湖北省武汉市北大附中武汉为明实验中学九年级数学《27.2.1 相似三角形的判定》课件(2)
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∠A’=1200,A’B’=3cm,A’C’=6cm.
(2)AB=4 cm,BC=6cm,AC=8cm,
A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.
1.如图已知,
AB AD
=
BC = DE
AC AE
,
试说明
∠BAD=∠CAE.
解 AB = BC = AC
A E
AD DE AE
∴Δ ABC∽Δ ADE ∴∠BAC=∠DAE
ABEE:A、D=_B3_D:_5__交，B于F:F点D=_F__3，_:_5。A则
D
2、如图，在△ ABC中， ∠C的平分线交AB于D， B 过 点 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E ， 若 AD:DB=3:2 ， 则
EC:BC=__3_:_5__。
A
F EC
B D
EC
请你帮忙：
图纸上上有不锈钢三角架的长分别为
3cm,4cm,5cm,库存的不锈钢条有两根中，一根长 60cm,另一根长180cm,工人师傅想用其中一根做 三角架的一边，在另一根上取两截，用来做三角 架的另外两边，使做成的三角架与图纸上的形状 相同(即图形相似)。请帮他确定：共有几种不同 的做法(焊接用料略去不计)？哪一种放大的倍数 最大？最大的倍数是多少？
三边对应成比例
A
A’
B’
C’
B
C
A'B' = B'C' = A'C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
已知:如图△ABC和△A`B`C`中
A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC.
A`
求证:△ABC∽△A`B`C`
证明:在△ABC的边AB(或延
B` A
C`
长线)上截取AD=A`B`,
①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
4
5
6 2
如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为 B、C，且AB=8，DC=6，BC=14，BC上是 否存在点P使△ABP与△DCP相似？若有， 有几个？并求出此时BP的长，若没有， 请说明理由。
8 6
14
相似三角形的判定方法
D
C
B
∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC
即∠BAD=∠CAE
2如图，AB•AE=AD•AC，且∠1=∠2， 求证：△ABC∽△AED．
A
1
D
2
B
EC
3.已知：如图，P为△ABC中线AD上
的一点，且 BD2 = PD ? AD
求证：△ADC∽△CDP．
A
P
BD
C
如如图图在在正正方方形形网网格格上上有有A△1B1ＡC1和1Ｂ1AＣ2 B12C和2，△Ａ 2Ｂ它们2Ｃ相2似,它吗们？相如果似相吗似？，如求果出相相似比，；求如出果相 似不比相；似如，请果说不明相理似由，。请说明理由。
方法1：通过定义（不常用）
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2： 平行于三角形一边的直线与
其他两边(或延长线)相交,所构成的三 角形与原三角形相似;
方法3： 三边对应成比例的,两三角形
相似.
方法4两边对应成比例且夹角相等,两
三角形相似.
4.如图：在△ABC中，点M是 BC上任一点， MD∥AC， D
A E
ME∥AB，BD = 2 ,求CE .B 2份 M 3份 C
AB 5 AC
5份
解：∵MD∥AC， ∴△BDM∽△BAC
∴
BD BA
=
BM BC
=
2 5
，
MC BC
=
3 5
又∵ ME∥AB，
∴△CEM∽△CAB
∴ CE CA
=
CM CB
=
3 5
1、如图,在 ABCD中，E是边BC
上 的 一 点 ， 且 BE:EC=3:2 ， 连 接
E 出电线杆A与大树B之间的距离
吗？
已知:如图△ABC和△A`B`C`中 A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC.
求证:△ABC∽△A`B`C`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A`B`,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
B`
∴ △ADE∽△ABC ，AD:AB=AE:AC=DE:BC, A
∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB
又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA
D
∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA.
因此DE=B`C`,EA=C`A`.
∴△ADE≌△A`B`C`
B
∴△A`B`C`∽△ABC
A` C`
E C
答应该在什么
位置才能使△ADE△ABC相似呢？
此时，
C
AD = 1？ AB 3
AE AC
=？13
B
行A = A
D
E
A
要作两个形状相同的三角形框架,其中 一个三角形的三边的长分别为4、5、6, 另一个三角形框架的一边长为2,怎样 选料可使这两个三角形相似?
如果两个三角形的两组对应边 的比相等,并且相应的夹角相等,那 么这两个三角形相似.
类似于证明通过三边判定三角形相似 的方法,请你自己证明这个结论.
已知:如图△ABC和 △A`B`C`中,∠A＝∠A` ,
A`
∠A` ,A`B`:AB=A`C`:AC. C` 求证:△ABC∽△A`B`C` B`
A
过点D作DE∥BC交 AC于点E.
D
E
B
C
A
A’
B
C B’
C’
A'B' = B'C' = A'C' △ABC∽△A’B’C’
AB BC AC
如果一个三角形的三组对应边的
比相等,那么这两个三角形相似.
简单地说:
三边对应成比例,两三角形相似.
类似于判定三角形全等的方法， 我们能通过两边和夹角来判断两个 三角形相似呢？
DE
B
C
？ 思考
对于△ABC和△A’B’C’, 如果, ∠B=∠B’,这两个三角形一定相似吗? 试着画画看.
A
4
3.2
50° 3.2
BC
G
D
2
50°
1.6
E
F
判断图中△AEB和△FEC是否相似？
解：∵ AE = 54 =1.5 FE 36
B 45
BE ＝ 45＝1.5
CE 30
A
1 54
3E0236 F
1. 对应角___相__等__, 对应边—成——比—例——的两个三角形, 叫做相似三角形 .
2. 相似三角形的—对—应——角—相——等, 各对应边——成—比——例—。
3.如何识别两三角形是否相似? 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延
长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
A
D
E
D
E
4cm
5cm
3cm
学以致用
如图：一条河流，在河流
北
的北岸点A处有一根高压电
A
线杆。河流的南岸点B处有
一颗大树。且电线杆在大树
的正北方向上。在大树的正
东方的点C处有一雕像，你
能利用本节课学习的知识大
致测算出电线杆A与大树B之
间的距离吗？
B
CD
若用皮尺测得：BC=40米，
CD=20米，DE=60米，你能计算
∴ AE ＝ BE FE CE
C ∵∠1＝∠2
∴△AEB∽△FEC
已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上 的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.ΔADQ与 ΔQCP是否相似？为什么？
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’ 是否相似，并说明理由． (1)∠A=1200,AB=7cm,AC=14cm.
O
∵ DE∥BC
∴ △ ADE ∽ △ ABC
B
CB
C
练习：
1.如图，在△ABC中，
DG∥EH∥FI∥BC，
△ADG∽△AEH∽△ AFI∽△ABC
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：
BC=_1__：__4。
A
DG
E
H
F
I
B
C
2.如图，△ABC 中，DE∥BC， GF∥AB，DE、ＧＦ交于点Ｏ，
则图中与△ABC相似的三角形共 有多少个?请你写出来.
解： 与△ABC相似的三角形有3个:A
△AＤＥ △ＧＦＣ △ＧＯＥ
D
B F
G
OE C
3、如图，E是平行
四边形ABCD的边BC
的延长线上一点，
连接AE交CD于F,则
图中共有相似三角
3 形_______对
A
D
F
B
CE
任意画一个三角形，再画一 个三角形，使它的各边长都是原 来三角形各边长的Ｋ倍，度量这 两个三角的对应角，它们相等吗？ 这两个三角形相似吗？相互交流 一下，看看是否有同样的结论．
(2)AB=4 cm,BC=6cm,AC=8cm,
A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.
1.如图已知,
AB AD
=
BC = DE
AC AE
,
试说明
∠BAD=∠CAE.
解 AB = BC = AC
A E
AD DE AE
∴Δ ABC∽Δ ADE ∴∠BAC=∠DAE
ABEE:A、D=_B3_D:_5__交，B于F:F点D=_F__3，_:_5。A则
D
2、如图，在△ ABC中， ∠C的平分线交AB于D， B 过 点 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E ， 若 AD:DB=3:2 ， 则
EC:BC=__3_:_5__。
A
F EC
B D
EC
请你帮忙：
图纸上上有不锈钢三角架的长分别为
3cm,4cm,5cm,库存的不锈钢条有两根中，一根长 60cm,另一根长180cm,工人师傅想用其中一根做 三角架的一边，在另一根上取两截，用来做三角 架的另外两边，使做成的三角架与图纸上的形状 相同(即图形相似)。请帮他确定：共有几种不同 的做法(焊接用料略去不计)？哪一种放大的倍数 最大？最大的倍数是多少？
三边对应成比例
A
A’
B’
C’
B
C
A'B' = B'C' = A'C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
已知:如图△ABC和△A`B`C`中
A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC.
A`
求证:△ABC∽△A`B`C`
证明:在△ABC的边AB(或延
B` A
C`
长线)上截取AD=A`B`,
①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
4
5
6 2
如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为 B、C，且AB=8，DC=6，BC=14，BC上是 否存在点P使△ABP与△DCP相似？若有， 有几个？并求出此时BP的长，若没有， 请说明理由。
8 6
14
相似三角形的判定方法
D
C
B
∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC
即∠BAD=∠CAE
2如图，AB•AE=AD•AC，且∠1=∠2， 求证：△ABC∽△AED．
A
1
D
2
B
EC
3.已知：如图，P为△ABC中线AD上
的一点，且 BD2 = PD ? AD
求证：△ADC∽△CDP．
A
P
BD
C
如如图图在在正正方方形形网网格格上上有有A△1B1ＡC1和1Ｂ1AＣ2 B12C和2，△Ａ 2Ｂ它们2Ｃ相2似,它吗们？相如果似相吗似？，如求果出相相似比，；求如出果相 似不比相；似如，请果说不明相理似由，。请说明理由。
方法1：通过定义（不常用）
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2： 平行于三角形一边的直线与
其他两边(或延长线)相交,所构成的三 角形与原三角形相似;
方法3： 三边对应成比例的,两三角形
相似.
方法4两边对应成比例且夹角相等,两
三角形相似.
4.如图：在△ABC中，点M是 BC上任一点， MD∥AC， D
A E
ME∥AB，BD = 2 ,求CE .B 2份 M 3份 C
AB 5 AC
5份
解：∵MD∥AC， ∴△BDM∽△BAC
∴
BD BA
=
BM BC
=
2 5
，
MC BC
=
3 5
又∵ ME∥AB，
∴△CEM∽△CAB
∴ CE CA
=
CM CB
=
3 5
1、如图,在 ABCD中，E是边BC
上 的 一 点 ， 且 BE:EC=3:2 ， 连 接
E 出电线杆A与大树B之间的距离
吗？
已知:如图△ABC和△A`B`C`中 A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC.
求证:△ABC∽△A`B`C`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A`B`,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
B`
∴ △ADE∽△ABC ，AD:AB=AE:AC=DE:BC, A
∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB
又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA
D
∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA.
因此DE=B`C`,EA=C`A`.
∴△ADE≌△A`B`C`
B
∴△A`B`C`∽△ABC
A` C`
E C
答应该在什么
位置才能使△ADE△ABC相似呢？
此时，
C
AD = 1？ AB 3
AE AC
=？13
B
行A = A
D
E
A
要作两个形状相同的三角形框架,其中 一个三角形的三边的长分别为4、5、6, 另一个三角形框架的一边长为2,怎样 选料可使这两个三角形相似?
如果两个三角形的两组对应边 的比相等,并且相应的夹角相等,那 么这两个三角形相似.
类似于证明通过三边判定三角形相似 的方法,请你自己证明这个结论.
已知:如图△ABC和 △A`B`C`中,∠A＝∠A` ,
A`
∠A` ,A`B`:AB=A`C`:AC. C` 求证:△ABC∽△A`B`C` B`
A
过点D作DE∥BC交 AC于点E.
D
E
B
C
A
A’
B
C B’
C’
A'B' = B'C' = A'C' △ABC∽△A’B’C’
AB BC AC
如果一个三角形的三组对应边的
比相等,那么这两个三角形相似.
简单地说:
三边对应成比例,两三角形相似.
类似于判定三角形全等的方法， 我们能通过两边和夹角来判断两个 三角形相似呢？
DE
B
C
？ 思考
对于△ABC和△A’B’C’, 如果, ∠B=∠B’,这两个三角形一定相似吗? 试着画画看.
A
4
3.2
50° 3.2
BC
G
D
2
50°
1.6
E
F
判断图中△AEB和△FEC是否相似？
解：∵ AE = 54 =1.5 FE 36
B 45
BE ＝ 45＝1.5
CE 30
A
1 54
3E0236 F
1. 对应角___相__等__, 对应边—成——比—例——的两个三角形, 叫做相似三角形 .
2. 相似三角形的—对—应——角—相——等, 各对应边——成—比——例—。
3.如何识别两三角形是否相似? 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延
长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
A
D
E
D
E
4cm
5cm
3cm
学以致用
如图：一条河流，在河流
北
的北岸点A处有一根高压电
A
线杆。河流的南岸点B处有
一颗大树。且电线杆在大树
的正北方向上。在大树的正
东方的点C处有一雕像，你
能利用本节课学习的知识大
致测算出电线杆A与大树B之
间的距离吗？
B
CD
若用皮尺测得：BC=40米，
CD=20米，DE=60米，你能计算
∴ AE ＝ BE FE CE
C ∵∠1＝∠2
∴△AEB∽△FEC
已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上 的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.ΔADQ与 ΔQCP是否相似？为什么？
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’ 是否相似，并说明理由． (1)∠A=1200,AB=7cm,AC=14cm.
O
∵ DE∥BC
∴ △ ADE ∽ △ ABC
B
CB
C
练习：
1.如图，在△ABC中，
DG∥EH∥FI∥BC，
△ADG∽△AEH∽△ AFI∽△ABC
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：
BC=_1__：__4。
A
DG
E
H
F
I
B
C
2.如图，△ABC 中，DE∥BC， GF∥AB，DE、ＧＦ交于点Ｏ，
则图中与△ABC相似的三角形共 有多少个?请你写出来.
解： 与△ABC相似的三角形有3个:A
△AＤＥ △ＧＦＣ △ＧＯＥ
D
B F
G
OE C
3、如图，E是平行
四边形ABCD的边BC
的延长线上一点，
连接AE交CD于F,则
图中共有相似三角
3 形_______对
A
D
F
B
CE
任意画一个三角形，再画一 个三角形，使它的各边长都是原 来三角形各边长的Ｋ倍，度量这 两个三角的对应角，它们相等吗？ 这两个三角形相似吗？相互交流 一下，看看是否有同样的结论．