同类二次根式：几个二次根式化简成最简二次根
式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫
做同类二次根式.
A
3
知识梳理
知识点 2 二次根式的性质：
（1）二次根式的双重非负性：a≥0 且 a ≥0. （2）( a)2 a（a≥0）
八年级 下册
第十六章 例题讲解
A
1
体系建构 本章知识结构图
二次根式的概念
二次根式
二次根式的性质
二次根式的运算
A
2
知识梳理
知识点 1 与二次根式有关的概念：
（1）二次根式的定义：一般地，我们把形如 a （a≥0）
的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号.
（2）最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，
②二次根式的除法法则： a a (a0，b＞0) bb
商的算术平方根的性质： a a (a0，b＞0) bb
（2）二次根式的加减：先把所有二次根式化简为最简
二次根式，再A合并同类二次根式.
5
知识梳理
本章概述
（一）本章的重点、难点：
重点：二次根式的概念和运算；
难点：二次根式的概念和运算.
（二）本章的易错点：
2 ab
.
A
根号内
有分母 要化去
因式中 能开尽 要外移
11
典例剖析
例 4 计算下列各题：
（1） 12 32 3 3 3 3
（2） 11 51 3.5 24
3 2
21 4
2 7
3 21 2 247
9 3 42
❖考点解析：
1.二次根式的加减法运算步骤：
先化简→再分类→后合并
2.二次根式的A 乘除法运算步骤：先整合→再约1分2
1. 对二次根式有意义的条件的理解；
2. 二次根式的化简；
3. 二次根式的运算：
（1）忽视运算顺序；
（2）混淆运算法则.
A
6
典例剖析
例 1 完成下列各个问题：
（1）使二次根式 4x 1 有意义的 x 的取值范围
是 x≥0.25 ；
（2）函数 y x 3 的自变量 x 的取值范围 x 1
是
x≥-3 且 x≠1 .
A
15
王牌例题
例 1 拓展延伸 如图，在一块正方形 ABCD 的顶 点 A 处，有一只兔子，在边 AB 的中点 E 处有一只狼， 如果狼只能沿正方形的边跑动，而兔子可以随便跑动， 假设狼的速度与兔子的速度相同，请问兔子与狼谁先到
达 C 处？ Da
C
❖解析： 比较 AC 和 BE＋BC 的大小
a
2a
a
A
E 0.5a B A
16
王牌例题
例 2 二次根式的化简求值问题
已知 x32 2，y32 2， 求式子 x2yxy2的值. 解：∵ x32 2，y32 2
∴ xy (322)3 (22)32(2 2)2 1 xy(322)(322)
322322 4 2 ∴ x2yx2yx(y xy)42
A
17
王牌例题