江苏省江阴初级中学2015届九年级下学期期中考试数学试卷

江阴初级中学2014-2015学年第二学期期中考试
初三数学试卷
命题人：王俊蓉 复核人：王琴 （满分130分，考试时间为120分钟）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．23
-的相反数是 ( ▲ )
A ．32
B ．32-
C ．23
D ．23
-
2．下列运算正确的是 ( ▲ )
A ．236x x x ⋅=
B ．22
124x x --=-
C ．235
()x x -= D ．22223x x x --=- 3．如图所示的支架是由两个长方体构成的组合体，则它的主视图是 ( ▲ )
4．□ABCD 的对角线交于点O ，下列结论错误的是 ( ▲ ) A ．△AOB≌△BOC B ．△AOB≌△COD
C ．□ABC
D 是中心对称图形 D ．△AOB 与△BOC 的面积相等
5．分解因式2x 2
—4x+2的最终结果是 ( ▲ )
A ．2x(x －2)
B ．2(x 2－2x+1)
C ．(2x －2)2
D ． 2(x －1)2
6．以下数据是10名学生测试跳绳项目的成绩（单位：个/分钟）: 176、180、184、180、 170、
176、172、164、186、180,则该组数据的众数、中位数、平均数分别为( ▲ ) A ．180、180、178 B ．180、178、178 C ．180、178、176.8 D ．178、180、176.8 7．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为10 cm ，圆心角为252°的扇形，则该圆锥的底面半径为 ( ▲ ) A ． 6 cm B ．7 cm C ．8 cm D ．10 cm
8．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=90°，以AB 为直径的⊙O 与CD 相切于E ，与BC 相交于F ，若AB=8，AD=2，则图中两阴影部分面积之和为 ( ▲ )
A.
C.3
D.
9．如图，已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC ，A 点的坐标为（10，0），对角线OB 、
AC 相交于D 点，双曲线y ＝k
x
（x ＞0）经过D 点，交BC 的延长线于E 点，且OB •AC ＝160，
有下列四个结论：①双曲线的解析式为y ＝40
x
（x ＞0）；②E 点的坐标是（5，8）；③sin
∠COA ＝4
5
；④AC ＋OB ＝125．其中正确的结论有 ( ▲ )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 10．如图，已知点A （4，0），O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），
过P 、O 两点的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数y 2的图象开口均向下，它们的顶
点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于 ( ▲ ) A
C ．3
D ．4
（第8题图） （第9题图） （第10题图） 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11．5-的值等于 ▲ ．
12．“辽宁号”航母是中国海军航空母舰的首舰，标准排水量57000吨，满载排水量67500
吨，数据67500用科学记数法表示为 ▲ ． 13.函数x y -=
3中自变量x 的取值范围是 ▲ ．
14.请写出一个无理数，使它是大于2-的负数： ▲ ．
15.正六边形的每一个内角的度数是 ▲ °．
16.如图，△ABC 中，CD⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，∠B=45°，若AD=6，DE=5，则BC 的长等于 ▲ ．
（第16题图） （第17题图） （第18题图） 17.如图，直线x y 3=
，点1A 坐标为（1，0）
，过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 长为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 轴的垂线交直线于点 2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于点3A ，…，按此做法进行下去，点n A
的坐标为 ▲ ．
18.如图，在锐角△ABC 中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°,将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转,得到△111C B A ．点E 为线段AB 中点,点P 是线段AC 上的动点,在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中,点P 的对应点是点1P ,线段1EP 长度的最小值是 ▲ ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（本题满分6分）计算：
（1）()
02320092
1)1(---+- （2）1a 21a 2a 2-+++
A D
A E C
B
20．（本题满分8分）
（1）解方程：05x 6x 2=+-（2）解不等式组(1)(2)
3(1)42,
1.2
3x x x x +>+⎧⎪
-⎨≥⎪⎩
21．（本题满分6分）如图，在□ABCD 中，AE 、BF 分别平分∠DAB 和∠ABC ，交CD 于点E 、F ，AE 、BF 相交于点M ．
（1）试说明：AE ⊥BF ；
（2）判断线段DF 与CE 的大小关系，并说明理由．
22．（本题满分8分）如图，有一游戏棋盘和一个质地均匀的正四面体骰子（各面依次标有1，2，3，4四个数字）．游戏规则是游戏者每掷一次骰子，棋子按着地一面所示的数字前进相应的格数．例如：若棋子位于A 处，游戏者所掷骰子着地一面所示数字为3，则棋子由A 处前进3个方格到达B 处．请用画树形图法（或列表法）求掷骰子两次后，棋子恰好由A 处前进6个方格到达C 处的概率．
23．（本题满分8分）初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一．为此无锡市教育局对我市部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A 级：对学习很感兴趣；B 级：对学习较感兴趣；C 级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了 名学生；
（2）将图①补充完整；（3）求出图②中C 级所占的圆心角的度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近80000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A 级和B 级）？
M
F E D C
B
A
学习态度层级
图①
C 级
图②
24．（本题满分8分）耘耙是一种清除水稻成长期缝隙间杂草的传统农具,大小款式不一，图1是其中的一种,图2是其示意图,现测得AC ＝40cm,∠C ＝30°,∠BAC ＝45°.为了使耘耙更加牢固,AB 处常用铁条制成,则制作此耘耙时需准备多长的铁条?（结果保留根号）
25．（本题满分8分）如图,在△ABC,AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且1
2
CBF CAB ∠=
∠． （1）求证：直线BF 是⊙O 的切线； （2）若5AB =
，sin CBF ∠=
，求BC 和BF 的长．
26．（本题满分10分）为推进节能减排，发展低碳经济，江阴某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之
F A
B
（图1） （图2） A
B C
间较为合理，并且该产品的年销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式为：
⎩
⎨
⎧≤<-≤≤-=)3530(5.025)
3025(40x x x x y （年获利=年销售收入—生产成本—投资成本） （1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？
（2）求该公司第一年的年获利W （万元）与销售单价x （元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？ （3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z 万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．
27.(本题满分10分)如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点． (1)求抛物线的解析式；
(2)将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标；
(3)如图2，若异于点A 的点N 在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，求点N 的坐标； (4)在(2)与(3)的条件下，请直接写出所有满足△POD∽△NOB 的点P 的坐标．
28.（本题满分12分）已知，在矩形ABCD 中，E 为BC 边上一点，AE ⊥DE ，AB =12，BE =16，F 为线段BE 上一点，EF =7，连接AF ．如图①，现有一张硬质纸片△GMN ，∠NGM =90°，NG =6，MG =8，斜边MN 与边BC 在同一直线上，点N 与点E 重合，点G 在线段DE 上．如图②，△GMN 从图①的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB 向点B 匀速移动，同时，点P 从A 点出发，以每秒1个单位的速度沿AD 向点D 匀速移动，点Q 为直线GN 与线段AE 的交点，连接PQ ．当点N 到达终点B 时，△GMN 和点P 同时停止运动．设运动时间为t 秒，解答下列问题：
（1）在整个运动过程中，当点G 在线段AE 上时，求t 的值．
（2）在整个运动过程中，是否存在点P ，使△APQ 是等腰三角形．若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．
（3）在整个运动过程中，设△GMN 与△AEF 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围．
图①
A
B
D
F
C M G
图②
D N
江阴初级中学2014-2015学年第二学期期中考试
初三数学答案
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
11．5 12．41075.6⨯ 13．3≤x 14．答案不唯一,如2-π、2-等 15．120 16．28 17．)0,2
(1
-n 18．
2
2
25- 三、解答题（本大题共10小题，共84分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（1）
21(3分)（2）1
a a
-(6分) 20．（1）1x ,5x 21==(4分)
（2）由①得1<x （1分）由②得x ≥–2（2分） 所以不等式组的解集为–2≤1<x （4分）
) 22．画树状图得：
(5分)
∵共有16种等可能的结果，掷骰子两次后，棋子恰好由A 处前进6个方格到达C 处的有（2，4），（3，3），（4，2）， ∴掷骰子两次后，棋子恰好由A 处前进6个方格到达C 处的概率为
．(8分)
23. 解：（1）200 (2分)（2）略 (4分) （3）54 (6分)（4）68000名 (8分) 24．过点B 作BD ⊥AC 于D . 设BD ＝x
在Rt △ABD 中，∠BAC ＝45°，∴BD ＝AD ＝x ，AB ＝x 2（1分） 在Rt △CBD 中，∠ACB ＝30°，∴CD ＝x 3， （2分）
∵AD ＋CD ＝AC ∴x ＋x 3＝40 （4分） ∴x ＝20320- （6分） ∴AB ＝x 2＝220620)20320(2-=- （7分）
答：制作此耘耙时需准备（220620-）cm 的铁条．（8分） 25．(1) 证明：连结AE ∵ AB 是圆O 的直径， ∴ ∠AEB=90︒.∴∠1+∠2=90︒. ∵ AB=AC, ∴ ∠1=
21∠CAB. ∵∠CBF=2
1
∠CAB. ∴ ∠1=∠CBF ，∴ ∠CBF +∠2=90︒. 即∠ABF=90︒. ∵ AB 是圆O 的直径， ∴ 直线BF 是圆O 的切线 （3分） (2) 解：过点C 作CG ⊥AB 于点G ，∵ sin ∠CBF=
55，∠1=∠CBF ，∴ sin ∠1=5
5
，
∵ ∠AEB=90︒,AB=5, ∴BE=AB·sin ∠1=5, ∵ AB=AC ，∠AEB=90︒, ∴ BC=2BE=25,（5分） 在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE=22BE AB -=25,
∴ sin ∠2=
552，cos ∠2=5
5
， 在Rt △CBG 中，可求得GC=4,GB=2。

∴ AG=3， ∵ GC // BF ，∴ △AGC ~ △ABF. ∴AB AG BF GC =，∴ BF=AG AB GC ⋅=3
20
.（8分） 26．.解：（1）∵25≤28≤30，
，
∴把28代入y=40﹣x 得，∴y=12（万件） （2分）
（2）①当 25≤x ≤30时，W=（40﹣x ）（x ﹣20）﹣25﹣100=﹣x 2+60x ﹣925=﹣（x ﹣30）2
﹣25，
故当x=30时，W 最大为﹣25，即公司最少亏损25万；（4分）
②当30＜x ≤35时，W=（25﹣0.5x ）（x ﹣20）﹣25﹣100=﹣x 2
+35x ﹣625=﹣（x ﹣35）2
﹣12.5 故当x=35时，W 最大为﹣12.5，即公司最少亏损12.5万；（6分） 综上，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万（7分）
（3）①当 25≤x ≤30时，W=（40﹣x ）（x ﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣x 2
+59x ﹣782.5
令W=67.5，则﹣x 2+59x ﹣782.5=67.5 化简得：x 2
﹣59x+850=0 x 1=25；x 2=34，
此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，25≤x ≤30；（8分）
②当30＜x ≤35时，W=（25﹣0.5x ）（x ﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣x 2
+35.5x ﹣547.5， 令W=67.5，则﹣x 2
+35.5x ﹣547.5=67.5，化简得：x 2
﹣71x+1230=0 x 1=30；x 2=41，
此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，30＜x ≤35，（9分）
答：到第二年年底两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是25≤x≤30或30＜x≤35．（10分）
27．解：(1) ∵抛物线y ＝ax 2＋bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4)．∴⎩⎨⎧9a ＋3b ＝016a ＋4b ＝4，解得：⎩⎨⎧a ＝1
b ＝－3
∴抛物线的解析式是y ＝x 2－3x （2分）
(2) 设直线OB 的解析式为y ＝k 1x ，由点B(4，4)，得：4＝4k 1，解得k 1＝1
∴直线OB 的解析式为y ＝x 设直线OB 向下平移m 个单位长度后的解析式为：
y ＝x －m
∵点D 在抛物线y ＝x 2－3x 上，∴可设D(x ，x 2－3x) 又点D 在直线y ＝x －m 上， ∴ x 2－3x ＝x －m ，即x 2－4x ＋m ＝0
∵抛物线与直线只有一个公共点， △＝16－4m ＝0，解得：m ＝4（3分） 此时x 1＝x 2＝2，y ＝x 2－3x ＝－2 D 点坐标为(2，－2)（4分） (3) 设BN 与y 轴交于点E, ∵∠EOB=∠BOA=45，∴ABO EBO ∆≅∆
∴OE=OA=3，∴直线A′B 的解析式是34
1
+=x y ， ∵∠NBO=∠ABO ，∠A′BO=∠ABO ， 又点N 在抛物线上，∴n n n 33412-=+，解得：4,4
3
21=-=n n (舍去)∴N 点的坐标为(16
45
,43-
)（6分） (4) （3245,83--）、（8
3
,3245）
（每个答案2分，10分） 28．（1）在△GMN 中，∠NGM =90°，NG =6，MG =8，由勾股定理，得MN =1022=+MG NG .
∵431612tan ===
∠BE AB AEB ,4
3
86tan ===∠MG NG GMN ,∴∠AEB =∠GMN ， ∴当点G 运动到AE 上时，点M 与点E 重合，运动路程为10，
又∵△GMN 运动速度为每秒一个单位长度，∴t =10. （2分） （2）存在满足条件的t ．理由如下：
在△ABE 中，∠ABE =90°，AB =12，BE =16，由勾股定理，得2022=+=
BE AB AE .
由（1）可知，∠AEB =∠GMN ，∴AE ∥GM ，∴∠NQE =∠NGM =90°， ∴∠NQE =∠B =90°，又∵∠AEB =∠NEQ ，∴△ABE ∽△NQE . ∴QE BE NE AE =，即QE t 1620=，∴t QE 54=,∴t QE AE AQ 54
20-=-=. ①当AP =PQ 时，如图①，过点P 作PH ⊥AE 于点H ，得AH =
21AQ =t 5
2
10-.
由△APH ∽△EAB ，得
AB
AP
BE AH =
，即20165210t t
=-
，解得3
25=t . ②当AP =AQ 时，如图②，由t t 54
20-=，解得9
100=
t .
③当AQ =PQ 时，如图③，过点Q 作QK ⊥AD 于K ，可得AK =21AP =t 2
1
.
由△AQK ∽△EAB ，得BE AK AE AQ =
，即16
21
205420t
t =-，解得57800=t . 综上所述，当325=t 或9100=t 或57
800
=t 时，△APQ 是等腰三角形．（每种情况2分）
图①
A
图②
M A
B
D
F
C
G
N P
Q
图③
Q F A
B
D
E C
M
G
N P
K
（3）⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<++-≤<-+-≤<=)16571()17(7
6)57110(32331431)107(349314757)
70(2562222t t t t t t t t t S （每种情况(包括取值范围全对)得1分，否则1分全扣）。