四川省成都市第七中学2019届高三二诊模拟考试数学(文)(解析版)

成都七中高2019届高三二诊模拟考试
数学（文科）试卷
一、选择题：（共12个小题，每小题5分，共60分.）
1.命题“，”的否定形式是（）.
A.
， B. ，
C.
， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
结合命题的否定改写,即可.
【详解】命题的否定为:改为,改为,故否定形式为，,故选D.
【点睛】考查了命题的否定改写,关键抓住改为,改为,即可,难度较容易.
2.已知复数满足，则为
A. B. C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
首先利用复数的运算法则，求出复数z，再应用复数的模的运算公式，求得结果.
【详解】由，得，
所以，
故选A.
【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则和除法运算法则，还有复数的模，属于简单题目.
3.设全集，集合，，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由集合或，先求解，再由集合能够求出答案. 【详解】因为全集,
集合或，
所以，所以，故选B.
【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，属于基础题，其中解答中准确计算集合和集合的交集、补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
4.函数在处的切线方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
计算导函数,计算切线斜率和切点坐标,结合点斜式方程计算方法,计算切线方程,即可.
【详解】,故在处切线斜率为,在该点坐标为
故切线方程为,得到,故选C.
【点睛】考查了利用导函数计算曲线某一点的切线方程,难度中等.
5.
在△中，,,且的面积为，则的长为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，因为的面积为，所以，解得，在中，由余弦定理可得，所以，故选B.
考点：正弦定理；余弦定理.
【方法点晴】本题主要考查了解三角形的综合问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的应用，以及三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据三角形的面积公式，求得，再利用正、余弦定理是解得关键.
6.已知函数为上的偶函数，当时，单调递减，若，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
结合题意,大致绘制函数图像,利用数形结合思想,建立不等式,计算范围,即可.
【详解】结合题意,为偶函数,则该函数关于y轴对称，当时，单调递减，根据大致绘制函数图像,
要满足,则要求,解得,故选C.
【点睛】考查了偶函数的性质,考查了函数单调性,考查了数形结合思想,难度中等.
7.在区间内随机取两个数分别记为，则使得函数有零点的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数f（x）=x2+2ax-b2+π有零点，得到关于a、b的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果．解：由题意知本题是一个几何概型，∵a，b使得函数f（x）=x2+2ax-b2+π有零点，∴△≥0∴a2+b2≥π试验发生时包含的
所有事件是Ω={（a，b）|-πaπ，-πbπ}∴S=（2π）2=4π2，而满足条件的事件是{（a，b）|a2+b2≥π}，∴s=4π2-π2=3π2，由几何概型公式得到P=，故选B．
考点：几何概型
点评：高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到
8. 如果执行如图所示的程序框图，输出的S＝110，则判断框内应填入的条件是( )．
A. k＜10?
B. k≥11?
C. k≤10?
D. k＞11?
【答案】C
【解析】
试题分析：因为，所以时结束循环，因此选C.
考点：循环结构流程图
【方法点睛】研究循环结构表示算法，第一要确定是当型循环结构，还是直到型循环结构；第二要注意根据条件，确定计数变量、累加变量等，特别要注意正确理解循环结构中条件的表述，以免出现多一次循环或少一次循环的情况．
9.已知函数，将的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图像向上平移个单位长度，得到函数的图像，若，则的值可能为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
结合三角函数平移原理，得到的解析式，计算结果，即可。

【详解】化简，得到，根据三角函数平移性质可知，当将的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数解析式为
，当把所得图像向上平移个单位长度，得到
，故，要使得，则要求
，故选D。

【点睛】考查了三角函数解析式平移计算方法，考查了三角函数的性质，难度中等。

10.外接圆的半径为，圆心为，且，，则（）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
为边BC的中点，因而,又因为,所以为等边三角形，.
11.某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
结合三视图，得到直观图，计算三棱锥体积，计算球体积，即可。

【详解】结合三视图，还原直观图，如图所示
三棱锥D-ABC即为该几何体，结合题意可知高为2，故体积为
，取BD的中点O，结合题意可知AD垂直平面AB，故，DC垂直平面BC，可知
，故结合直角三角形的性质可知，点O到A,B,C,D四点的距离相等，故该三棱锥的外接球半径
，故外接球体积
【点睛】考查了球体积计算公式，考查了三棱锥体积计算公式，考查了三视图转化为直观图，难度偏难。

12.设双曲线（）的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线左支的一个交点为，若以（为坐标原点）为直径的圆与相切，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：
解：设以（为坐标原点）为直径的圆与相切于点 ,圆心为点，，，由题意
可知：
设，则，
在中可得：，
据此可得：，
整理可得：，则：
，
分解因式有：，
双曲线的离心率，故：，
解得：，
双曲线的离心率： .
本题选择D选项.
点睛：在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程．
求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立的关系式求或的范围；另一种是建立的齐次关系式，将用表示，令两边同除以或化为的关系式，进而求解．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.抛物线的通径长为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
结合抛物线的性质，计算焦点坐标，计算当时，y的值，计算通径，即可。

【详解】焦点坐标为，故当时，，故通径长为8.
【点睛】考查了抛物线的性质，考查了通径的概念，难度中等。

14.某人次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，，，.已知这组数据的平均数为，方差为，
则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
结合平均数和方差的计算方法，建立方程，计算结果，即可。

【详解】结合题意，建立方程，得到
，计算得到
故
【点睛】考查了平均数计算，考查了方差计算，关键结合平均数和方差计算公式，建立方程，计算结果，即可，难度中等。

15.已知实数，满足，若的最大值为，则实数__________.
【答案】
【解析】
【分析】
结合不等式组，建立可行域，平移目标函数，计算参数，即可。

【详解】结合题意，绘制可行域，如图
将直线平移，可知该直线过C点的时候，对应的x-y能够取到最大值，
计算C点坐标满足C点的坐标为，所以
，解得
【点睛】考查了线性规划问题，考查了结合最值计算参数问题，难度偏难。

16.已知两点都在以为直径的球的表面上，，，，若球的体积为，则异面直线与
所成角的正切值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
作出满足题意的图形，的外心为的中点，则平面，
易得平面，计算出球半径，设与所成角为，利用，求出异面直线与所成角．
【详解】∵，∴的外心为的中点，∴平面，易证，∴平面，从而球的半径，又，∴，∵，∴，，∴.
设与所成角为，则.
故.
【点睛】本题考查了异面直线所成角问题，考查了球的有关性质，考查了空间想象能力及运算能力，属于中档题．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17.如图，在三棱柱中，侧面底面，，，，，分别为，
的中点.
（1）求证：直线平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）结合平面与平面平行的判定，得到平面平面，结合平面与平面平行的性质，即可。

（2）结合直线与平面垂直判定，得到平面，利用体积关系，计算体积，即可。

【详解】（1）证明：取的中点，连接，，由于，分别为，的中点，所以.又平
面，平面，所以平面.又且，
所以四边形是平行四边形.
则又平面，平面，
所以平面.
所以平面平面.又平面，
所以直线平面
（2）解：令，
由于为中点，则，又侧面底面，交线为，平面，则平面，连接，可知，，两两垂直.
由（1）知直线平面，
【点睛】考查了直线与平面平行的判定，考查了三棱锥的体积计算方法，难度偏难。

18.在数列中，，，设，
（Ⅰ）求证数列是等差数列，并求通项公式；
（Ⅱ）设，且数列的前项和，若，求使恒成立的的取值范围.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题中所给的条件，取倒数，即可证明，注意利用等差数列的定义和通项公式；
（Ⅱ）用错位相减法求和，之后将恒成立问题转化为最值来处理即可得结果.
【详解】证法一：解：（Ⅰ）由条件知，，
所以，，所以，
又，所以，数列是首项为1，公差为1的等差数列，
故数列的通项公式为：.
证法二：由条件，得
又，所以，数列是首项为1，公差为1的等差数列，
故数列的通项公式为：.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
则，①
②
由①-②得，
∴
∵，∴恒成立，等价于对任意恒成立.
∵，
∴.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的证明问题，等差数列的定义和等差数列的通项公式，应用错位相减法对数列求和，关于恒成立问题求参数的取值范围，保持思路清晰是正确解题的关键.
19.某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为元，售价为元，该款面包当天只出一炉（一炉至少个，至多个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，以便利润最大化，该店记录了这款新面包最近天的日需求量（单位：个），整理得下表：
（1）根据表中数据可知，频数与日需求量（单位：个）线性相关，求关于的线性回归方程；
（2）若该店这款新面包每日出炉数设定为个
（i）求日需求量为个时的当日利润；
（ii）求这天的日均利润.
相关公式：，
【答案】（1）；（2）（i）15元；（ii）101.6元.
【解析】
【分析】
（1）计算x,y的平均数，计算线性回归方程的参数，即可。

（2）（i）当日需求为15个时，结合信息表，计算利润，即可。

（ii）分别计算每种日需求下的利润，计算期望，即可。

【详解】（1），，
，
，故关于的线性回归方程为.
（2）（i）若日需求量为个，则当日利润元
（ii）若日需求量为个，则当日利润元
若日需求量为个，则当日利润元
若日需求量为个或个，则当日利润元
则这30日的日均利润元
【点睛】考查了线性回归方程的计算，考查了数学期望的计算，关键结合x,y的平均数，得到线性回归方程，即可，难度中等。

20.已知函数，（为常数，且）.
（1）求函数的极值；
（2）若当时，函数与的图像有且只有一个交点，试确定自然数的值，使得（参考数值，，，）
【答案】（1），无极大值；（2）6.
【解析】
【分析】
（1）求导，结合导函数，判定原函数的单调性，计算极值，即可。

（2）构造函数，结合导函数，针对a取不同范围，判定原函数单调性，构造函数，结合导函数，判定单调性，结合零点判定定理，即可.
【详解】解（1），
，，单调递减，
，，单调递增，
，
无极大值.
（2）记，则，
当时，因为，，函数单调递增，，
函数无零点，即函数与的图像无交点；
当时，且时，，
时，，
所以，，函数与的图片有且只有一个交点，得，
化简得，
记，，在上单调递减，
又，，
所以，即.
【点睛】考查了利用导函数计算原函数的极值，考查了零点判定定理，考查了构造函数的思想，难度偏难.
21.已知椭圆（）的左焦点为，点为椭圆上任意一点，且的最小值为，离心率为。

（I）求椭圆的方程；
（II）若动直线与椭圆交于不同两点、（、都在轴上方），且.
（i）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线的方程；
（ii）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）（i）；（ii）存在定点.
【解析】
【分析】
（I）结合椭圆的性质，计算a,b的值，即可。

（II）（i）计算直线AF的斜率，得到BF的斜率，得到直线BF的方程，代入椭圆方程，得到B点坐标，计算AB直线的斜率，结合点斜式，计算方程，即可。

（ii）设出直线AF的方程，代入椭圆方程，结合韦达定理，得到直线AB的斜率，设出直线AB的方程，令y=0，计算x的值，计算点坐标，即可。

【详解】解：（I）设椭圆的标准方程为：（）
离心率为，，，
点为椭圆上任意一点，且的最小值为，
，，
解得，，
椭圆的方程为.
（II）
（i）由题意，，
，，
直线为：，
代入，得，解得或，
代入，得，舍，或，.
，直线的方程为：.
（ii）存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点.
证明：，在于轴的对称点在直线上，
设直线的方程为：，
代入，得，
由韦达定理得，，
由直线的斜率，得的方程为：
令，得：
，
，，
，
对于动直线，存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点.
【点睛】考查了椭圆方程计算方法，考查了点斜式直线方程计算方法，考查了直线与椭圆方程的位置关系，难度偏难。

请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分，作答时请标明题号。

22.在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）已知射线（其中）与曲线交于，两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长.
【答案】(Ⅰ)，(Ⅱ)，.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．
（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变变换和三角形的面积公式的应用求出结果．
【详解】（Ⅰ）直线的普通方程为，极坐标方程为，
曲线的普通方程为，极坐标方程为.
（Ⅱ）依题意，∵，∴，
，
，
∴，，∴，.
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
23.已知，，设函数，
（I）若，求不等式的解集；
（II）若函数的最小值为，证明：（）
【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
【分析】
（I）代入a,b,c的值，结合x取不同范围，去掉绝对值，解不等式，即可。

（II）计算的最小值，得到a,b,c的等式，利用基本不等式，证明不等式，即可。

【详解】（I），不等式，即
当时，
当时，
当时，
解集为
（II）
【点睛】考查了含绝对值不等式的解法，考查了基本不等式，考查了不等式的证明，难度偏难。