激光物理5-6

a
2
Ca0 t
(5.5.2）
Cb0 t
iE0 D 2
Ca0
t
ei0 t
b
2
Cb0
t
(5.5.3）
令γa=γb=γ
Ca
0
t
Ca
0
t
e
2
t
(5.5.4）
Cb0
t
Cb
0
t
e
2
t
• 将（5.5.3）两端微分，有
(5.5.5）
Cb0 t
iE0 D 2
C a 0
t
ei0 t
i0
iE0 D 2
i
(6.1.3)
展开系数Ci(t)，相当于态矢在|ui>上的投影,
Ci t ui t
(6.1.4)
• 力学量A的平均值为
A t* Aˆ tdV Ci*ui* Aˆ C ju jdV
i
j
Ci* AijC j
ij
Aij ui* Aˆ u jdt
(6.1.7)
• 称Aij为算符A在表象中的矩阵元素。
2
0
1
• 其解为
(5.5.7）
1,2
1 2
0
0
2
DE0
2
(5.5.8）
可将C’a0(t)与C’bo(t)的通解表示为：
Ca0 t
2 ei0 t E0 D
A1ei1t B2ei2t
Cbo t Aei1t Bei2t
Ca0 t
2 ei0 t E0 D
2
E0 D
e t sin2
t
2
这就是拉比强信号解的结果
(5.5.13）
Pa t
E0 D
2
e
t
sin
2
t
2
0
2
E0 D
2
0
2
E0 D
2
(5.5.13）
• 跃迁几率的变化将包括在exp(-t)指数衰减曲
线包络内。如图（5-4）
无阻尼的情况
Pa t
E0 D
2
sin 2 (
第5章 半经典理论
• 将激光场视为满足麦克斯韦方程组的经典电 磁波场，而将介质原子看做用薛定谔方程描 述的量子力学体系．
• 半经典理论比较好地解释激光器中的一系列 现象，如振荡的阈值条件、增益饱和、烧孔 效应、频率牵引和推斥效应、多模耦合与竟 争效应、锁模现象、瞬态相干效应等。
• 不能描述与激光场量子特性有关的一些现象， 如自发辐射的产生、光子统计、激光的线宽 极限等间题。
A un an un
(5.1.3) (5.1.5)
• 本征波矢 un 满足完备正交归一化条件;当使用该组 本征波矢 作为基矢时，波函数按基矢展开
t Cn un
n
Cn un t
归一化条件 本征值an的 几率为
t t Cn 2 1
n
Pan un t 2 Cn 2
(5.1.8) (5.1.9)
ii ui pkk k ui pk ui k k ui
k
k
pk Cik 2 0
k
6.1.30
率，Cik ii2表表示示系第综k个的子粒状子态处的在粒|u子i>态处的于总|ui几>态率的.若几
单位体积内粒子数为N,那么Nii代表了处在|ui>
• 推导激光的电磁场方程，又称兰姆自洽场方程
• 求解兰姆方程，必须知道介质的宏观极化强度。
• 由于工作物质是由大量的、处于不同运动状态 前粒子所组成．所以在求宏观极化强度时，要 采用量子统计中的密度矩阵方法。
• 5、6章给出密度矩阵的定义、性质及运动方程， 并给出二能级系统的密度矩阵及其同介质宏观 极化强度之间的关系。
t
2
)
在强信号作用下，初始时刻处于b态的原子， 跃迁到b能态的几率是等幅周期性变化的。 如图（5-3）
0
2
E0 D
2
• 强信号下的线性函数
拉比频率 (5.5.13）
g
0
2
DE0
2 2
(5.5.15）
线宽
2 2 E0D 2
(5.5.16）
功率加宽
第6章 密度矩阵与自洽场理论
5.4.20
• 将 t 及哈密顿算符H的表达式代入到薛定
谔方程中，得到二能级原子系统的薛定谔方 程
iCa0 t
i
a
2
Ca0 t
Habei0tCb0 t
(5.4.21）
iCb0 t
i
b
2
Cb0 t
Hbaei0tCa0 t
5.5 拉比强信号解
Ca0 t
iE0 D 2
Cb0 t ei0 t
t
C e
iEat
a0
ua
Cb0
e
iEbt
ub
(5.2.4)
• 若考虑z方向的线偏振光与物质相互作用时
Pz eZ
• 电偶极矩的期待值为
Pz eZ Ca0 t 2 ua eZ ua Cb0 t 2 ub eZ ub
Ca*0 t Cb0 t
ua
eZ
ub
e
i
Eb
Ea
t
A1ei1t B2ei2t
Cbo t Aei1t Bei2t
• 假定初始时刻原子处于b态
得到
Ca00 0 Cb00 1
A B 1 A1 B2 0
A与B的 解为：A 2
B 1
(5.5.9） (5.5.10）
其中： 1 2
0
2
DE0
2
(5.5.11）
Ca0 t
（4）、一个观察量的系综平均值<P>为矩阵(P)
或(P)的迹,即
P trP trP
P
jiPij jiPij ρP jj trρP
ij
ji
j
6.1.20
(5) 在表象间是么正变换的条件下,密 度矩阵的迹和观察量的系综平均值并 不改变
• 设S为从“L”表象到“M”表象的变换矩阵， 则
m
A
pk
* k
t
Aˆ k
t
dt
pk tr ρk
A
k 1
k 1
tr pk ρk A trρA
k
(6.1.28)
• 统计混合状态下的密度矩阵与纯态下的密度 矩阵的区别在于,密度矩阵是不等幂的,而且 满足:
tr tr 2 tr 3
6.1.29
6.1.4 密度矩阵元的意义
• （1）密度矩阵的对角元素具有几率的意义
iEb Ea t
Ca0 t Cb*0 ub eZ ua e
(5.2.5)
• 注意能级波函数具有奇偶性,注意固有偶 极矩的矩阵元为零及
得到
Daa,bb ua eZ ua ua eZ ua 0 Pz Ca*0Cb0Dabei0t Ca0Cb*0Dbaei0t
(5.2.6) (5.2.7)
i
i 1
6.1.15
（3）纯态的情况下,密度矩阵是等幂的
ρ2 ij il lj CiCl*ClC*j CiC*j Cl*Cl
l
l
CiC*j ij ρ ij
l
2
• 同时也有 tr ρ2 trρ 1
纯态的情况下该结论可推广到任意次幂
n
tr ρn trρ 1
6.1.16 6.1.17
• 6.1.1 算符的矩阵表达式
t • 量子力学中,系统的状态是用态矢 描述的;
• 进行某一物理量的测量,就是用相应的算符作用在态
矢上。
• 在量子力学中可以选取不同的表象。
• 选择一种表象,意味着在矢量空间中选取一组满足正
交归一化条件以及完备性的基矢 是分立的,也可以是连续的。
,u该i 组基矢可以
量子统计系综和力学量的平均值
• 每一个原子可看做一个系统，大量全同系统组成 一个系综。
• 纯粹系综：系综内的系统处于用波函数所描述 的相同的微观态。
• 混合系综：系综内的系统不是处于相同的微观态。 • 对于纯粹系综，力学量A的平均值为：
A A t* Aˆ tdV t At (5.1.5)
6.1. 密度算符与密度矩阵
（5.5.3），有 i
eit
2
t
1
it t
e 2
2
2
iE0 D 2
Cao
t
e e t 2
i0 t
•
其解为： Ca0 t
2 ei0 t
E0 D
• （5.5.4）~（5.5.6）以及上式代入（5.5.2），
得到
2 i
E0 D
0
ei0 t
iDE0 2
ei0 t
DE0
A11 A1n
A
An1 Ann
(6.1.6)
• 对于共轭算符A+,其矩阵元Aij+为
Aij ui* Aˆ u jdV u*j Aˆ uidt * A*ji
(6.1.8)
• 当一个算符是厄米算符(其本征值是实数)时, 其对应的矩阵为厄米矩阵,即有:
Aij A*ji
Aii Ai*i
Ca0 t
b
2
Cb0 t
• 将（5.5.2）（5.5.4）、（5.5.5）代入，有
Cb0
t
i0
Cb0 t
E0 D 2
2
Cb0
t
0
• 一个二阶常数系数齐次微分方程，它有eiμt
这种形式的 解。令
Cb0 t eit
(5.5.6）
• 将 （ 5.5.4 ） （ 5.5.5 ） 、 （ 5.5.6 ） 代 入
率。
k k 1
6.1.23
k Cik ui
6.1.24
i
对与任意的子状态 k ,令其密度矩阵ρk为
k k t k t
6.1.25
其归一化条件为 trρk 1
6.1.26
•定义统计混合状态的密度算符ρ为：
pk k
(6.1.27)
k
ij
pk
Cik
C
k* j
k
•力学量A的平均值为：
m
存在的跃迁，杂散辐射等。使原子的能量衰减。波函
数
Ca t ua Cb t ub
5.2.4
其中：Ca t
C e e i
Ea
t
a t
2
a0
衰减算符 满足
Cb t
C e e i
Eb
t
b t
2
b0
6.2.14
ua aua
ub bub
5.4.19
原子的哈密顿算符
Hˆ
Hˆ 0
H
i 2
tr() tr S 1S tr SS 1 tr
P trP tr S 1SS 1PS tr SS 1P trρP P
6.1.3 统计混合状态下密度矩阵 算符的推广
• 设系综由N个相同的量子力学系统所组成，其
中有N1 1 ，N2 2 ，Nm个系统处在态m，
且N1+N2+……+Nm=N, pk=Nk/N为 出现k的几
5.2.2 电偶极矩近似
(5.2.10)
当外场与原子相互作用时，原子系统的哈密顿算 符将发生改变。为
其中：
H H0 H
H0
1 2m
P2
V
（5.6.5） （5.2.19）
Hˆ P E eR Et
5.2.27
5.4、单色场对有衰减的 二能 级原子系统的作用
•原子总存在自发辐射，其它能级对两能级之间可能
(5.1.13) (5.1.12)
则测量平 均值<A>)
A Pan an t A t
n
(5.1.15)
5.2 电偶极矩近似
5.2.1 量子电偶极矩
• 量子力学中的电偶极矩算符为
P eR
（5.2.2）
• 若外界的扰动使电子处在两个能量本征态 ua 与 ub 的叠加态，那么原子的波矢可以表示为
5.1 量子力学的基本概念
• 若矢量波函数 t是二维的,则右矢表示为
t Ca ua Cb ub
(5.1.1)
• ua 、ub 是矢量空间的一组基矢,左矢表示为
t Ca* ua Cb* ub t (5.1.2)
定义: t t V * t tdV
算符A作用于波矢 un 的结果为
i,j
i,j
j
ρ称为密度矩阵,有上式可得到 A trρA trAρ
密度矩阵的矩阵元
ij Ci C*j
(6.1.11)
密度矩阵的性质
（1）密度矩阵是厄米的
* ij
ji
6.1.14
（2）纯态的情况下,密度矩阵的对角元之和=1
N
trρ ii Ci 2 1
式中0
Ea
Eb
原子在a、b能级间的跃迁频率；而
Dab z ua eZ ub Db*a
(5.2.8)
若适当选取ua和ub的相位，使Dab为实数，这样
就有Dab=D*ba=D。将此结果代入式（5.2.7)，
得到
Pz D Cb0 t Ca*0 t ei0t c.c
D Cb tCa* t c.c
(6.1.9)
• 厄米算符的矩阵表达式中，对角元为实数， 而以对角线为对称的两个元素互为共轭复数。
6.1.2 密度矩阵
• 纯态，定义密度算符ρ为 t t
t t t t t t t
算符A的期待值可表示为：
A t A t Ci* ui A C j u j
i
j
(6.1.12)
Ci*C j ui t A u j t ji Aij ρA trρA
• 在该组基矢下,表示系统量子状态的态矢以及作用在 态矢上的算符,都可以用一组数量表示,即用矩阵表
示。
• 假设所选择的基矢用| ui〉(i,j=1,2,...)表示, 它是分立的,其所满足的正交性及完备性为
ui u j ij
ui ui 1 (6.1.2)
i
将 (t)向基矢ui展开，则
t Ci t ui
2 ei0 t 1 2
E0 D
ei1t ei2t
2 ei0 t E0 D
1
4
DE0
2
e
i 2
0
t
eit / 2 eit / 2
iDE 0
ei 2
0
t
sin
t
2
(5.5.12）
初始时刻原子处于下能态b态，在辐射场的作用下，
t时刻已跃迁到上能态a能态的几率为：
Pa t
Ca0 t 2