山东省2013届高三数学第三次诊断性测试 理 新人教B版

山东省实验中学2010级第三次诊断性测试
数学试题（理科）（2012.12）
注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共两卷。

其中第Ⅰ卷为第1页至第2页，共60分；第Ⅱ卷为第3页至第6页，共90分；两卷合计150分。

考试时间为120分钟。

本科考试不允许使用计算器。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、设}{}2,1{2
a N M ==，，则”
“1=a 是”“M N ⊆的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2、下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（ ） A.x
x f 1)(= B.x x f -=)( C.x
x x f 22)(-=- D.x x f tan )(-= 3.若3)4
tan(
=-απ
，则αcot 等于（ ）
A.2
B.21-
C.2
1
D.-2 4.函数x x x f ln )1()(+=的零点有（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
5.已知两条直线2-=ax y 和01)2(3=++-y a x 互相平行，则a 等于（ ） A.1或-3 B.-1或3 C.1或3 D.-1或3
6.设命题p ：曲线x
e y -=在点）
，（e 1-处的切线方程是：ex y -=；命题q :b a ,是任意实数，若b a >，则1
1
11+<+b a ，则（ ） A.“p 或q ”为真 B.“p 且q ”为真 C.p 假q 真 D.p ，q 均为假命题
7.已知函数x x x f sin 2
1)(2
+=，则)('x f 的大致图象是（ ）
8.在等差数列{}n a 中，20131-=a ，其前n 项和为n S ，若
210
1210
12=-S S ，则2013S 的值等于（ ）
A.-2012
B.-2013
C.2012
D.2013
9.已知P （x,y)是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PA ，PB 是圆C ：022
2=-+y y x 的两
条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ） A.3 B.
2
1
2 C.22 D.2 10.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数。

若
d a =1，,2
1d b =且3
212
32221b b b a a a ++++是正整数，则q 的值可以是（ ）
A.
71 B.-71 C.21 D.-2
1 11.已知二次函数c bx ax x f ++=2
)(的导数0)0('),('>f x f ，且)(x f 的值域为),0[+∞，则
)
0(')
1(f f 的最小值为（ ） A.3 B.
25 C.2 D.2
3 12.已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -（，若椭圆上存在
点P 使
1
221sin sin F PF c
F PF a ∠=∠，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A.（0，）12-
B.（
12
2，） C.（0，22） D.（12-，1）
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13.若焦点在x 轴上的椭圆
1222=+m y x 的离心率为2
1，则m = . 14.若直线a y 2=与函数|1|-=x
a y （)10≠>a a 且的图像有两个公共点，则a 的取值范围
是 .
15.若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--0
5)25(2,
0222k x k x x x 的解集中所含整数解只有-2，求k 的取值范
围 .
16.当实数y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤++≤≥0220
a y x x y x （a 为常数）时y x z 3+=有最大值为12，则
实数a 的值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17.（本小题满分12分）记c bx ax x f +-=2
)(，若不等式0)(>x f 的解集为（1，3），试解关于t 的不等式)2()8|
(|2
t f t f +<+.
18.（本小题满分12分）在ABC ∆内，c b a ,,分别为角A ，B
，C 所对的边，a,b,c 成等差数列，且a=2c 。

（1）求A cos 的值；（Ⅱ）若4
15
3=
∆ABC S ，求b 的值。

19.（本小题满分12分）设函数a x x x x f ++=
2cos cos sin 3)(.
（Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）当]3
,6[π
π-
∈x 时，函数)(x f 的最大值与最小值的和为23
，求)(x f 的解析式；
（Ⅲ）将满足（Ⅱ）的函数)(x f 的图像向右平移12
π
个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移21，得到函数)(x g ，求)(x g 图像与x 轴的正半轴、直线2
π
=x 所围成图形
的面积。

20.（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列}{n a 满足：
28432=++a a a ，且23+a 是42,a a 的等差中项。

（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）若n n n n n b b b S a a b +⋯++==212
1,log ，求5021>⋅++n n n S 成立的正整数n 的最小
值。

21.（本小题满分12分）已知长方形ABCD ，22=AB ，BC=1。

以AB 的
中点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy.
（Ⅰ）求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点P （0，2）的直线l 交（Ⅰ）中椭圆于M ，N 两点，是否存在直线l ，使得弦MN 为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。

22.（本小题满分
14
分）已知函数
)(x f 的导数
b a b f ax x x f ,,)0(,33)('2=-=为实数，21<<a .
（Ⅰ）若)(x f 在区间［-1，1］上的最小值、最大值分别为-2、1，求a 、
b 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点）（1,2P 且与曲线)(x f 相切的直线l 的方程； （Ⅲ）设函数x
e
x x f x F 2]16)('[)(⋅++=，试判断函数)(x F 的极值点个数。

实验中学三诊数学（理）参考答案及评分标准 2012.2
得分 评卷人
得分 评卷人
一、选择题
二、填空题：13.
2；14.2
0<<a ；15.）；2,3[- 16.-12 三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17.由题意知)3)(1())(()(21--=--=x x a x x x a x f .
且0<a 故二次函数在区间),2[+∞上是增函数.…………………………4分
又因为22,8||82
≥+>+t t ，……………………………………6分 故由二次函数的单调性知不等式)2()8|(|2
t f t f +<+
等价于22||8t t +>+即06||||2
<--t t ……………………10分
故3||<t 即不等的解为：33<<-t .……………………12分
18.解：（Ⅰ）因为a,b,c 成等差数列，所以a+c=2b ， ……………………2分
又c a 2=，可得c b 2
3
=， …………………………4分 所以41
2
324492cos 222
22
22-=⨯-+=-+=c c c c bc a c b A ，……………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）),0(,4
1
cos π∈-
=A A ，所以415sin =A ， ……………………8分 因为A bc S S ABC ABC sin 2
1
,4153==
∆∆， 所以4
1534152321sin 212=⨯==
∆c A bc S ABC ，………………………………10分 得3,2,42
===b c c 即. …………………………12分
19.解（Ⅰ）2
1)62sin(22cos 12sin 23)(+++=+++=a x a x x x f π， （2分） ∴π=T .
由
πππ
ππ
k x k 2236222+≤
+
≤+，得ππ
πk x kx +≤≤+3
26.
故函数)(x f 的单调递减区间是)](3
2,
6[Z k k k ∈++ππ
ππ. （6分）
（2）1)6
2sin(21.656
26
,3
6
≤+≤-∴≤
+
≤-
∴≤
≤-π
ππ
π
π
π
x x x Q . 当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
∈3,6ππx 时，原函数的最大值与最小值的和23)2121()211=++-+++a a （，
2
1
)62sin()(,0++=∴=∴πx x f a . （8分）
（3）由题意知x x g sin )(= （10分）
⎰
-=2
20
|cos sin π
π
x xdx =1 （12分）
20、解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，
依题意，有423)22a a a +=+（
， 代入,28432=++a a a 得20,8423=+∴=a a a …………………………2分
⎪⎩⎪⎨⎧===+∴820213311q a a q a q a 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==32
21211a q a q 或 …………………………4分 又{}n a 单调递增，n n a a q 2,2,21=∴=∴=∴ ………………………………6分 （Ⅱ）n
n
n
n n b 22log 22
1⋅-=⋅=，………………………………7分
n n n s 223222132⨯+⋯+⨯+⨯+⨯=-∴ ①
143222)1(2322212++⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=-∴n n n n n s ②
∴①-②得22222
1)21(22
22221111
32-⋅-=⋅---=⋅-+⋯+++=++++n n n n n n n n n n s
10分
5021>⋅+∴+n n n s ，522,50221
1>∴>-∴++n n
又523222451
<=≤≤+n n 时，
当， …………………………11分
当5≥n 时，52642261
>=≥+n .故使5021>⋅++n n n s ，成立的正整数n 的最小值为5. …
12分
21.解：（Ⅰ）由题意可得点A ，B ，C 的坐标分别为），，，，，12()02()02(-.
设椭圆的标准方程是).0(122
22>>=+b a b
y a x
则
2,224)01()22()01())2(2(22222=∴>=-+-+-+--=+=a BC AC a
2分
224222=-=-=∴c a b .
∴椭圆的标准方程是12
42
2=+y x . ……………………4分 （Ⅱ）由题意直线的斜率存在，可设直线l 的方程为)0(2≠+=k kx y .……5分 设M ，N 两点的坐标分别为),(),,(2211y x y x . 联立方程：⎩⎨
⎧=++=4
222
2
y x kx y
消去y 整理得，048)21(2
2=+++kx x k
有2
2
1221214
,218k x x k k x x +=+-
=+ ………………7分 若以MN 为直径的圆恰好过原点，则ON OM ⊥，所以02121=+y y x x ，…………8分 所以，0)2)(2(2121=+++kx kx x x ，
即
04)(2)121212=++++x x k x x k （ 所以，04211621)1(42
2
22=++-++k
k k k 即021482
2
=+-k
k ， ……………………9分 得2,22
±==k k . ……………………10分
所以直线l 的方程为22+=x y ，或22+-=x y .………………11分
所在存在过P （0，2）的直线l ：22+±=x y 使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点。

…………12分
22.解：（Ⅰ）由已知得，b ax x x f +-=2
3
2
3)(，……………………1分 由,0)('=x f 得a x x ==21,0.
21],1,1[<<-∈a x Q ，当)0,1[-∈x 时，)(,0)('x f x f >递增；
当]1,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 递减.
)(x f ∴在区间［-1，1］上的最大值为1,)0(=∴=b b f .………………3分
又)1()1(,2
3
1231)1(,2321231)1(f f a a f a a f <-∴-=++-=--=+-
=. 由题意得2)1(-=-f ，即223-=-a ，得1,3
4
,34===b a a 故为所求。

………………5分
（Ⅱ）解：由（1）得x x x f x x x f 43)(',12)(2
23-=++=，点P （2，1）在曲线)(x f 上。

（1）当切点为P （2，1）时，切线l 的斜率4)
('2===x x f k ，
l ∴的方程为074),2(41=---=-y x x y 即.………………6分
（2）当切点P 不是切点时，设切点为),2)(,(000≠x y x Q 切线l 的余率
02
043)('0x x x f k x x -===，
l ∴的方程为))(43(00200x x x x y y --=-。

又点P （2，1）在l 上，)2)(43(100200x x x y --=-∴，
)2)(43()2(),2)(43()12(1002002000202030x x x x x x x x x x --=-∴--=+--∴， 0,0)2(2,4300002020=∴=--=∴x x x x x x 即.∴切线l 的方程为1=y .
故所求切线l 的方程为074=--y x 或1=y .……………………………………8分
（Ⅲ）解：x x e x a x e x ax x x F 2222]1)2(33[)1633()(⋅+--=⋅++-=.
x x e x a x e a x x F 222]1)2(33[2)]2(36[)('⋅+--+⋅--=∴. x e a x a x 22]38)3(66[⋅-+--=. ……………………10分
二次函数a x a x y 38)3(662
-+--=的判别式为
0],1)2(3[12)11123(12)38(24)3(36222≤∆--=+-=---=∆令a a a a a 得：
332332,31)2(2+≤≤-≤-a a .令0>∆，得332-<a ，或33
2+>a 。

21,02<<>a e x ，
23
3
2<≤-
∴a 当时，0)('≥x F ，函数)(x F 为单调递增，极值点个数0； ………………12分
当3
3
21-
<<a 时，此时方程0)('=x F 有两个不相等的实数根，根据极值点的定义， 可知函数)(x F 有两个极值点. ……………………………………14分。