高中数学人教A版选修2-1高二下学期第二次阶段性考试试题(数学理).docx

重庆市九龙坡区2010-2011高二下学期第二次阶段性考试试题数学
（理科）
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，
考试时间120分钟，满分150分．
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的
1、一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )
A ．异面
B ．平行
C ．相交
D ．不确定
2、从10名大学毕业生中选3个担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A ．85
B ．56
C ．28
D ．49
3、若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l ∥α，l ⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有 ( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
4、(C 14x ＋C 24x 2＋C 34x 3＋C 44x 4)2的展开式的所有项的系数和为( )
A.64
B.224
C.225
D.256
5、长方体两两相邻的三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是 ( )
A ．6 3
B ．3 6
C ．11
D ．12
6、将A 、B 、C 、D 、E 排成一列，要求A 、B 、C 在排列中顺序为“A 、B 、C ”或“C 、B 、A ”(可以不相邻)，这样的排列数有多少种 ( )
A ．12
B ．20
C ．40
D ．60
7、一枚硬币连掷5次，则至少一次正面向上的概率为( )
A. 15
B. 132
C.532
D. 3132
8、已知三棱锥P －ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，PA ＝PB ＝2PC ＝2a ，且三棱锥外接球的表面积为S ＝9π，则实数a 的值为( ) A. 2 B.2 C. 1 D.12
9、圆x 2＋(y ＋1)2＝3绕直线kx －y －1＝0旋转一周所得的几何体的体积为 ( )
A ．36π
B ．12π
C ．43π
D ．4π
10. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF ＝12
，则下列结论中错误的是 ( )
A ．AC ⊥BE
B ．EF ∥平面ABCD
C ．三棱锥A －BEF 的体积为定值
D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卷相应位置上．
11、如图，球O 的半径为2，圆O 1是一小圆，O 1O ＝2，A ，B 是
圆O 1上两点．若∠AO 1B ＝π2
，则A 、B 两点间的球面距离为________．
12、如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，
那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有 个.
13、某篮球运动员在三分线投球的命中率是12
，他投球10次，恰好投进3个球的概率为________．(用数值作答)
14、在正三棱锥P －ABC 中，PA ＝2，020APB ∠=，点E 、F 分别在侧棱PB 、PC 上，则AEF ∆周长的
最小值为 .
15、已知数列{a n }的通项公式为121n n a -=+，则a 1C 0n ＋a 2C 1n ＋…＋a n ＋1C n n ＝ .
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应在答题卷写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16、（本小题满分13分）
在正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝2，直线PA 与平面ABCD 所成的
角为60°，求正四棱锥P －ABCD 的体积V .
17、（本小题满分13分）
半径为10 cm 的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为36π cm 2 ，
64πcm 2，求这两个平行平面的距离．
18、（本小题满分13分）
如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与平面α、β所成的角分别为π4和π6
，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，若AB ＝12，求A ′B ′的长度．
19、（本小题满分12分）
若(2x ＋4)2010＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2010x 2010，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2010被3除的余数是多少?
20、（本小题满分12分）
如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，
AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°.
(1)证明：AB ⊥A 1C ；
(2)求二面角 A －A 1C －B 的余弦值．
21、（本小题满分12分）
甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34
．假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．
(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
重庆市九龙坡区2010-2011高二下学期第二次阶段性考试试题数学
（理科）参考答案
一、选择题： BDCCA CDCCD
二、填空题：11、2π3 12、12 13、15128
14、2 15、2n ＋3n . 三、解答题：
18、（本小题满分13分）
如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与
平面α、β所成的角分别为π4和π6
，过A 、B 分别 作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，
若AB ＝12，求A ′B ′的长度．
解：在Rt△ABB ′中，AB ′＝AB ·sin π4＝12×22＝62.……（5分） 在Rt△ABA ′中，AA ′＝AB ·sin π6＝12
×12＝6. ……（10分） 在Rt△A ′AB ′中，A ′B ′＝AB ′2－AA ′2＝(62)2－62＝6. ……（13分）
19、（本小题满分12分）
若(2x ＋4)2010＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2010x 2010，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2010被3除的余数是多少?
解：在已知等式中
取x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2010＝62010，
取x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－…＋a 2010＝22010，
两式相加得2(a 0＋a 2＋…＋a 2010)＝62010＋22010，
即a 0＋a 2＋…＋a 2010＝12×(62010＋22010)＝12
×62010＋22009. ……（6分） 注意到12
×62010能被3整除；……（8分） 22009＝2×(22)1004＝2×(3＋1)1004＝2×(31004＋C 11004·31003＋…＋C 10031004·3＋1)，被3除的余数是2，因此
a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2010被3除的余数是2．……（12分）
20、（本小题满分12分）
如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，
AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°.
(1)证明：AB ⊥A 1C ；
(2)求二面角A －A 1C －B 的余弦值．
解： (1)证明：∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴AB ⊥AA 1，……（2分）
在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠ABC ＝60°，
由正弦定理得∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC ，……（4分）
∴AB ⊥平面ACC 1A 1，又A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1C . ……（6分）
(2)如图，作AD ⊥A 1C 交A 1C 于D 点，连结BD ，
∵AB ⊥平面ACC 1A 1 ，由三垂线定理知BD ⊥A 1C ，……（8分）
∴∠ADB 为二面角A －A 1C －B 的平面角．……（9分）
在Rt△AA 1C 中，AD ＝AA 1·AC A 1C ＝3×36＝62， 在Rt△BAD 中，tan∠ADB ＝
AB AD ＝63， ∴cos∠ADB ＝155
， 即二面角A －A 1C －B 的余弦值为
155.……（12分） 21、（本小题满分12分）
甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34
．假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．
(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？ 解：(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A 1. ……（2分）
由题意，射击4次，相当于作4次独立重复试验．
故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－(23)4＝6581
，……（4分） 所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为6581
. (2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰有3次击
中目标”为事件B 2，……（5分）
则 P (A 2)＝C 24×(23)2×(1－23)4－2＝827
， P (B 2)＝C 34×(34)3×(1－34)4－3＝2764
.……（7分） 由于甲、乙射击相互独立，故
P (A 2B 2)＝P (A 2)·P (B 2)＝827×2764＝18
.……（8分） 所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为18
. (3)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击未击中”为事
件D i (i ＝1,2,3,4,5)，则 A 3＝D 5D 4·D 3·(D 2D 1)，……（10分）
且P (D i )＝14
.
由于各事件相互独立，故
P (A 3)＝P (D 5)·P (D 4)·P (D 3)·P (D 2D 1)
＝14×14×34×(1－14×14
) ＝451 024
.……（12分） 所以乙恰好射击5次后被中止射击的概率为451 024
.。