三角函数的图象和性质课时 课后练习(教师)

1.3三角函数的图象和性质课时1 课后练习
1.函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎫3x －π4的最小正周期为________． 解析：T ＝π3
.
2.函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是________．
解析：∵T ＝2πk 4
＝8πk
≤2，∴k ≥4π，∴k min ＝13.
3.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为________．
解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.
又f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )是周期为4的周期函数，
∴f (6)＝f (2)．由f (2)＝－f (0)＝0，得f (6)＝0.
4.方程sin x ＝lg x 的解有________个．
解析：如图所示，y ＝sin x 与y ＝lg x 的图象有3个交点，故方程有3个解．
5.已知y ＝cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝1围成一个封闭的平面图形，则该图形的面积为________．
解析：S ＝2×2π×12
＝2π.
6.将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大的顺序排列为______________________． 解析：cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0，
cos 760°＝cos 40°＞0，且cos 20°＞cos 40°，故cos 150°＜cos 760°＜sin 470°.
7.若函数f (x )＝sin x ＋φ3
(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________. 解析：∵f (x )为偶函数，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝3k π＋3π2
(k ∈Z )． 又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.
8.函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4
，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是________．
解析：T ＝π4，∴πω＝π4
，∴ω＝4，∴f (x )＝tan4x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝0.
9.已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭
⎫－π2，π2内是减函数，则ω的范围是________． 解析：若ω使函数在(－π2，π2
)上递减，则ω必小于0，且⎝⎛⎭⎫－π2，π2⊆⎝⎛⎭⎫π2ω，－π2ω，故－1≤ω<0.
10.函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．
解：f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧
3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π]，如下图，则k 的取值范围是(1,3)．
11.求函数的单调区间．
(1) y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π4；(2)y ＝13
tan 2x ＋1. 解：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π4＝－sin(2x －π4
)． 因为2x －π4是关于x 的增函数，所以只需要考虑y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4关于2x －π4
的单调性即可． 当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时，y ＝sin(2x －π4
)为增函数，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π4为减函数， 解得k π－π8≤x ≤k π＋3π8
(k ∈Z )， 即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π4的单调减区间为⎣
⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )； 同理，令2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，求得函数y ＝sin(－2x ＋π4
)的单调增区间为 ⎣
⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )． (2)令－π2＋k π<2x <π2＋k π(k ∈Z )，∴－π4＋k π2<x <π4＋k π2
(k ∈Z )，
∴函数y ＝13
tan 2x ＋1的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－π4＋k π2，π4＋k π2(k ∈Z )．
12.求下列函数的值域：
(1)y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π3⎝⎛⎭⎫－π6≤x ≤π6；(2)y ＝6－sin x －cos 2x . 解：(1)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3
，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴y ∈[0,2]． 即函数y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π3⎝⎛⎭⎫－π6≤π<π6的值域为[0,2]． (2)y ＝6－sin x －cos 2x ＝sin 2x －sin x ＋5＝⎝⎛⎭⎫sin x －122＋194
∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈⎣⎡⎦⎤194，7.即函数y ＝6－sin x －cos 2x 的值域为⎣⎡⎦
⎤194，7.
13.当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，若使a －2tan ⎝
⎛⎭⎫2x －π3的值总大于零，求a 的取值范围． 解：∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，∴0≤2x －π3≤π3
.又∵y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π3内单调递增， ∴0≤tan(2x －π3)≤3，∴0≤2tan(2x －π3
)≤2 3. 由题意知a －2tan(2x －π3)>0恒成立，即a >2tan(2x －π3
)，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3恒成立． ∴a >2 3.∴实数a 的取值范围是(23，＋∞)
14.已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝⎛⎭
⎫－π2，π2.求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．
解：函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图象的对称轴为直线x ＝－tan θ.
∵y ＝f (x )在[－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.因此，θ角的取值范围是⎝⎛⎦⎤－π2
，－π3∪⎣⎡⎭⎫π4，π2.。