3.2空间向量基本定理
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k O i x Q
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P j y
如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空间 是空间三个两两垂直的向量， 如果 是空间三个两两垂直的向量 任一个向量p， 任一个向量 ，存在一个有序实数组使得 p=xi+yj+zk. xi,yj,zk为向量 在i,j,k上的分向量。 为向量p在 上的分向量。 为向量 上的分向量
空间向量基本定理： 空间向量基本定理：
如图， 是空间三个两两垂直的向量， 如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，且有公共 是空间三个两两垂直的向量 起点O。对于空间任意一个向量p=OP,设点 为点 设点Q为点 起点 。对于空间任意一个向量 设点 为点P 所确定的平面上的正投影 在i,j所确定的平面上的正投影， 所确定的平面上的正投影， 由平面基本定理可知， 由平面基本定理可知， 所确定的平面上， 在OQ,k所确定的平面上，存在实数 ，使得 所确定的平面上 存在实数z， OP=OQ+zk, 而在i,j所确定的平面上 所确定的平面上， 而在 所确定的平面上，由平面向量基本定理 z 可知，存在有序之前数对(x,y)， 可知，存在有序之前数对 ， 使得OQ=xi+yj. 使得 从而OP=OQ+zk=xi+yj+zk. 从而
z P j y
k O i x
Q
2
思考：在空间中， 思考：在空间中，如果用任意三个不
共面向量a,b,c代替两两垂直的向量 代替两两垂直的向量i,j,k,能得 共面向量 代替两两垂直的向量 能得 到类似的结论吗？ 到类似的结论吗？
空间向量基本定理：如果三个向量 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量p,存在有序 不共面，那么对空间任一向量 存在有序 实数组{x,y,z},使得 使得p=xa+yb+zc. 实数组 使得
空间所有向量的集合{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R} ∈ 空间所有向量的集合 {a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。 叫做空间的一个基底， 都叫做基向量 叫做空间的一个基底 都叫做基向量。
3
例题讲解： 例题讲解： 如图， ， 分别是四面体 分别是四面体OABC的边 ， 的边OA， 例、如图，M，N分别是四面体 的边 BC的中点，P，Q是MN的三等分点。用向量 ， 的中点， ， 是 的三等分点。 的中点 的三等分点 用向量OA， OB，OC表示 和OQ。 表示OP和 ， 表示 。
O M A Q P N B
4
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空间 是空间三个两两垂直的向量， 如果 是空间三个两两垂直的向量 任一个向量p， 任一个向量 ，存在一个有序实数组使得 p=xi+yj+zk. xi,yj,zk为向量 在i,j,k上的分向量。 为向量p在 上的分向量。 为向量 上的分向量
空间向量基本定理： 空间向量基本定理：
如图， 是空间三个两两垂直的向量， 如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，且有公共 是空间三个两两垂直的向量 起点O。对于空间任意一个向量p=OP,设点 为点 设点Q为点 起点 。对于空间任意一个向量 设点 为点P 所确定的平面上的正投影 在i,j所确定的平面上的正投影， 所确定的平面上的正投影， 由平面基本定理可知， 由平面基本定理可知， 所确定的平面上， 在OQ,k所确定的平面上，存在实数 ，使得 所确定的平面上 存在实数z， OP=OQ+zk, 而在i,j所确定的平面上 所确定的平面上， 而在 所确定的平面上，由平面向量基本定理 z 可知，存在有序之前数对(x,y)， 可知，存在有序之前数对 ， 使得OQ=xi+yj. 使得 从而OP=OQ+zk=xi+yj+zk. 从而
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思考：在空间中， 思考：在空间中，如果用任意三个不
共面向量a,b,c代替两两垂直的向量 代替两两垂直的向量i,j,k,能得 共面向量 代替两两垂直的向量 能得 到类似的结论吗？ 到类似的结论吗？
空间向量基本定理：如果三个向量 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量p,存在有序 不共面，那么对空间任一向量 存在有序 实数组{x,y,z},使得 使得p=xa+yb+zc. 实数组 使得
空间所有向量的集合{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R} ∈ 空间所有向量的集合 {a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。 叫做空间的一个基底， 都叫做基向量 叫做空间的一个基底 都叫做基向量。
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例题讲解： 例题讲解： 如图， ， 分别是四面体 分别是四面体OABC的边 ， 的边OA， 例、如图，M，N分别是四面体 的边 BC的中点，P，Q是MN的三等分点。用向量 ， 的中点， ， 是 的三等分点。 的中点 的三等分点 用向量OA， OB，OC表示 和OQ。 表示OP和 ， 表示 。
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