2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(十八)含答案

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十八）
17．某校随机调查了80位学生，以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的数据表：
爱好 不爱好 合计 男 20 30 50 女 10 20 30 合计
30
50
80
（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查了本校的3名学生．设这3人中爱好羽毛球运动的人数为，求的分布列和期望值；
（2）根据表中数据，能否有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联？若有，有多大把握？
附：
0.100 0.050 0.010
2.706
3.841
6.635
【答案】（1）；（2）没有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联． 【解析】（1）任一学生爱好羽毛球的概率为，故，
，， X X 2
2
()()()()()
n ad bc a b c d a c b d χ-=++++()2P k χ≥k 9
8
EX =
383
~(3,)8X B 03
35125(0)C ()8512P X ===123
35225(1)C ()88512
P X ===
，， 的分布列为：
1
2
3
∴．
（2），故没有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联．
18．已知数列为等差数列，首项，公差．若成等比数列，且
．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，
，，∴，，∴．
（2），
22335135(2)C ()88512P X ===333
327(3)C ()8512
P X ===X X P 12551222551213551227
512
39
388
EX =⨯=22
80(20201030)80
0.3556 2.70630503050225
χ⨯-⨯=
=≈<⨯⨯⨯{}n a 11a =0d ≠123n ,,,b b b b a a a a ...，，...1231,2,5b b b ==={}n b n b 3log (21)n n c b =-12233445212221+n n n n n T c c c c c c c c c c c c -+=-+-+- (131)
2
n n b -+=22n -22
215(1)1(14)a a a d d =⋅⇒+=⨯+2121420d d d d d ++=+⇒==或（舍去）111b a a ==23b a =3q =1
1(1)22113
n n b n n a b b -=+-⨯=-=⨯131
2
n n b -+=3log (21)1n n c b n =-=-
．
19．在三棱柱中，侧面为矩形，，，是的中点，与
交于点，且．
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
． 【解析】（1）由题意，， 又，，∴， ∴， ∴，∴，又，∴， 21213435657221()()()()n n n n T c c c c c c c c c c c c +-=-+-+-++-…22422()=2[135(21)]2n c c c n n =-+++-++++-=-……111ABC A B C -11ABB A 2AB =122AA =D 1AA BD 1AB O 11CO ABB A ⊥平面1BC AB ⊥OC OA =CD
ABC 15
5
2tan 2AD ABD AB ∠=
=112
tan 2
AB AB B BB ∠==0ABD <∠12
AB B π
∠<
1ABD AB B ∠=∠1112
AB B BAB ABD BAB π∠+∠=∠+∠=
2
AOB π
∠=
1AB BD ⊥11CO ABB A ⊥平面1AB CO ⊥
∵与交于点，∴，又， ∴．
（2）如图，分别以，，所在直线为，，轴，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，所以． 设直线与平面所成角为，则：
． 20．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于点，，当直线的倾斜
角是时，的中垂线交轴于点． （1）求的值；
BD CO O 1AB CBD ⊥平面BC CBD ⊂平面1AB BC ⊥OD 1OB OC x y z O ,,O x y z -3(0,3A -
6(,0,0)3B -3(0,0,3
C 3
D 3(33AB =-
33(0,33AC =62
3(,0,33
CD =-ABC (,,)x y z =n 00
AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 2623
02323033x y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1y =1z =-22x =21)2=-n CD ABC α6232
(,0,)(,1,1)332
15sin |cos ,|10
22
CD CD CD α-⋅-⋅=<>=
=
=
⋅
n n n
()2
:20C x py p =>F F C A B 45︒AB y ()0,5Q p
（2）以为直径的圆交轴于点，，记劣弧的长度为，当直线绕旋转时，求的
最大值．
【答案】（1）；（2）
． 【解析】（1），当直线的倾斜角为时，直线的方程为，
设，，得， ，，得中点为， 中垂线为，代入得，． （2）设的方程为，代入得，
，中点为， 令，，， AB x M N MN S F S AB
2p =3
π
0,2p F ⎛⎫
⎪⎝⎭45︒2p y x =+()11,A x y ()22,B x y 222p y x x py ⎧
=+⎪
⎨
⎪=⎩
2220x px p --=122x x p +=12123y y x x p p +=++=AB 3
,
2
D p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
AB ()32y p x p -
=--0x =5
52
y p ==2p ∴=1y kx =+24x y =2440x kx --=()212122444AB y y k x x k =++=++=+AB ()22,21D k k +2MDN α∠=1
22
S AB AB αα=⋅
=⋅S AB α∴=
到轴的距离，，
当时，取最小值，的最大值为，故的最大值为．
21．已知函数，，，三个函数的定义域均为集合． （1）若恒成立，满足条件的实数组成的集合为，试判断集合与的关系，并说明理由；
（2）记，是否存在，使得对任意的实数，函
数有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数；若不存在，说明理由．（以下数据供参考：，）
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1），，． 易知在上递减，． 存在，使得，函数在递增，在递减，．
由得，，，．
（2）令，，． D x 2
21DE k =+222211
cos 1122222
DE k k k AB α+===-++2
0k =cos α12α3πS AB 3
π()ln ln u x x x x =-()v x x a =-()a
w x x
=
{}1A x x =>()()u x v x ≥B A B ()()()()()2w x G x u x w x v x ⎡
⎤=--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦*m ∈N (),a m ∈+∞()G x m e 2.7183=(
)
ln
210.8814≈1a >B A ⊆2m =()()()ln ln u x v x a x x x x m x ⇒-+=≥≥()1
ln m x x x
'=
-()1,x ∈+∞()1
ln m x x x
'=
-()1,+∞()()11m x m ''∴<=()01,x ∈+∞()00m x '=()m x ()01,x x ∈()0,x x ∈+∞()0a m x ≥()00m x '=00
1ln x x =
()0000000111
11m x x x x x x x =-⋅+=+->1a ∴>B A ⊆()()()ln ln a f x u x w x x x x x
=-=--()()()22w x a
g x v x x a x =-=--()1,x ∈+∞
，，由于，，，
，由零点存在性定理可知：，函数在定义域内有且仅有一个零点．
，，，，，同理可知，函数在定义域内有且仅有一个零点．
假设存在使得，， 消得， 令，， 递增，，， ，
此时，所以满足条件的最小整数 ()21ln 10a
f x x x x
'=+-+>()1,x ∈+∞(),1a m a ∈+∞⇒>()10f a =-<x →+∞()f x →+∞()1,a ∀∈+∞()f x ()2
102a g x x '=+
>()1,x ∈+∞()31102
a
g =-<x →+∞()g x →+∞()1,a ∀∈+∞()g x 0x ()()000f x g x ==20000
00ln ln 2a x x x x a
x a x
⎧=-⎪
⎨-=⎪⎩
02
002ln 021
x x x x -
=--()22ln 21
x h x x x x =---()()222142
021x h x x x x +'=+
>--()h x ∴()44132
2ln 2ln 055e
h =-
=<)
2
210.88140h =
>()
01x ∴∈2
00001181,21125422x a x x x ⎛⎫=
=++-∈ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝
⎭2m =。