第7节 第2课时 直线与抛物线的位置关系--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第2课时
直线与抛物线的位置关系
课标解读
考向预测
1.会判断直线与抛物线的位置关系.
2.会求直线与抛物线相交所得的弦长
.3.能解决与抛物线的切线相关的简单几何问题.
从近几年高考来看，直线与圆锥曲线的综合
问题是高考考查的重点，高考试题中加大了思维能力的考查，以及二级结论的考查，减少了对复杂运算的考查．预计2025年高考对直线与抛物线综合问题考查的难度会增加，平时应注意二级结论的应用.
必备知识——强基础
1．直线与抛物线的位置关系(1)直线与抛物线的三种位置关系
(2)设直线l ：y ＝kx ＋m ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x 的方程k 2x 2＋(2km －2p )x ＋m 2＝0.
①若k ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线04相交，有05两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线06相切，有07一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线08相离，09无交点．
②若k ＝0，直线与抛物线10只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
因此，直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的11必要不充分条件．2．弦长问题
设直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝
1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|＝1＋1
k2|y1－y2|＝1＋1
k2
·（y1＋y2）2－4y1y2(k为直线
的斜率，k≠0)．
3．抛物线的焦点弦问题
若MN为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)，则焦点弦长为|MN|＝12x
1＋x2＋p(x1，
x2分别为M，N的横坐标)．
设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准方程形式下的弦长公式如下表．
标准方程弦长公式
y2＝2px(p>0)|AB|＝x1＋x2＋p
y2＝－2px(p>0)|AB|＝p－(x1＋x2)
x2＝2py(p>0)|AB|＝y1＋y2＋p
x2＝－2py(p>0)|AB|＝p－(y1＋y2)
4.抛物线的切线
(1)过抛物线y2＝2px(p>0)上的点P(x1，y1)的切线方程是y1y＝p(x＋x1)．
(2)抛物线y2＝2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y＝kx＋p
2k
(k≠0)．
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝p2
4，y1
y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝p
1－cosα，|BF|＝
p
1＋cosα，弦长|AB|＝x1
＋x2＋p
＝
2p
sin2α
(α为弦AB的倾斜角)；
(3)1 |FA|＋
1
|FB|＝
2
p；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦，长度为2p；
(8)过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点．设直线l
1的倾斜角为α，则|AB |＝2p
sin 2α
，|DE |＝
2p
sin ＝2p cos 2α.
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线l 的距离为2，则过点A (－1，0)恰有2条直线与抛物线C 有且只有一个公共点．(
)
(2)已知过抛物线C ：y 2＝x 的焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若直线l 垂直于x 轴，则|AB |＝1.(
)
(3)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 的倾斜角为60°且经过点F .若l 与C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1x 2＝2.()
答案
(1)×
(2)√
(3)×
2．小题热身
(1)(人教A 选择性必修第一册3.3例4改编)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝()A ．
8
3
B ．
163
C ．5
D ．33
答案B
解析
由题意得，抛物线的焦点为F (1，0)，直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．＝3（x －1），2＝4x ，
得3x 2－10x ＋3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝
103，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝16
3
.
(2)(人教A 选择性必修第一册习题3.3T12改编)过定点P (0，1)且与抛物线y 2＝8x 有且仅有一个公共点的直线有________条．
答案3
解析
当斜率不存在时，直线方程为x ＝0，只有一个公共点，符合题意；当斜率存在时，设
直线方程为y ＝kx ＋1，＝kx ＋1，
2
＝8x ，
得k 2x 2＋(2k －8)x ＋1＝0，当k ＝0时，直线方程为y
＝1，只有一个公共点，符合题意；当k ≠0时，令Δ＝(2k －8)2－4k 2＝0，解得k ＝2，即直线与抛物线有一个公共点，符合题意．所以满足题意的直线有3条．
(3)过点P (4，－3)作抛物线y ＝1
4x 2的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为
________________．答案2x －y ＋3＝0
解析
设切点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又y ′＝12x ，则切线PA 的方程为y －y 1＝1
2
x 1(x －x 1)，即
y ＝12x 1x －y 1，同理，切线PB 的方程为y ＝1
2x 2x －y 2，由P (4，－3)是PA ，PB 的交点可知，－3＝2x 1－y 1，－3＝2x 2－y 2，由两点确定一条直线，可得过A ，B 的直线方程为－3＝2x －y ，即2x －y ＋3＝0.
(4)(2024·山东济南模拟)已知A ，B 为抛物线C ：x 2＝4y 上的两点，M (－1，2)，若AM →＝MB →，则直线AB 的方程为________________．答案x ＋2y －3＝0
解析
由题意知点M (－1，2)在抛物线内，且M (－1，2)是线段AB 的中点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)，则x 1＋x 2＝－2，21＝4y 1，
22＝4y 2，
两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝4(y 1－y 2)，即k AB ＝
y 1－y 2
x 1－x 2＝
x 1＋x 24＝－12，则直线AB 的方程为y －2＝－1
2(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0.＋2y －3＝0，2＝4y ，
消去y ，
得x 2＋2x －6＝0，Δ＝22－4×(－6)＞0，故斜率为－1
2符合题意．因此直线AB 的方程为x ＋2y
－3＝0.
考点探究——提素养
考点一抛物线的切线
例1
(1)过抛物线x 2＝4y 上一点(4，4)的抛物线的切线方程为(
)
A ．2x －y －4＝0
B ．2x ＋y －4＝0
C ．x －2y ＋4＝0
D ．x ＋2y ＋4＝0
答案
A
解析解法一：设切线方程为y －4＝k (x －4)．－4＝k （x －4），2＝4y
⇒x 2＝4(kx －4k ＋4)⇒x 2
－4kx ＋16(k －1)＝0，由Δ＝(－4k )2－4×16(k －1)＝0，得k 2－4k ＋4＝0.∴k ＝2.故切线方程为y －4＝2(x －4)，即2x －y －4＝0.解法二：由x 2＝4y ，得
y ＝x 24，∴y ′＝x 2.∴y ′|x ＝4＝4
2
＝2.∴切线方程为y －4＝2(x －4)，即2x －y
－4＝0.
(2)(2023·四川成都适应性考试)已知A ，B 为抛物线y ＝x 2上两点，以A ，B 为切点的抛物线的
两条切线交于点P ，过点A ，B 的直线斜率为k AB ，若点P 的横坐标为1
3，则k AB ＝________．
答案23
解析
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，以A ，B 为切点的抛物线的切线斜率分别为k A ，k B ，由y ＝x 2，
得y ′＝2x ，故k A ＝2x 1，k B ＝2x 2，所以切线PA 的方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即x 2
1－2x 1x ＋y ＝0.
同理可得，切线PB 的方程为x 22－2x 2x ＋y ＝0.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，所以x 21－2x 1x 0＋y 0＝0，
x 22－2x 2x 0＋y 0＝0，所以x 1，x 2为方程x 2－2x 0x ＋y 0＝0的两根，故x 1＋x 2＝2x 0，x 1x 2＝y 0，则
k AB ＝
y 1－y 2x 1－x 2
＝x 1＋x 2＝2x 0＝2
3.
【通性通法】
求抛物线切线方程的方法
方法一首先设出切线方程，然后与抛物线方程联立，利用判别式求解
方法二首先求导得出切线的斜率，然后由点斜式得出切线方程
方法三过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)的切线方程为y 0y ＝p (x ＋x 0)
【巩固迁移】
1．(多选)(2023·辽宁名校联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的准线l 的方程为y ＝－1，过C 的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，以A ，B 为切点分别作C 的两条切线，且两切线交于点M ，则下列结论正确的是()
A ．C 的方程为x 2＝2y
B ．∠AMB ＝90°
C ．M 恒在l 上
D ．|MF |2＝|AF |·|BF |答案
BCD
解析
由题得－p
2
＝－1，所以p ＝2，因此C 的方程为x 2＝4y ，A 错误；由题意可知AB 的斜
率存在，F (0，1)，设AB 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝kx ＋1，
2
＝4y ，
得x 2－4kx
－4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.由y ＝14x 2得y ′＝12x ，所以AM 的斜率为k AM ＝1
2x 1，所以
AM 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y －14x 21＝1
2x 1(x －x 1)
①，同理BM 的斜率为k BM ＝1
2
x 2，所
以BM 的方程为y －14x 22＝1
2
x 2(x －x 2)
②，所以k AM ·k BM ＝1
4
x 1x 2＝－1，即AM ⊥BM ，所以∠AMB
＝90°，B 正确；由①②得(x 2－x 1)y ＝1
4x 1x 2(x 2－x 1)，因为x 1≠x 2，所以y ＝－1，将y ＝－1代入
①②得x ＝
x 2＋x 1
2
＝2k ，所以点M 的坐标为(2k ，－1)，又C 的准线l 的方程为y ＝－1，所以M 恒在l 上，C 正确；当AB 的斜率k 不为零时，则k MF ＝－1－12k ＝－1
k ，所以k AB ·k MF ＝－1，
所以AB ⊥MF ，当AB 的斜率k ＝0时，点M 的坐标为(0，－1)，显然AB ⊥MF ，在Rt △ABM 中，由△AMF ∽△MBF 得|MF ||AF |＝|BF |
|MF |
，所以|MF |2＝|AF |·|BF |，D 正确．故选BCD.考点二焦点弦问题
例2
(1)(2024·河北邯郸模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，
若|AF |＝2|BF |，则|AB |＝()
A ．4
B ．
92
C ．5
D ．6
答案B
解析
解法一：易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k (x －1)．＝k （x －1），2
＝4x ，
得
k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设点A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，则x A x B ＝1①，因为|AF |＝2|BF |，
由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)，即x A ＝2x B ＋1②，由①②解得x A ＝2，x B ＝1
2
，所以|AB |
＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝9
2
.
解法二：由对称性，不妨设点A 在x 轴的上方，如图，设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，
作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以sin 2θ＝8
9
.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式，得|AB |＝
2p sin 2θ＝9
2
.解法三：因为|AF |＝2|BF |，所以1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32
，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝9
2
.
(2)(多选)(2023·湖北鄂州市教学研究室期末)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，准线l 与y 轴的交点为D ，过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，点O 为坐标原点．下列结论正确的是(
)
A ．存在点A ，
B ，使∠AOB ≤π2
B ．|AB |的最小值为4
C ．DF 平分∠ADB
D ．若点M (2，3)是弦AB 的中点，则直线m 的方程为x －y ＋1＝0答案BCD
解析
抛物线C 的焦点F 的坐标为(0，1)，由题意分析可知，直线m 的斜率一定存在．设
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，直线m 的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线
C ：x 2＝4y 联立，得x 2－4kx －4
＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 214·x 2
2
4
＝－4＋1＝－3<0，所
以∠AOB 为钝角，故A 错误；|AB |＝y 1＋y 2＋2＝kx 1＋1＋kx 2＋1＋2＝k (x 1＋x 2)＋4＝4k 2＋4≥4(当且仅当k ＝0时，等号成立)，故B 正确；因为点D (0，－1)，k DA ＋k DB ＝y 1＋1x 1＋
y 2＋1
x 2＝
kx 1＋2x 1＋kx 2＋2x 2＝2kx 1x 2＋2（x 1＋x 2）x 1x 2＝2k ×（－4）＋2×4k
x 1x 2
＝0，即直线DA 和直线DB 的倾
斜角互补，所以DF 平分∠ADB ，故C 21＝4y 1，
22＝4y 2，
两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝4(y 1
－y 2)，因为点M (2，3)是弦AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，所以直线m 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝
x 1＋x 2
4＝1，所以直线m 的方程为x －y ＋1＝0，故D 正确．故选BCD.【通性通法】
解决焦点弦问题的策略
(1)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径，然后转化为到准线的距离，再求解．(2)利用与抛物线焦点弦有关的二级结论求解．
【巩固迁移】
2．(2024·山东聊城质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦AB的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为()
A．y2＝12
5x B．y2＝24
5
x
C．y2＝12x D．y2＝6x 答案B
解析因为直线l的方程为y＝即y＝2x－p，2＝2px，
＝2x－p，
消去y，得4x2－6px＋
p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p
2，又因为弦AB的中点到抛物线准线的距离为3，
所以|AB|＝6，而|AB|＝x1＋x2＋p，所以x1＋x2＝6－p，故3p
2＝6－p，解得p＝
12
5，所以抛物线
的方程为y2＝24
5
x.故选B.
3．(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－3(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则()
A．p＝2
B．|MN|＝8
3
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
答案AC
解析对于A，直线y＝－3(x－1)过点(1，0)，所以抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，
0)，所以p
2＝1，即p＝2，所以抛物线C的方程为y
2＝4x，A正确；对于B，不妨设M(x1，y1)，
N(x2，y2)，x1＞x2，＝－3（x－1），
2＝4x，
消去y并化简，得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝3，x2
＝1
3，所以|MN|＝x1
＋x2＋p＝3＋1
3＋2＝
16
3，B错误；对于C，设MN的中点为A，M，N，A
到直线l的距离分别为d1，d2，d，因为d＝1
2
(d1＋d2)＝1
2
(|MF|＋|NF|)＝1
2
|MN|，即A到直线l
的距离等于|MN|的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C正确；对于D，由上述分
析可知y1＝－3×(3－1)＝－23，y2＝－3×＝23
3，所以|OM|＝3
2＋（－23）2＝
21，|ON |＝13
3
，所以△OMN 不是等腰三角形，D 错误．故选AC.
考点三直线与抛物线的综合问题
例3
(2023·重庆统考模拟预测)如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，F 为其焦点，点A (2，
y 0)在C 上，△OAF 的面积为4.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点P (m ，0)(m >0)作斜率为－1的直线l 1交抛物线C 于点M ，N ，直线MF 交抛物线C 于点Q ，以Q 为切点作抛物线C 的切线l 2，且l 2∥l 1，求△MNQ 的面积．
解
(1)由题意，可知抛物线C 的焦点将A (2，y 0)代入抛物线C 的方程，得y 20＝4p ，且p >0，则|y 0|＝2p ，
因为△OAF 的面积为12×p 2×2p ＝p p 2＝4，解得p ＝4，
所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .
(2)由(1)可得抛物线C 的方程为y 2＝8x ，焦点F (2，0)，设直线l 1：x ＝－y ＋m (m >0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 3，y 3)，
＝－y ＋m ，2＝8x ，
消去x ，得y 2＋8y －8m ＝0，
则Δ＝64＋32m >0，可得y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8m ，
因为点M (x 1，y 1)在抛物线上，则y 21＝8x 1，即x 1
＝y 21
8，所以直线MF 的方程为
x ＝x 1－2y 1y ＋2＝y 21
8－2y 1
y ＋2＝y 21－168y 1y ＋2，
＝y 21－16
8y 1y ＋2，
2＝8x ，消去x ，得y 2＋16－y 21y 1y －16＝0，可得y 1y 3＝－16，即y 3＝－
16
y 1
，
则x 3＝y 21－168y 1×2＝32y 21，
即因为l 2∥l 1，可设l 2：x ＝－y ＋n ，
代入得32y 21＝16y 1＋n ，即n ＝32y 21－16
y 1，所以l 2：x ＝－y ＋32y 21－16
y 1，
＝－y ＋32y 21
－16
y 1，2＝8x ，
消去x ，得
y 2＋8y ＋0，因为l 2为抛物线C 的切线，
则Δ＝64－0，
整理得y 21－8y 1＋16＝0，解得y 1＝4，
又因为y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8m ，y 1y 3＝－16，可得y 2＝－12，m ＝6，y 3＝－4，即Q (2，－4)，l 1：x ＝－y ＋6，可得|MN |＝2×|4－(－12)|＝162，
点Q (2，－4)到直线l 1：x ＋y －6＝0的距离d ＝|2－4－6|2＝42，
所以S △MNQ ＝12|MN |·d ＝1
2×162×42＝64.
【通性通法】
解决直线与抛物线综合问题的策略
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线y 2＝2px 的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则一般用弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．【巩固迁移】
4．(2023·甘肃张掖高台县第一中学统考期末)已知点A (x 0，－2)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，且A 到C 的焦点F 的距离与到x 轴的距离之差为12.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)当p <2时，M ，N 是C 上不同于点A 的两个动点，且直线AM ，AN 的斜率之积为－2，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点E ，使得|DE |为定值．
解
(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为准线方程为x ＝－p
2
，
又点A (x 0，－2)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，
即(－2)2＝2px 0，∴x 0＝2
p ，即－依题意，可得2p ＋p 2－2＝1
2
，
解得p ＝1或p ＝4，∴y 2＝2x 或y 2＝8x .(2)证明：∵p <2，∴y 2＝2x ，A (2，－2)．
设MN ：x ＝my ＋n ，
2＝2x ，＝my ＋n ，消去x ，整理得y 2－2my －2n ＝0，
Δ＝4m 2＋8n >0，
(ⅰ)
且y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2n ，∴k AM ·k AN ＝2y 1－2·2
y 2－2＝－2，
∴(y 1－2)(y 2－2)＝－2，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋6＝0，
∴n ＋2m ＝3，适合(ⅰ)，将n ＝3－2m 代入x ＝my ＋n ，得x －3＝m (y －2)，
－3＝0，－2＝0，＝3，
＝2，
∴直线MN 恒过定点Q (3，2)．
又AD ⊥MN ，∴点D 在以AQ 为直径的圆上，
∵A ，Q |AQ |＝（2－3）2＋（－2－2）2＝17，
∴以AQ ＋y 2＝17
4
，
∴存在点使得|DE |＝17
2
，为定值．
课时作业
一、单项选择题
1．已知直线l 与抛物线x 2＝2py (p >0)只有一个公共点，则直线l 与抛物线的位置关系是()
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．相交或相切
答案D
解析
直线l 与抛物线的对称轴平行或直线l 与抛物线相切时只有一个公共点，所以D 正
确．故选D.
2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若点C (x 1，0)与点D (x 2，0)关于直线x ＝3
2对称，则|AB |＝(
)
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
答案C
解析
抛物线y 2＝4x ，∴p ＝2，过焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AF |
＝x 1＋p 2＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋p 2＝x 2＋1，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，又点C (x 1，0)与点D (x 2，
0)关于直线x ＝32对称，则x 1＋x 2＝3
2
×2＝3，∴|AB |＝3＋2＝5.
3．(2023·四川资阳统考三模)已知抛物线C ：y 2＝8x ，过点P (2，－1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若|AP |＝|BP |，则直线l 的斜率是()
A ．－4
B ．4
C ．－1
4D ．
14
答案
A
解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，21＝8x 1，2
2＝8x 2，
作差得y 21－y 2
2＝8(x 1－x 2)．因为|AP |＝|BP |，所以P 是线段AB 的中点，所以y 1＋y 2＝－2，则直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8
y 1＋y 2＝－4.故选A.
4.(2024·江西九江二模)青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，是中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为1cm ，瓷碗的轴截面可以近似看成是抛物线，碗里不慎掉落一根质地均匀、粗细相同且长度为22cm 的筷子，筷子的两端紧贴瓷碗内壁．若筷子的中点离桌面的最小距离为7cm ，则该抛物线的通径长为(
)
A ．16
B ．18
C ．20
D ．22
答案C
解析
如图，建立平面直角坐标系，设抛物线为x 2＝2py (p >0)，焦点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵|AB |＝22，|AB |≤|AF |＋|BF |，∴y 1＋y 2＋p ≥22，设线段AB 的中点为M ，则2y M ＋p ≥22，由题意知，y M 的最小值为6，即12＋p ＝22，得p ＝10，∴该抛物线的通径长为2p ＝20.故选C.
5．(2023·辽宁名校联考)过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，点A 处的
切线与x ，y 轴分别交于点M ，N .若△MON (O 为坐标原点)的面积为1
2，则|AF |＝(
)
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
答案A
解析
由题意可知，直线l 的斜率存在，且过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点F ，与其交于A ，B 两
点，设
，14a
又y ＝14x 2，所以y ′＝x 2，所以点A 处的切线方程为y －14a 2＝a
2(x －a )．令x ＝
0，可得y ＝－14a 2，即
，－14a
令y ＝0，可得x ＝a 2，即
因为△MON 的面积为1
2，所以12×|－14
a 2|×|a
2|
＝12，解得a 2＝4，所以|AF |＝14
a 2＋1＝2.故选A.6．(2023·河北石家庄模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若AB 中点的纵坐标为2，且|AB |＝8，则p ＝()
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案
B
解析
设直线AB ：y ＝
k ≠0.
2＝2
px ，＝
得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝
k 2p ＋2p k
2＝p ＋2p k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－p )＝2p
k .由题可知，x 1＋x 2＋p ＝8，y 1＋y 2
2＝2，＋p
k
2＝4，
2
，
＝1，＝2.
故选B.
7．(2023·湖北武汉模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()
A ．y ＝－3
B ．y ＝－
3
2C ．x ＝－3D ．x ＝－
32
答案
B
解析
根据题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 21＝2py 1①，x 22＝2py 2②，由①－②，得
(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝2p (y 1－y 2)，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2
＝x 1＋x 2
2p ，因为直线AB 的斜率为1，线段AB 中点
的横坐标为3，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2
＝x 1＋x 22p ＝3
p ＝1，即p ＝3，所以抛物线的方程为x 2＝6y ，准
线方程为y ＝－3
2
.故选B.
8．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为()
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10
答案A
解析
抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直
线l 1的斜率为k ，则直线l 2的斜率为－1k ，故l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1
k (x －1)．2＝4x ，＝k （x －1），
消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2
＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，由抛物
线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2.同理可得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝8＋4k 2＋4
k 2≥8
＋216＝16，当且仅当1
k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号．故|AB |＋|DE |的最小值为16.
二、多项选择题
9．(2023·广州模拟)已知点O 为坐标原点，直线y ＝x －1与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，则(
)
A ．|A
B |＝8B ．OA ⊥OB
C ．△AOB 的面积为22
D ．线段AB 的中点到直线x ＝0的距离为2答案AC
解析
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为抛物线C ：y 2＝4x ，则p ＝2，焦点为(1，0)，则直线y ＝
x －1过焦点．＝x －1，2
＝4x ，
消去y ，得x 2－6x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，y 1y 2＝(x 1
－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝－4，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8，故A 正确；因为OA →·OB →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－4＝－3≠0，所以OA 与OB 不垂直，故B 错误；原点到直线y ＝x －1的距离
为d ＝
12，所以△AOB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝1
2×8×12
＝22，故C 正确；因为线段AB 的中点
到直线x ＝0的距离为
x 1＋x 22
＝6
2＝3，故D 错误．故选AC.10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为4，直线l 过点F 且与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若M (m ，2)是线段AB 的中点，则下列结论正确的是()
A ．p ＝4
B ．抛物线的方程为y 2＝16x
C ．直线l 的方程为y ＝2x －4
D ．|AB |＝10答案ACD
解析
由焦点F 到准线的距离为4，并根据抛物线的定义可知p ＝4，故A 正确；抛物线的方
程为y 2＝8x ，故B 错误；因为焦点F (2，0)，y 21＝8x 1，y 2
2＝8x 2，若M (m ，2)是线段AB 的中点，
则y 1＋y 2＝4，所以y 21－y 22＝8x 1－8x 2，即
y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝84
＝2，所以直线l 的方程为y ＝2x －
4，故C 2＝8x ，
＝2x －4，得x 2－6x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1
＋x 2＋4＝10，故D 正确．故选ACD.三、填空题
11．(2023·天津高考)过原点O 的一条直线与圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝3相切，交曲线y 2＝2px (p >0)于点P ，若|OP |＝8，则p 的值为________．答案6
解析由题意得直线OP 的斜率存在．设直线OP 的方程为y ＝kx ，因为该直线与圆C 相切，所以
|－2k |1＋k
2
＝3，解得k 2＝3.将直线方程y ＝kx 与曲线方程y 2＝2px (p >0)联立，得k 2x 2－2px
＝0，因为k 2＝3，所以3x 2－2px ＝0，解得x ＝0或x ＝2p 3，设P (x 1，y 1)，则x 1＝2p
3
，又O (0，0)，所以|OP |＝1＋k 2|x 1－0|＝2×2p
3
＝8，解得p ＝6.
12．(2024·陕西咸阳二模)过抛物线y ＝1
4x 2的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若l
的倾斜角为45°，则线段AB 的中点到x 轴的距离是________．答案3
解析
由题意，抛物线方程为x 2＝4y ，则F (0，1)，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1，将直线方程
代入抛物线方程，整理，得x 2－4x －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，故线段AB
的中点的横坐标为x 1＋x 2
2
＝2，代入直线l 的方程，得y ＝3，∴线段AB 的中点到x 轴的距离是3.
13．(2024·贵州遵义统考)已知抛物线x 2＝2y 上两点A ，B 关于点M (2，t )对称，则直线AB 的斜率为________．答案2
解析
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程x 2
＝2y ，21＝2y 1，22＝2y 2，
则x 21－x 2
2＝2(y 1－y 2)①，
因为A ，B 两点关于点M (2，t )对称，则x 1≠x 2，x 1＋x 2＝4，所以由①得y 1－y 2x 1－x 2
＝x 1＋x 2
2＝2，即
直线AB 的斜率为2.
14．(2023·山东鄄城三模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过A (－1，0)作抛物线C 的切线，切点为B ，|BF |＝3，则抛物线C 上的动点P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离与到y 轴的距离之和的最小值为________．答案32－2
解析
根据抛物线的对称性，不妨设B (x 0，y 0)(y 0>0)，由抛物线定义知，|BF |＝x 0＋p
2
＝3，∴
x 0＝3－p
2>0，∴p <6，∴y 0＝6p －p 2，当y >0时，y ＝2px ，∴y ′＝2p 2x ，∴
2p
2
3－
p
2
＝6p －p 23－p 2＋1，
解得p ＝0(舍去)或p ＝4或p ＝20
3(舍去)，则抛物线C 的方程为y 2＝8x ，焦点F (2，0)，准线方
程为x ＝－2，焦点F (2，0)到直线l ：x －y ＋4＝0的距离d ＝
|2－0＋4|12
＋（－1）
2
＝32，抛物线C
上的动点P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离与到y 轴的距离之和的最小值为32－2.四、解答题
15．已知F 为抛物线T ：x 2＝4y 的焦点，直线l ：y ＝kx ＋2与T 交于A ，B 两点．(1)若k ＝1，求|FA |＋|FB |的值；
(2)点C (－3，－2)，若∠CFA ＝∠CFB ，求直线l 的方程．
解由已知得F (0，1)，设12
＝kx ＋2，2
＝4y ，得x 2－4kx －8＝0，
所以x 1＋x 2＝4k ，①
x 1x 2＝－8.②
(1)|FA |＋|FB |＝x 214＋1＋x 2
24＋1
＝
（x 1＋x 2）2－2x 1x 2
4
＋2.
当k ＝1时，由①②，得|FA |＋|FB |＝10.
(2)由题意可知，FA →
1，x 214－
FB →2，x 22
4－FC →＝(－3，－3)．由∠CFA ＝∠CFB ，
得cos 〈FA →，FC →〉＝cos 〈FB →，FC →〉，即FA →·FC →|FA →||FC →|＝FB →·FC →|FB →||FC →|，又|FA |＝x 21
4＋1，|FB |＝x 224＋1，
所以由FA →·FC →|FA →||FC →|＝FB →·FC
→|FB →||FC →|
，
得4＋2(x 1＋x 2)－x 1x 2＝0，即4＋8k ＋8＝0，解得k ＝－3
2，
所以直线l 的方程为3x ＋2y －4＝0.
16．(2024·江西南昌等四地联考)已知直线l ：x －y ＋1＝0与抛物线C ：x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求p ；
(2)设抛物线C 的焦点为F ，过点F 且与l 垂直的直线与抛物线C 交于E ，G 两点，求四边形AEBG 的面积．解(1)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，
－y ＋1＝0，2＝2py ，
可得x 2－2px －2p ＝0，易得Δ＝4p 2＋8p >0，所以x A ＋x B ＝2p ，x A x B ＝－2p ，
则|AB |＝2×
（x A ＋x B ）2－4x A x B ＝22×
p 2＋2p ＝8，即p 2＋2p －8＝0，
因为p >0，所以p ＝2.
(2)由题意可得抛物线C 的焦点为F (0，1)，直线EG 的方程为x ＋y －1＝0.
＋y －1＝0，2＝4y ，
化简可得x 2＋4x －4＝0，
则Δ＝16＋16>0，
设E (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2－(x 1＋x 2)＝6，则|EG |＝y 1＋y 2＋p ＝8，
因为AB ⊥EG ，所以S 四边形AEBG ＝12|AB |·|EG |＝1
2
×8×8＝32.
17．(多选)(2023·云南昆明模拟)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，O 为坐标原点，过F 的直线与C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则()
A ．∠AO
B 可能为直角B ．x 1x 2为定值
C ．若与抛物线C 分别相切于点A ，B 的两条切线交于点N ，则点N 在抛物线C 的准线上
D ．以BF 为直径的圆与y 轴有两个交点答案BC
解析设直线l AB ：x ＝ty ＋1，与y 2＝4x 联立并消去x ，得y 2－4ty －4＝0，y 1y 2＝－4，则x 1x 2
＝
y 21y 2
2
16＝1，故B 正确；因为x 1x 2＝1，所以k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2≠－1，所以∠AOB ≠π2
，故A 不正确；设N (x 0，y 0)，由y 2＝4x ，得y ＝±2x ，所以y ′＝±1x ，因为AN ，BN 均为切线，设k AN ＝1
x 1
，k BN ＝－
1x 2，则AN 的方程为y －y 1＝1
x 1(x －x 1)，化简，得yy 1－2x －2x 1＝0，BN 的方程为y －y 2＝－
1
x 2
(x －x 2)，化简，得yy 2－2x －2x 2＝0，因为AN 与BN 的交点为N (x 0，y 0)，所以y 0y 1－2x 0－2x 1＝0，y 0y 2－2x 0－2x 2＝0，则直线AB 的方程为y 0y －2x 0－2x ＝0，由于直线AB 过点F (1，0)，所以x 0＝－1，又因为抛物线C 的准线方程为x ＝－1，所以点N 在抛物线C 的准线
上，故C 正确；设BF 的中点，
|BF |2＝1＋x 2
2，则以BF 为直径的圆与y 轴相切，故D 不正确．故选BC.
18．(多选)(2023·河北秦皇岛模拟)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点A (1，－4)作两条相互垂
直的直线，与C 的另外两个交点分别为M ，N ，则()
A ．C 的准线方程是x ＝－4
B ．过
C 的焦点的最短弦长为8C ．直线MN 过定点(0，4)
D ．当点A 到直线MN 的距离最大时，直线MN 的方程为2x ＋y －38＝0答案AD
解析
将A (1，－4)代入C 的方程中，得p ＝8，所以C 的方程为y 2＝16x ，所以C 的准线方
程是x ＝－4，故A 正确；当过C 的焦点且与x 轴垂直时弦长最短，此时弦长为16，故B 不
正确；设y y 直线MN 的方程为x ＝my ＋n ，将直线MN 的方程代入C 的方程，得y 2－16my －16n ＝0，所以y 1＋y 2＝16m ，y 1y 2＝－16n .因为AM ⊥AN ，所以AM →·AN →＝
1，y 1＋1，y 2＋＝（y 21－16）（y 22－16）
256＋(y 1＋4)(y 2＋4)＝0.因为y 1≠－4，y 2≠－4，所以(y 1＋4)(y 2＋4)≠0，所以
（y 1－4）（y 2－4）
256
＋1＝0，整理得y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋272＝0，
所以－16n －64m ＋272＝0，得n ＝－4m ＋17，所以直线MN 的方程为x ＝m (y －4)＋17，所以直线MN 过定点P (17，4)，故C 不正确；当MN ⊥AP 时，点A 到直线MN 的距离最大，此时直线MN 的方程为2x ＋y －38＝0，故D 正确．
19．(2023·河北石家庄三模)已知M ，N 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上不同两点，O 为坐标原点，OM ⊥ON ，过O 作OH ⊥MN 于H ，且点H (2，2)．(1)求直线MN 的方程及抛物线C 的方程；
(2)若直线l 与直线MN 关于原点对称，Q 为抛物线C 上一动点，求点Q 到直线l 的距离最短时，点Q 的坐标．解
(1)如图，由点
H (2，2)，得直线OH 的斜率为1，又OH ⊥MN ，
则直线MN 的斜率为－1，
故直线MN 的方程为y －2＝－(x －2)，
整理，得直线MN 的方程为x ＋y ＝4.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
＋y ＝4，2＝2px ，得y 2＋2py －8p ＝0，
1＋y 22p ，
1y 2＝－8p ，
由OM ⊥ON ，得OM →·ON →＝0，
即x 1x 2＋y 1y 2＝y 21y 224p
2＋y 1y 2＝0，因为y 1y 2≠0，所以y 1y 2＝－4p 2，
所以－4p 2＝－8p ，解得p ＝2，
故抛物线C 的方程为y 2＝4x .
(2)设点A (x ，y )是直线l 上任一点，则点A 关于原点的对称点A ′(－x ，－y )在直线MN 上，所以－x ＋(－y )＝4，
即直线l 的方程为x ＋y ＝－4.
设点Q (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0，
点Q 到直线l 的距离d ＝|x 0＋y 0＋4|2＝|y 204＋y 0＋4|2＝（y 0＋2）2＋1242
，当y 0＝－2时，d 取得最小值322
，此时Q (1，－2)．20．(2023·辽宁沈阳模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，且l 1与l 2交于点M .
(1)求p 的值；
(2)若
l 1⊥l 2，求△MAB 面积的最小值．
解(1)
由题意知，准线方程为y ＝－p 2，焦点到准线的距离为2，即p ＝2.
(2)由(1)知，抛物线的方程为x 2＝4y ，
即y ＝14
x 2，所以y ′＝12
x ，设
1
2l 1：y －x 214＝x 12(x －x 1)，l 2：y －x 224＝x 22
(x －x 2)，由于l 1⊥l 2，
所以x 12·x 22
＝－1，即x 1x 2＝－4.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线的方程联立，
＝kx ＋m ，2＝4y ，消去y ，得x 2－4kx －4m
＝0，
Δ＝16k 2＋16m >0，
所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ＝－4，
所以m ＝1，
即直线l ：y ＝kx ＋1，此时Δ＝16k 2＋16>0.
＝x 12x －x 214
，＝x 22x －x 224，
＝2k ，
＝－1，
即M (2k ，－1)．
点M 到直线l 的距离d ＝|k ·2k ＋1＋1|1＋k 2
＝21＋k 2，|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝4(1＋k 2)，所以S ＝12
×4(1＋k 2)×21＋k 2＝4(1＋k 2)3
2≥4，当k ＝0时，△MAB 的面积取得最小值4.。