高考总复习课程--新课标高考数学尖子生拔高课程理 课

第18讲 代数不等式
题一：设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1
c
3＋abc ≥23．
题二：已知a ，b ，c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥1
3(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac ．
题三：已知a ，b ，c 均为正实数，且ab ＋bc ＋ca ＝1． 求证：(1)a ＋b ＋c ≥3；(2)
a bc
＋b ac
＋c
ab
≥3(a ＋b ＋c )． 题四：已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=，2222
2365a b c d +++=，试求a 的最值．
题五：已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋1
3c ＝m ，求a ＋2b ＋3c 的最小值．
题六：已知正数z y x ,,满足10345=++z y x ．
（1）求证：545953163425222≥+++++y
x z x z y z y x ；
（2）求22
299++y z x 的最小值． 第19讲 数列的生成函数
题一：已知数列{}n a 中，各项都是正数，且满足：01a =，11
(4),2
n n n a a a n +=-∈N ． 证明：12,n n a a n +<<∈N ．
题二：数列{}n a 中，11a =，2
112
n n n a a a c +=-+ (1c >为常数，1,2,3,n =) ，
且32a a -=
（Ⅰ）求c 的值；
（Ⅱ）证明：1n n a a +<2<；
（Ⅲ）比较
11n
k
k a =∑与14039n a +的大小，并加以证明．
题三：已知数列}{n a 对任意的,2≥n *N n ∈满足:n n n a a a 211<+-+，则称}{n a 为“Z 数列”．
(1)求证：任何的等差数列不可能是“Z 数列”；
(2)已知正数列{}n b ，若数列{}n b lg 是“Z 数列”，数列{}n b 是否可能是等比数列，说明理由，构造一个数列{}n c ，使得{}n c 是“Z 数列”；
(3)若数列}{n a 是“Z 数列”，设,,,,*t s N m t s <∈且求证.s t m s m t a a a a -<-++．
题四：已知函数()y f x =对任意的实数,()()()(1)0x y f x y f x f y f +=⋅≠都有且 (1)()n a f n =，n ∈N*，1
n i n
i S a ==∑，设21n
n n
S b a =
+且{}n b 为等比数列，求1a 的值； (2)在(1)的条件下，设1
12n n
C a =
+ 证明：
(i) 对任意的()
()211
0,211n n x C a x x x >≥--++，n N *∈； (ii) 2
121
n n C C C n ++
+>+，n N *∈．
题五：已知数列{}n x 满足14x =，213
24
n n n x x x +-=-．
(Ⅰ)求证：3n x >；(Ⅱ)求证：1n n x x +<．
题六：对于任意的*
N n ∈，若数列}{n a 同时满足下列两个条件，则称数列}{n a 具有“性质
m ”：①
12
2
++<+n n n a a a ；②存在实数M ,使得M a n ≤成立． (1)数列}{n a 、}{n b 中，n a n =、6
sin 2π
n b n =(5,4,3,2,1=n )，判断}{n a 、}{n b 是否具有
“性质m ”；
(2)若各项为正数的等比数列}{n c 的前n 项和为n S ，且413=c ,4
7
3=S ，求证：数列}{n S 具
有“性质m ”；
(3)数列}{n d 的通项公式n
n n n t d 2
1)23(+-⋅=(*N n ∈)．对于任意]100,3[∈n 且*
N n ∈，数列}{n d 具有“性质m ”，求实数t 的取值范围．
第18讲 代数不等式
题一：见详解．
详解：因为a ，b ，c 为正实数，由均值不等式可得 1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3
abc ． 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc ．而3
abc ＋abc ≥2
3abc
·abc ＝23． 所以1a 3＋1b 3＋1
c 3＋abc ≥23．
题二：见详解．
详解：∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ， ∴2a 2＋2b 2＋2c 2≥2ab ＋2bc ＋2ac ，
∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2，即a 2＋b 2＋c 2≥1
3
(a ＋b ＋c )2．
由a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，∴a 2＋b 2＋c 2
＋2ab ＋2bc ＋2ac ≥3ab ＋3bc ＋3ac ，
∴(a ＋b ＋c )2≥3(ab ＋bc ＋ac )．∴1
3
(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac ．
综上所述，a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2
≥ab ＋bc ＋ac ，命题得证．
题三：见详解．
详解：(1)要证明a ＋b ＋c ≥3，
∵a ，b ，c 为正实数，∴只需证明(a ＋b ＋c )2≥3，
即证明a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≥3．又ab ＋bc ＋ac ＝1， ∴只需证明a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ．
上式可由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2
＋b 2＋c 2证得，
∴原不等式成立． (2)∵
a
bc
＋ b ac
＋ c ab ＝a ＋b ＋c abc
． 又由(1)已证a ＋b ＋c ≥3， ∴原不等式只需证明
1
abc
≥a ＋b ＋c ， 即证明a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca ． 而a bc ＝ab ·ac ≤
ab ＋ac 2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤ac ＋bc
2
． ∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca 成立．∴原不等式成立．
题四：max
2=a ，min 1=a ．
详解：由柯西不等式得，有
()()22
22111236236b
c d b c d ⎛⎫
++++≥++ ⎪⎝⎭
；即()2222236b c d b c d ++≥++
由条件可得，()
2
2
53a
a -≥-；解得，12a ≤≤
=
=
时，等号成立，
代入11
1,,36b c d ===得，max 2=a ；
当21
1,,33
b c d ===时，min 1=a ．
题五：（1）1；（2）9．
详解：(1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ， 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1． (2)由(1)知1a ＋12b ＋1
3c ＝1，又a ，b ，c ∈R ＋，
由柯西不等式，得：
211123(23)()923a b c a b c a b c ++=++⋅++≥+=
所以a ＋2b ＋3c 的最小值为9．
题六：（1）见详解；（2）18． 详解：（1）根据柯西不等式，得
]45953163425][)45()53()34[(2
22y
x z x z y z y x y x x z z y ++++++++++
2)345(z y x ++≥
因为10345=++z y x ,所以520
10459531634252
222=≥+++++y x z x z y z y x ．
（2
）根据均值不等式，得2
22
222
9923++++≥=⋅x y
x
y z z ，
当且仅当222
z y x
+=时，等号成立．
根据柯西不等式，得100)345()345)((2222222
=++≥++++z y x z y x ，
即2)(222
≥++z y x
，当且仅当
3
45z
y x ==时，等号成立． 综上，222
2
99
2318++≥⋅=y z x ．
第19讲 数列的生成函数
题一：见详解．
11122111111
(4)(4)22
11
2()()()(4),
22
k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a +-------=
---=---=---
题二：（Ⅰ）2c
=；（Ⅱ）（Ⅲ）见详解．
详解：（Ⅰ）由3218a a -=，得2
11111
22228
c c ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
解得2c =，或1c =（舍去）．
（Ⅱ）证明：因为22
11122(2)022
n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，
当且仅当2n a =时，1n n a a +=．
因为1
1a =，所以10n n a a +->，即1n n a a +< (1,2,3,
n =) ．
下面证明：对于任意*
n ∈N ，有2n a <成立．
当1n
=时，由11a =，显然结论成立．假设结论对 (1)n k k =≥时成立，即 2.k a <
因为2211132(1)222n n n n a a a a +=-+=-+，且函数2
13(1)22y x =-+在1x ≥时单调递增， 所
以2
113(21)222
k a +<-+=．即当1n k =+时，结论也成立．
于是，当*
n ∈N 时，有2n a <成立．
（Ⅲ）由2
1122
n n n a a a +=-+，可得11()(2)(2)n n n n n a a a a a ++-=--，
从而111122
n n n a a a +=-
--．因为11a =， 所以
111111111111 1.22222n
n
k k k n n k k a a a a a a +++==⎛⎫=-=-=- ⎪-----⎝⎭
∑∑
1112
1
1111111
40140
139239
404139(53)(813)
39(2)39(2)
n
n n k
n n n n n n n k a a a
a a a a a a a +++++++++=-
=-----+-=
=
⋅-⋅-∑
因为1
1a =，由（Ⅱ） 12n a ≤< (*n ∈N )． 由11a = 及21122n n n a a a +=-+， 经计算可得23313
.28
a a ==
，
所以，当1n =时，
2114039a a <；当2n =时，312114039
a a a +=； 当3n
≥时，由
113
28
n a +<<， 得11111
11(53)(813)140140
0 3939(2)39n n
n n n n k n k k k a a a a a a a +++++==+--=>⇒>⋅-∑∑．
题三：见详解． 详解：(1)设等差数列
{}n a 的首项1a ，公差d ，d n a a n )1(1-+=
0)1(22)2(211111=----+++=-+-+d n a d n a nd a a a a n n n
所以任何的等差数列不可能是“Z 数列” 或者根据等差数列的性质：n n n a a a 211=+-+
所以任何的等差数列不可能是“Z 数列”
(2)假设{}n a 为正数列，{}n a lg 是“Z 数列”，
∵
{}n a lg 是“Z 数列”，所以n n n a a a lg 2lg lg 11<+-+∴211·n n n a a a +-<， 所以{}n a 不可能是等比数列
等比数列()1,011
1≠<⋅=-q c q c c n n 只要首项01<c 公比1≠q
其他的也可以：()02<++=a c bn an c n ，)0(4
<=a an c n 等比数列{}n c 的首项1c ,公比q ,通项公式11-⋅=n n q c c
1
12111122---+⋅-⋅+⋅=-+n n n n n n q c q c q c c c c ()
()01122
21221<-⋅⋅=+-⋅=--q q c q q q c n n 恒成立,01<∴c
补充说明：分析：11-+-<-n n n n a a a a ,)
1()1(1
1---<-+--+n n a a n n a a n n
n n 根据几何意义只要()n f c n =的一阶导函数单调递减就可以
(3)因为s s s a a b -=+1,121+++-=s s s a a b ,232+++-=s s s a a b ,11---=t t t a a b
1121121......t s t t t t s s
t t s
t s a a a a a a a a b b b ---+---+-=-+-++-=+++一共项
同理：
1121121......t m s m t m s m
t m m t m t s m s m
t m t m t s a a a a a a a a b b b +++++-+-+-++++-+--+-=-+-++-=+++一共项
因为数列}{n b 满足对任意的,1*
n n b b N n <∈+均有
所以,,,,22
11s m s m t t m t t b b b b b b >>>+-+--+- m s m t s t a a a a ++->-
题四：(1)
31
1=a ；(2)见详解．
详解：(1)∵ )()()(y f x f y x f ⋅=+对于任意的x R ∈均成立, ∴ )1()()1(f n f n f ⋅=+,即.11a a a n n ⋅=+
∵ ,0)1(≠f ∴),(0,01
*∈≠∴≠N n a a n
∴1}{a a n 是以为首项,1a 为公比的等比数列, ∴n n
a a 1=．
当，a 时11=n S a n n ==,1,此时}{,12n n b n b +=不是等比数列, ∴.11≠a
∵}{n b 成等比数列, ∴321,,b b b 成等比数列, ∴312
2b b b =．
∵112
1
2112212111231)(21)(2,312a a a a a a a a b a S b +=++=++==+=, 23222111111113322
1111
2()322329661,()a a a a a a a a b a a a a +++++++=+=∴=，解得31
1=a (2)在(1)的条件下, ,31
n n a =知02
33>+=n
n n c , (i)
=-+-+)32()1(1112x x x n )1132
()1(1112x x x n
--++-+ =
x x c x c x x n n +++⋅-=+-+-+12
)1(11)]1(1[)1(1112
2 =211()1n n n c c c x
--++≤n c ,∴原不等式成立．
解法二 (i)设
)32()1(111)(2x x x x f n
-+-+=
, 则
22
42(1)(
)2(1)1
3'()(1)(1)n x x x f x x x -+--⋅+-=
-
++=322()3(1)
n x x -+ ∵0)('32,0><∴>x ，f x x n
时当；当
0)('32
<>x ，f x n 时； 当)(32
x ，f x n 时=
取得最大值.3
2
11)32(n n
n
c f =+=∴原不等式成立．
(ii)由(i)知，对任意的x ＞0，有
2
221)1(111)32()1(111x x x x x c c c n +-++-+-+≥
+++
)32()1(111)32(
22x x x x n -+-+++- =)3
2
3232()1(1122nx x x n n
-++++-+ ∴取(1n x =n 3232322+++ )=
)311(1)
3
11()311(32n n n n -=--,
则13
11)311(112
221+>-+=-+≥+++n n n n n n a a a n
n n ．∴原不等式成立．
题五：见详解．
详解：(Ⅰ) 证明：用数学归纳法证明 (1)当1n
=时， 143x =>．所以结论成立．
(2)假设(1)n k n =≥时结论成立，即3k
x >，
则22
13(3)3302424
k k k k k x x x x x +---=-=>--．
所以13k x +>．即1n k =+时,结论成立．由(1)(2)可知对任意的正整数n ，都有3n x >．
(Ⅱ)证明：22
1343(1)(3)
242424
n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x +--+-----=-==
---． 因为3n x >，所以
(1)(3)
024
n n n x x x ---<-，即10n n x x +-<．所以1n n x x +<．
题六：（1）}{n a 不具有“性质m ”；}{n b 具有“性质m ”；（2）见详解；（3）1>t ．
详解：(1)在数列}{n a 中，取1=n
，则
23
122
a a a ==+，不满足条件①， 所以数列}{n a 不具有“性质m ”； 在数列}{n
b 中，11=b ，32=b ，23=b ，34=b ，15=b ，
则231
2323b b b =<=+,3422432b b b =<=+,4532323b b b =<=+，
所以满足条件①；
26
sin
2≤=π
n b n (5,4,3,2,1=n )满足条件②,所以数列}{n b 具有“性质m ” (2)由于数列}{n c 是各项为正数的等比数列,则公比0>q ,将4
1
3=c
代入=3S 47
3323=++c q c q
c 得：0162=--q q ,解得21=q 或31-=q (舍去)
所以11=c ,121-=n n c ,121
2--=n n S
对于任意的*
N n ∈，
1222
12212122+++=-<--=+n n n n n n S S S 且2<n S 所以数列}{n S 满足条件①和②,所以数列}{n S 具有“性质m ”
(3)由于n d n tn t 213--=,则1121)1(3++-+-=n n n t t d ,2
22
1
)2(3++-+-=n n n t t d 由于任意]100
,3[∈n 且*N n ∈,数列}{n d 具有“性质m ”,所以122++<+n n n d d d 即+-n tn 21221)2(+-+n n t 1
2
1
)1(2+-+⨯>n n t ，化简得：1)2(>-n t , 即2
1
->n t 对于任意]100
,3[∈n 且*N n ∈恒成立,所以1>t ① 1
12
1)1(21++-+--=-n n n n n t tn d d =121
)1(+--n n t 由于]100,3[∈n 及①,所以n n d d >+1 即]100
,3[∈n 时，数列}{n d 是单调递增数列， 所以}{n d 最大项的值为10010021
1003--=t t d
满足条件②只需M t t ≤--
100
21
1003即可，所以这样的M 存在，所以1>t 即可。