正余弦定理的多种证明方法

A
B
C j 图1-2 图1-1
一 、 正弦定理
1、正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
C
c
B b A a sin sin sin =
= 正弦定理给出了任意三角形中，三条边及其对应角的正弦值之间的对应关系。

2、正弦定理的证明：
（1）向量法证明
证明：如图1-1，当△ABC 为锐角三角形时，边A 作单位向量j 垂直于AB ，则
j 与AB 的夹角为 90，j 与的夹角为
B -2
π
，
与CA 的夹角为
A +2
π
，设b AC a BC c AB ===,, ∵0=++CA BC AB ，∴00=⋅=⋅+⋅+⋅j CA j BC j AB j ， 即
)2
cos(||||)2cos(||||2cos ||||=++-+A B π
ππ，∴A b B a sin sin =
即B b A a sin sin = 同理可得C c B b sin sin =，即C
c B b A a sin sin sin == 当△ABC 为钝角三角形（如图1-2）或直角三角形时，利用同样的方法可以证得
结论，请同学们自己证明。

（2）平面几何法证明
证明：如图1-3所示，设O 为△ABC 外接圆圆心，且半径为R ，连接BO 并延长交于⊙O 于A '，连接C A '，则A A ='
∴R a B A BC A A 2sin sin ='='=，即R A a 2sin = 同理可证R C c
R B b 2sin ,2sin ==，
故R C c B b A a 2sin sin sin ===，即C
c B b A a sin sin sin ==. 二、 余弦定理
1、余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即：
A bc c b a cos 2222-+=
B ac a c b cos 2222-+=
A
B
C
j
图1-3
图2-1
图2-2
图2-3
C ab b a c cos 2222-+=
2、余弦定理的证明：
（1）向量法证明
如图2-1所示，在△ABC 中，AB ，BC ，CA 的长分别为b a c ,,， 设,,,c AB b CA a CB ===那么b a c -=，
)()(||2
b a b a
c c c -⋅-=⋅= b a b b a a ⋅-⋅+⋅=2
C ab b a cos 222-+=
所以C ab b a c cos 2222-+=
同理，A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=
在余弦定理中，令 90=C ，这时0cos =C ，所以222b a c +=，由此可知余弦定理是勾股定理的推广。

（2）平面几何法证明
如图2-2所示，在△ABC 中，设A 为锐角，CD 为AB 边上的高，则
A b AD A b CD cos ,cos ==，|cos |A b c BD -=.
在R t △BCD 中，2
22BD CD BC +=
即222)cos ()sin (A b c A b a -+=，∴A bc c b a cos 2222-+= 当A 为直角或钝角时，同理，A bc c b a cos 22
2
2
-+= （3）解析几何法证明
如图2-3所示，以A 为原点，
AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则可得A ，C 两点的坐标分别为)0,(),0,0(b C A ，设点),(y x B ，
由三角函数的定义，得BAC c y
BAC c x ∠=∠=sin ,cos ，
即点B 的坐标为)sin ,cos (BAC c BAC c ∠∠，
由两点间的距离公式，得22)0sin ()cos (-∠+-∠==BAC c b BAC c BC a ， 即BAC bc c b a ∠-+=cos 2222
A
B
C
b
a
c
B。