全国硕士研究报告生入学统一考试数学试题及详解_1557

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2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试卷及详解
一、选择题： 1~8小题，每小题 4分，共 32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

1。

函数可去间断点的个数为<）个
<A ）1<B ）2<C）3<D）无穷多
应选 <C）[ 解读 ]：函数全部间断点为是全体整数，但只有时函数分子、分母同时为零，
而
，，
，因此只有三个可去间断点。

2．当时，与等价无穷小，则<）
<A ）<B）
<C）<D ）
应选<A）
[ 解读 ] ：由题设。

从而由极限的存在性可得。

因此
，所以
3。

使不等式成立的的取值范围为<）
<A ）<B）<C）<D ）
应选 <A）
[解读 ]：由于
由于，所以
4．设函数在区间上的图形为
则函数的图形为
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应选 <D）
[ 解读 ] ：由定积分几何意义：“围成图形面积代数和”可得：
当时，，且单调递增；
当时，，且单调递减；
当时，单调递增；
当时，为常值函数。

符合以上特点的图形只有<D）
5．设均为二阶矩阵，分别为的伴随矩阵，且，则分块矩阵的伴随矩阵为 <）
<A ）<B）
<C）<D）
应选 <B）
[解读 ]：记，则，而，
从而。

6．设都是三阶方阵，为的转置矩阵，且。

若，则为 <）
<A ）<B）
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<D）
<C）
应选 <A）
[解读 ]：，所以
而
7．设事件与事件互不相容，则<）
<A ）<B）
<C）<D ）
应选 <D）
[ 解读 ] ：因为事件与事件互不相容，所以
8．设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为。

记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为<）
<A ）<B）<C ）<D ）
应选 <B）
[解读 ]：
由与相互独立，故
当时
当时
由此可得为间断点，故应选<Ｂ）
二、填空题： 9~14小题，每小题 4分，共 24分。

把答案填在题中横线上。

9．
应填：
[解读 ]：
10．设，则
应填：
[解读] ：
11．幂级数的收敛半径为。

应填：
[解读 ] ：由于
令，所以收敛半径为。

12．设某产品的需求函数为。

其对应价格的弹性为。

则当需求量为1 0000件时，价格增加1元会使产品收益增加元
应填： 12000
[解读 ]：由题设知，即
产品收益为，从而
所以收益增加<元）
13．设，若矩阵相似于，则
应填：
[ 解读 ] ：由于相似矩阵有相同的特征值，所以矩阵而矩阵，满足
的特征值为
，所以矩阵的特征值为０或
因此。

１４。

设为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则
应填：
［解读］：
三、解答题： 15~23小题，共 94分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15． <本题满分 9分）
求二元函数的极值
[ 解读 ] ：解方程组
又由于
，因此得函数的驻点为
，从而对驻点
且，所以
有
为极小值。

16． <本题满分10分）计算不定积分
[ 解读 ] ：法一：
令，则
所以原积分为。

法二：令
原积分变为
，则
17． <本题满分 10分）
计算二重积分，其中
[解读 ]
18． <本题满分11分）
<I ）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在内可导，则存在
，使得
<II ）证明：若函数在处连续。

在内可导，且，则存在，且
证明：<I ）构造辅助函数
由于，且在上连续，在内可导，所以
，由罗尔定理可得则存在
在
，使得
上连续，在
，即得
内可导
<II ）由于。

所以存在，且
19．设函数是正值可导函数，已知曲线与直线及
所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所成立体的体积是该曲边梯形面积的倍，求该曲线的方程
[ 解读 ] ：由于曲边梯形的面积为，该曲边梯形绕轴旋转一周所成立体的体积为，由题设可得：
即-----------------------------<1）
<1）式两端对求导得：
上式两端再求导可得：且，可求得
从而所求曲线方程为
20． <本题满分 11分）
设，
<I ）求满足，的所有向量、；
<II ）对 <I ）中的任意向量、，证明、、线性无关
[解读 ]：<I ）由于设，则
由于所以
记，设，则
由于，所以
<II ）由于
所以、、线性无关。

21。

<本题满分 11分）
设二次型
<I ）求二次型矩阵的所有特征值
<II ）若二次型的规范形为，求的值
[ 解读 ] ：<I ）二次型矩阵为
由于
所以二次型矩阵的特征值为
<II ）由于二次型的规范形为，所以矩阵有一个特征值为零，两个为大于零的数。

若则不合题意；
若则；
若，则不合题意
综上可得。

22。

<本题满分 11分）
设二维随机变量的概率密度为
<I ）求条件概率密度
<II ）求条件概率
[ 解读 ] ：<I ），由于，而关于的边缘分布密度为所以
从而。

<II ）
而
因为
所以
从而
23． <本题满分 11分）
袋中有 1个红球， 2个黑球与 3个白球，现有回放地从袋中取出两次，每次取一球，以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。

<I ）求
<II ）求二维随机变量的概率分布
[ 解读 ] ：<I ）事件表示已知“未取到白球”条件下取到一次红球，故
<II ）与的可能取值均为0， 1， 2，且与相互独立<放回地取球）
故的概率分布为
Y
012 X
1
2。