精品解析：北京市第四中学2020-2021学年高三上学期期中考试数学试题(原卷版)
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2023届高三上学期期中考试化学试题解析(原卷版)
．下列叙述正确地是．酸性氧化物不一定都是非金属氧化物FeB r3．化学与生产、生活、环境等社会实际密切相关。
下列叙述正确地是所涉及地物质均为电解质B．实验②、③均为放热反应均未发生氧化还原反应D．实验①、③反应制得地物质均为纯净物B C D碱性氧化物D．CaO2和CO2反应地化学方程式为:2CaO2＋2CO2===2CaCO3＋O29．下列叙述正确地是①硫酸钡难溶于水和酸,可做X光透视肠胃地药剂②神舟10号飞船所用太阳能电池板地材料是单晶硅③医用酒精是利用了乙醇地氧化性来杀菌消毒地④玛瑙饰品地主要成分与建筑材料砂子不相同⑤碳酸钠、氢氧化钠、碳酸钙、碳酸氢钠等都可以中和酸,故都可以作为治疗胃酸过多地药物⑥明矾净水利用了胶体地性质⑦根据酸分子中含有地氢原子个数,将酸分为一元酸、二元酸和多元酸⑧金属钠具有强地还原性,可利用钠和熔融TiCl4反应制取金属TiA．①②③⑦B．①②⑥⑧C．①③④⑧D．①③⑥⑦10．某硫酸厂废气中SO2地回收利用方案如下图所示,下列说法错误地是A．X可能含有2种盐B．a是SO3C．Y可能含有(NH4)2SO4D．(NH4)2S2O8中S地化合价不可能为+7二、选择题（每小题有1个选项符合题意。
20×2=40分）11．某溶液中只可能含有下列离子中地某几种:K+、NH4+、Ba2+、SO42-、I-、AlO2-。
分别取样:①用pH计测试,溶液显弱酸性②加氯水和CCl4振荡后静置,下层呈无色,为确定该溶液地组成,还需检验地离子是A．K+B．SO42-C．Ba2+D．NH4+12．甲乙丙丁戊是中学常见地无机物,他们地转化关系如下图所示（某些条件和部分产物已略去）。
下列说法错误地是A．若戊为一种强碱且焰色反应为黄色,则反应①②可能都属于氧化还原反应B．常温下,若丙为无色气体,戊为红棕色气体,则甲、乙可能是铜和稀硝酸C．若甲为硫磺燃烧产物,丁为水,则戊不可用于干燥甲NaC l则下列说法正确地是．图中甲池为原电池装置,Cu甲池左侧烧杯中C lO氯。
北京市第四十三中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 含答案
.。。。。。。。15 分
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到直线与圆相切，圆的弦 长公式，以及三角形的面积公式和二次函数的性质等知识点的综合考查，其中熟记直线 与圆的位置关系的应用，合理准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题 的能力，属于中档试题.
22. 解：（Ⅰ）在三棱柱 ABC A1B1C1 中，
15. 已知直线 x ay 6 0 与圆 x2 y2 8交于 A, B 两点，若 AB 2 2 ，则 a ____.
16. 已知点 P 是直线 l : x 3y 12 0 上的一点，过 P 作圆 (x 2)2 y2 1 的切线，
切点为 A，则切线长 | PA |的最小值为__
uuuv
AE (0,1,1)
z
uuur
uur
向量 BD (2, 2, 0) , PB (2, 0, 2) .
P
r
E
设 n (x, y, z) 为平面 PBD 的法向量，则
n BD 0 即 2x 2 y 0．
y
n
PB
0
2x 2z
0
D
A
不妨令 y = 1 ，可得 n （1,1,1）为平面 PBD 的
因为侧棱垂直于底面，
所以 CC1 平面 ABC ． 所以 CC1 AC ．
13
因为 AC BC ， CC1 I BC C ，
所以 AC 平面 BCC1B1 ．
因为 C1F 平面 BCC1B1 ，
所以 AC C1F ．
………5 分
（Ⅱ）取 A1C1 中点 H ，连结 EH ， FH ．
1 2
ac
sin
B
1 2
3
2 2
2 3 2 ………12 分
精品解析：北京市北京101中学2019-2020学年高一上学期期中考试化学试题(解析版)
D. 将10 mL 10 mol/L的盐酸加水稀释成100 mL,所得盐酸的物质的量浓度为1 mol/L
[答案]D
[解析]
[详解]A.摩尔质量的单位是g/mol,O2的摩尔质量是32g/mol,故A错误;
故选D。
5.下列关于物质用途的说法中,不正确的是
A. 钠可用于制造高压钠灯B. 氯气可用于制备漂白粉
C.Na2O2可用于呼吸面具供给氧气D. 碳酸钠可用于治疗胃酸过多
[答案]D
[解析]
[详解]A.高压钠灯射程很远,乳反应生成氯化钙和次氯酸钙,用于制备漂白粉,故B正确;
4.下列化合物中,不能由单质之间直接化合生成的是
A.Fe3O4B.Na2O2C.CuCl2D.FeCl2
[答案]D
[解析]
[详解]A、3Fe + 2O2 Fe3O4,故A错误;
B、2Na+O2 Na2O2故B错误;
C、Cu+ Cl2 CuCl2,故C错误;
D、2Fe + 3Cl2 2FeCl3,不能生成FeCl2,故D正确;
Na2CO3
CaCl2
Na2O
SO3
D
NaHSO4
NH3·H2O
NaCl
Na2O2
CO
A.AB.BC.CD.D
[答案]B
[解析]
[详解]A、CO既不能与酸反应又不能与碱反应,所以CO既不是碱性氧化物又不是酸性氧化物,故A错误;
B、HClO是酸,KOH是碱,NaHCO3是盐,CaO能与酸反应生成盐和水,CaO是碱性氧化物,SO2能与碱反应生成盐和水,SO2是酸性氧化物,故B正确;
【100所名校】2020届北京市第四中学高三第一学期期中考试数学(理科)试题(解析版)
2020届北京市第四中学高三第一学期期中考试数学（理科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．设函数y =√x −2018的定义域为M ，函数y =e x 的值域为P ，则M ∩P = A ．(0,+∞) B ．[2018,+∞) C ．[0,+∞) D ．(2018,+∞) 2．下列函数，其中既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的函数为 A ．y =cosx B ．y =lgx C ．y =1x D ．y =x 2 3．函数y =cosx|tanx|（−π2<x <π2）的大致图象是A ．B ．C ．D ． 4．执行如图所示的程序框图．若输出的结果是16，则判断框内的条件是A ．n >6?B ．n ≥7?C ．n >8?D ．n >9?5．函数y =A sin (ωx +φ)（ω>0,|φ|<π2,x ∈R ）的部分图像如图所示，则函数表达式为A ．y =−4sin(π8x −π4) B ．y =−4sin(π8x +π4)C ．y =4sin(π8x −π4)D ．y =4sin(π8x +π4)6．原命题：“a ，b 为两个实数，若a +b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是A ．逆命题为：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a +b ≥2，为假命题B ．否命题为：若a +b <2，则a ，b 都小于1，为假命题C ．逆否命题为：若a ，b 都小于1，则a +b <2，为真命题D ．“a +b ≥2”是“a ，b 中至少有一个不小于1”的必要不充分条件 7．设x ∈R ，定义符合函数sgn(x)={1,x >00,x =0−1,x <0 ，则下列等式正确的是A ．sinx ⋅sgn(x)=sin|x|B ．sinx ⋅sgn(x)=|sinx|C ．|sinx |⋅sgn(x)=sin |x |D ．sin |x |⋅sgn(x)=|sinx |8．已知函数f (x )=(x 2−3)e x ，设关于x 的方程f 2(x )−mf (x )−12e 2=0(m ∈R )有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为A ．3B ．1或3C ．4或6D ．3或4或6此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号二、填空题9．i为虚数单位，计算(−3−i)i=_______________。
精品解析：2020届北京市西城区第四中学高三上学期期中数学试题(解析版)
高三数学期中测试卷一、选择题1.已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=（）A.{}1,0,1,2- B.{}2,1,0,1-- C.{}0,1 D.{}1,0-【答案】A 【解析】试题分析：{}{|12},1,0,1,2A x x A B =-≤≤∴⋂=-，选A.【考点定位】集合的基本运算.【此处有视频，请去附件查看】2.设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（）A.2,2nn N n ∀∈> B.2,2nn N n ∃∈≤C.2,2n n N n ∀∈≤ D.2,2nn N n ∃∈=【答案】C 【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2n n N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.【此处有视频，请去附件查看】3.若复数（1+bi ）(2+i)是纯虚数（i 是虚数单位，b 为实数），则b=A.2 B.12C.-12D.-2【答案】A 【解析】考查复数的运算和相关基本概念的理解．(1+bi)(2+i)=2-b+(1+2b)i ，而复数(1+bi)(2+i)是纯虚数，那么由2-b=0且1+2b≠0得b=2，故选A ．4.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos 2=α（）A.3B.13C.13-D.3-【答案】B 【解析】【分析】先由角α的终边过点(1)P ，求出cos α，再由二倍角公式，即可得出结果.【详解】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，所以6cos3α==-，因此21cos 22cos 13=-=αα.故选B【点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.5.设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】只需举出反例说明不充分即可，利用等比数列的性质论证必要性【详解】当14,1,1,4a b c d ====时，a b c d ,,,不成等比数列，所以不是充分条件；当a b c d ,,,成等比数列时，则ad bc =，所以是必要条件.综上所述，“ad bc =”是“a b c d ,,,成等比数列”的必要不充分条件故选B.【点睛】此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“p q ⇒”以及“q p ⇒”的真假.判断一个命题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题.6.已知曲线e ln xy a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（）A.,1a e b ==-B.,1a eb == C.1,1a eb -== D.1,1a eb -==-【答案】D 【解析】【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ．【详解】详解：ln 1,x y ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y xb =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．7.已知,a b 为不相等的两个正数，且lg 0ab =，则函数x y a =和xy b =的图象（）A.关于原点对称B.关于y 轴对称C.关于x 轴对称D.关于直线y x =对称【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件得到1ab =，则a 、b 互为倒数，则函数x y a =和x y a -=的图象关于y 轴对称．【详解】解：0lgab = ，1ab ∴=，又a ，b 为不相等的两个正数，1b a∴=，则x x y b a -==，函数x y a =和x y a -=的图象关于y 轴对称，∴函数x y a =和x y b =的图象关于y 轴对称．故选：B ．【点睛】本题考查了对数函数的图象与性质．解题时还需要掌握指数函数的图象与性质，属于基础题．8.已知函数()sin cos f x a x b x =-（a ，b 为常数，0a ≠，x ∈R ）的图象关于4x π=对称，则函数34y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（）A.偶函数且它的图象关于点(),0π对称B.偶函数且它的图象关于点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称C.奇函数且它的图象关于点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称D.奇函数且它的图象关于点(),0π对称【答案】D 【解析】【分析】根据函数()f x 的对称性求出=-b a ，然后求出函数34y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的解析式，根据三角函数的性质进行判断即可．【详解】解：∵函数()f x 的图象关于直线4x π=对称，∴()242f a b π⎛⎫=-=⎪⎝⎭，平方得2220a ab b ++=，即()20a b +=，则0a b +=，=-b a ，则()sin cos sin 4a x a x x f x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又0a ≠，则33sin 444y f x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()sin sin x x π=-=为奇函数，且图象关于点(),0π对称，故选：D ．【点睛】本题考查了正弦函数的图象与性质以及辅助角公式、诱导公式，需熟记性质和性质，属于基础题．9.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物，（1）如不超过200元，则不予优惠；（2）如超过200元但不超过500元，则全款按9折优惠；（3）如超过500元，其中500元按9折给予优惠，超过500元的部分按8折给予优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元.若他只去一次购买同样价值的商品，则应付款（）A.472.8元B.510.4元C.522.8元D.560.4元【答案】D 【解析】【分析】求出两次购物的原价，根据优惠活动计算应付款．【详解】解：购物500元应付款5000.9450⨯=元，设第二次购物的原价为a ，则200500a <<，故0.9423a =，解得470a =．故两次购物原价为168470638+=元．若一次购物638元，则应付款5000.91380.8560.4⨯+⨯=元．故选：D ．【点睛】本题考查了函数解析式与函数值的计算，属于基础题．10.函数11()1f x x x x=-+-,设1x 、2x 、3x 是曲线()y f x =与直线y a =的三个交点的横坐标,且123x x x <<，则下列命题错误的是（）A.存在实数a ，使得324x x ->B.任给实数a ，都有314x x ->C.存在实数a ，使得211x x ->D.任给实数a ，都有321x x ->【答案】B 【解析】【分析】存在性与任意性命题的判断，任意性命题错误，只需举反例即可．【详解】解：函数11()1f x x x x=-+-的定义域为()()(),00,11,-∞+∞ ，易知()f x 在这三段定义域上分别单调递增，其大致图象如下曲线()y f x =与y a =的三个交点的横坐标1x 、2x 、3x ，且123x x x <<，则12301x x x <<<<，取0.5a =时，即()0.5f x =得(1)(2)(0.5)0x x x +--=，所以11x =-，20.5x =，32x =，21 1.51x x -=>，3134x x -=<，存在0.5a =时，3134x x -=<，所以B 不成立，对于D ：要证321x x ->，即321x x ->①当32x ≥显然成立②当()31,2x ∈时()310,1x -∈，321x x ->又()f x 在()0,1上单调递增()()()3231f x f x f x ->=令()()()1111111112112F x f x f x x x x x x x x x=--=-+--+-=+-----当()1,2x ∈时112x>-()30F x ∴>即()()3310f x f x -->即321x x ->即任给实数a ，都有321x x ->，故D 正确；显然A 、C 也成立；故选：B ．【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题11.若函数2()(2)1f x x a x =--+为偶函数，则127log log 78aa -=_________.【答案】2-【解析】【分析】根据()f x 为偶函数即可求出2a =，从而得出原式2122778log log =-，进行对数的运算即可．【详解】解：()f x 为偶函数，()()f x f x ∴-=，即()()22(2)1(2)1x a x x a x ----+=--+20a ∴-=，2a ∴=，∴121227277878a alog log log log -=-211221778log log log ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭221log 7(log 73)132=---+=-=-故答案为：2-．【点睛】考查偶函数的定义，对数的运算性质，以及对数的换底公式，属于基础题．12.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知123,2,3S S S 成等差数列，则等比数列{}n a 的公比为__________．【答案】13【解析】【详解】2112131,(1),(1),S a S a q S a q q ==+=++由1S ，22S ，33S 成等差数列得21343S S S =+，即21114(1)3(1),a q a a q q +=+++则230,q q -=所以13q =或0q =（舍），故答案为13.13.函数21()ln 2f x x x =-的极大值点为_________.【答案】1【解析】【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点．【详解】解：21()ln 2f x x x =-()f x ∴的定义域是(0,)+∞，211()x f x x x x-∴'=-=，令()0f x '>，解得：01x <<，令()0f x '<，解得：1x >，故()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，故1x =为()f x 的极大值点，故答案为：1．【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，属于基础题．14.在ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____；cos ABD ∠=________.【答案】(1).1225(2).7210【解析】【分析】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在BDC ∆、ABD ∆中应用正弦定理，由cos cos()ABD BDC BAC ∠=∠-∠建立方程，进而得解.【详解】在ABD ∆中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=,225AC =AB +BC =，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以1225BD =.72cos cos()coscos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.15.已知函数f（x）=x 2﹣a x（a＞0且a≠1），当x∈（﹣1，1）时，1()2f x <恒成立，则实数a 的取值范围是__．【答案】1[,1)(1,2]2【解析】“当x∈（﹣1，1）时，()12f x <恒成立”等价于“当x∈（﹣1，1）时，212xx a -<恒成立”．设21()2g x x =-，()x h x a =，则在区间（﹣1，1）上，函数()x h x a =的图象在函数21()2g x x =-图象的上方．在坐标系内画出函数21(),(1,1)2g x x x =-∈-的图象，由图象知，当1a >时，需满足(1)(1)h g -≥-，即112a -≥，解得12a <≤；当01a <<时，需满足(1)(1)h g ≥，即12a ≥，解得112a ≤<．综上可得实数a 的取值范围为(]1,11,22⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭．答案：(]1,11,22⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭．点睛：解决函数的有关问题时要注意函数图象在解题中的应用，借助于函数的图象，可使解题过程变得简单、直观形象．所以在学习中要记住常见函数图象的形状，并能在解题时能准确画出它的图象，同时在解题中要根据函数图象的相对位置关系得到相关的不等式（组）进行求解．16.数列{}n a 满足：12a =，111n n a a -=-，①4a =_________；②若{}n a 有一个形如sin()n a A n B ωϕ=++（0A >，0>ω，||2ϕπ<）的通项公式，则此通项公式可以为n a =_________.（写出一个即可）【答案】(1).2(2).21332n ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭【解析】【分析】首先利用数列的递推关系式求出数列各项，进一步利用数列的周期的应用求出数列的通项公式．【详解】解：数列{}n a 满足：12a =，111n n a a -=-．当1n =时，211112a a =-=．当3n =时32111a a =-=-，当4n =时43112a a =-=．当5n =时541111122a a =-=-=．所以{}n a 是以3为最小正周期的数列sin()n a A n B ωϕ=++ 23T πω== 23πω∴=2sin 3n a A n Bπϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭12sin 23a A B πϕ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ ①，241sin 32a A B πϕ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭②，()3sin 21a A B πϕ=++=-③，①减②，得3cos 2A ϕ=④②减③，得1cos 22A ϕϕ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⑤④除⑤，得tan ϕ=||2πϕ<3ϕπ∴=-代入④得A =12B=21332n a n ππ⎛⎫∴=-+⎪⎝⎭21332n ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭．【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础型．三、解答题17.已知函数2()sin cos cos (0)2f x a x x x a b a =⋅++>（Ⅰ）写出函数的单调递减区间；（Ⅱ）设，()f x 的最小值是2-，最大值是，求实数,a b 的值．【答案】（1）22T ππ==（2）2{2a b ==-【解析】试题分析：1()sin 2(1cos 2)222f x a x x a b =-+++3sin 2cos 2sin(2)223a x xb a x b π=-+=-+（1）3511222,2321212k x k k x k πππππππππ+≤-≤++≤≤+511[,1212k k k Z ππππ∴++∈为所求（2）230,2,sin(2)1233323x x x πππππ≤≤-≤-≤-≤-≤min max 3()2,()2f x a b f x a b =-+=-=+=22{{22a a b b a b =-+=-⇒=-++=考点：三角函数的性质点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题．18.等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S ．【答案】(1)2nn a =.(2)2622n S n n =-.【解析】试题分析：（1）本题考察的是求等比数列的通项公式，由已知所给的条件建立等量关系可以分别求出首项和公比，代入等比数列的通项公式，即可得到所求答案．（2）由（1）可得等差数列{}n b 的第3项和第5项，然后根据等差数列的性质可以求出等差数列{}n b 的通项，然后根据等差数列的求和公式，即可得到其前n 项和．试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q 由已知得3162q =，解得2q =，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）得38a =，532a =，则38b =，532b =设{}n b 的公差为d ，则有1128{432b d b d +=+=解得116{12b d =-=从而1612(1)1228n b n n =-+-=-所以数列{}n b 的前n 项和2(161228)6222n n n S n n-+-==-考点：等差、等比数列的性质【此处有视频，请去附件查看】19.近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C (单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位:平方米)之间的函数关系是()(020100kC x x k x =≥+，为常数).记F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释(0)C 的实际意义，并建立F 关于x 的函数关系式；（2）当x 为多少平方米时，F 取得最小值？最小值是多少万元？【答案】（1）；（2）当x 为55平方米时,F 取得最小值为57.5万元．【解析】试题分析：（1）根据题意知，将其代入()(020100kC x x k x =≥+，为常数）即可求出参数，即可求出F 关于x 的函数关系式；（2）直接对函数进行求导，求出其极值点，然后讨论函数的单调性，进而求出函数的最小值.试题解析：（1）(0)C 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费.由(0)24100kC ==,得2400k =所以24001800150.50.5,0201005F x x x x x =⨯+=+≥++（2）因为18000.5(5)0.250.2559.755F x x =++-≥-=+当且仅当18000.5(5)5x x =++,即55x =时取等号所以当x 为55平方米时,F 取得最小值为57.5万元．（2）导数解法：218000.5(5)F x ++'-=，令0F '=得55x =当55x <时，0F '<，当55x >时，0F '>．所以当x 为55平方米时,F 取得最小值为57.5万元．考点：导数的应用；导数在研究函数的最值和极值中的应用．20.已知：ABC ∆中，满足2cos cos c b Ba A-=.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）3A π∠=；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果．（Ⅱ）利用余弦定理写成关于角A 的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值．【详解】解：（Ⅰ）因为2cos cos c b Ba A-=，所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅，由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅.整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅.所以2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=.在△ABC 中，sin 0C ≠.所以1cos 2A =，3A π∴=；（Ⅱ）由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，a =，所以2220b c bc +-=，222b c bc+≥ 2220220b c bc bc ∴+-=≥-所以20bc ≤，当且仅当b c =时取“=”.所以三角形的面积1sin 2S bc A =≤.所以三角形面积的最大值为.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，本题解题的关键是角和边的灵活互化，两个定理的灵活应用和两角和的公式的正用和逆用，属于中档题．21.已知函数()1n f x x ax =-+11()aa R x--∈.(1)当12a ≤时,讨论()f x 的单调性；(2)设2()24g x x bx =-+，当14a =时,若对任意1(0,2)x ∈,存在2[1,2]x ∈使12()()f x g x ≥,求实数b 取值.【答案】（1）当0a ≤时,函数()f x 在(0,1)上单调递减；函数()f x 在(1,)+∞上单调递增；当12a =时,函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当102a <<时,函数()f x 在(0,1)上单调递减；函数()f x 在1(1,1)a -上单调递增;函数()f x 在1(1,)a-+∞上单调递减；（2）17[,)8+∞．【解析】分析：（1）先求定义域，再对函数求导，()221ax x af x x-+-'=()0,x ∈+∞，令()21h x ax x a=-+-()0,x ∈+∞，分0a =，12a =，102a <<，0a <，四种情况考虑h(x)零点情况及正负情况，得函数f(x)的单调区间．（2）因为110,42a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,由于(I)知,()f x 在()0,2上的最小值为()112f =-，由题意可知“对任意()10,2x ∈,存在[]21,2x ∈,使()()12f xg x ≥”等价于“()g x 在[]1,2上的最小值不大于()f x 在()0,2上的最小值12-”，由一元二次函数的“三点一轴”分类讨论求得g(x)的最小值，再求得b 范围．详解：(1)定义域()0,x ∈+∞因为()11n 1af x x ax x-=-+-所以()211a f x a x x '-=-+=221ax x ax-+--()0,x ∈+∞令()21h x ax x a=-+-()0,x ∈+∞(i)当0a =时,()1h x x =-+()0,x ∈+∞所以当()0,1x ∈时,()0h x >,此时()0f x '<,函数()f x 单调递增;当()1,x ∈+∞时,()0h x <,此时()0f x '>,函数()f x 单调递增(ii)当0a ≠时,由()0f x '=,即210ax x a -+-=,解得1211,1x x a==-①当12a =时,12x x =，()0h x ≥恒成立,此时()0f x '≤,函数()f x 在()0,+∞上单调递减;②当102a <<时,1110a->>()0,1x ∈时,()0h x >,此时()0f x '<,函数()f x 单调递减；11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()0h x <,此时()0f x '>,函数()f x 单调递增；11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时,()0h x >,此时()0f x '<,函数()f x 单调递减；③当0a <时,由于110a-<()0,1x ∈时,()0h x >,此时()0f x '<,函数()f x 单调递减；()0,x ∈+∞时,()0h x <,此时()0f x '>,函数()f x 单调递增；综上所述:当0a ≤时,函数()f x 在()0,1上单调递减；函数()f x 在()1,+∞上单调递增；当12a =时,函数()f x 在()0,+∞上单调递减；当102a <<时,函数()f x 在()0,1上单调递减；函数()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增;函数()f x 在11,a ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭上单调递减(2)因为110,42a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,由于(I)知,()121,30,2x x ==∉,当()0,1x ∈时,()0f x '<,函数()f x 单调递减:当()1,2x ∈时,()0f x '>,函数()f x 单调递增,所以()f x 在()0,2上的最小值为()112f =-由于“对任意()10,2x ∈,存在[]21,2x ∈,使()()12f x g x ≥”等价于“()g x 在[]1,2上的最小值不大于()f x 在()0,2上的最小值12-”又()()224g x x b b =-+-,[]1,2x ∈,所以①当1b <时,因为()()min 1g x g ⎡⎤==⎣⎦520b ->,此时与()*矛盾②当[]1,2b ∈时,因为()2min 40g x b ⎡⎤=-≥⎣⎦,同样与()*矛盾③当()2b ∈+∞时,因为()()min 284g x g b ⎡⎤==-⎣⎦，解不等式1842b -≤-可得178b ≥综上,b 的取值范围是17,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．点睛：本题综合考查用导数结合分类讨论思想求含参函数的单调区间，及恒成立问题与存在性问题的理解，即转化为最值问题，同时也考查了一元二次函数“三点一轴”求最值问题，题目综合性较强，分类较多，对学生的能力要求较高．22.将全体自然数填入如图所示的3行无穷列的表格，每格只填一个数字，不同格内的数字不同.对于正整数a 、b ，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对于任意n ∈ ，都有n ，n a +，n b +分别在表格的不同行，则称数对(,)a b 为自然数集 的“友好数对”.第1行…第2行 (3)…（Ⅰ）试判断数对(1,2)与(1,3)是否是 的“友好数对”，并说明理由；（Ⅱ）若3a =，问：是否存在b ，使得数对(,)a b 是 的“友好数对”？若存在，给出满足条件的一个b 的取值，并写出相应的表格填法，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）试给出使得数对(,)a b 是 的“友好数对”的一个充分条件.（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）数对(1,2)是，理由见解析；数对(1,3)不是，理由见解析；（Ⅱ）存在， =6，表格见解析；（Ⅲ） =2【解析】【分析】（Ⅰ）对于数对()1,2，可知对于任意n N ∈，n ，1n +，2n +必在不同行，代数检验即可判断(1,3)；（Ⅱ）取 =6，第1行填写被9除余0，1，2的数，第2行填写被9除3，4，5的数，第3行填写被9除6，7，8的数，满足条件；（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可归纳猜想可得.【详解】解：（Ⅰ）数对(1,2)是N 的“友好数对”，对于任意n N ∈，n ，1n +，2n +必在不同行，按如下方式填表：第1行0369...第2行14710 (3)25811…数对(1,3)不是N 的“友好数对”，理由如下：取n =0，则0，0+1=1，0+3=3不同行，不妨0在第一行，1在第二行，3在第三行.取n=1，则1，1+1=2，1+3=4不同行，所以2，4均不在第二行，且在不同行；取n=3，则3，3+1=4，3+3=4不同行，即4不在第三行，所以4在第一行，因为1,2,4不同行，所以2在第三行，即2与3同行.又取n=2，则2，2+1=3，2+3=5不同行，矛盾；（Ⅱ）存在满足条件的正整数 ，使得数对( , )是N的“友好数对”.取 =6，按如下方式填表：第1行01291011…第2行345121314…第3行678151617…（第1行填写被9除余0，1，2的数，第2行填写被9除3，4，5的数，第3行填写被9除6，7，8的数.）（Ⅲ） =2 .【点睛】本题考查合情推理，定义新运算，比较新颖，考查学生分析问题解决问题的能力，属于难题.。
精品解析：山西大学附属中学2020-2021学年高一上学期期中考试化学试题(解析版).docx
山西大学附中2020〜2021学年高一第一学期期中考试化学试题考试时间：90分钟考查范围：第一章和第二章可能用到的相对原子质量：H-l C-12 N-14 0-16 Na-23 K-39 Cl-35.5 Fe-56一、选择题（包括19小题，每小题3分，共计57分。
每小题只有一个选项符合题意）1.已知金属钠投入水中会发生剧烈反应，并有氢气生成。
运输金属钠的包装箱应贴有的图标是（）A.易燃液体C.氧化剂‘【答案】B 【解析】【分析】【详解】钠和水反应生成氢氧化钠和氢气，氢气易燃烧，属于遇湿易燃物品，应贴遇湿易燃物品危险标志;A.图示为易燃液体标志，故A错误;B.图不为遇湿易燃物品标志，故B正确;C.图示为氧化剂标志，故C错误;D.图示为腐蚀品标志，故D错误;故答案为B。
2,下列说法正确的有（）①分散质直径介于1〜100nm之间的分散系称为胶体②盐的组成中不可能只含非金属元素③只由一种分子组成的物质一定为纯净物，组成混合物的元素可能只一种®Na2O2固体中阳离子和阴离子个数比为1:1⑤化学变化能实现一种原子变成另一种原子⑥将氯气通入热的稀氢氧化钙溶液中可以制得以次氯酸钙为有效成分的漂白粉⑦KNO3溶液、Cu、熔融的NaCl均能导电，所以它们都属于电解质A.①③⑥B.①②⑥⑦C.④⑤⑥D.①③【答案】D【解析】【分析】【详解】①分散质直径介于1〜lOOnm之间的分散系称为胶体，大于lOOnm的分散系为悬浊液，小于Inm 的分散系为溶液，故①正确；②盐的组成中可能只含非金属元素，比如氯化铉，故②错误；③同种物质组成的物质为纯净物，因此由一种分子组成的物质一定为纯净物，组成混合物的元素可能只一种，比如氧元素组成的氧气和臭氧，故③正确；④Na2O2固体中阳离子和阴离子个数比为2:1,故④错误；⑤化学反应的最小微粒是原子，不可能生成新的原子，故⑤错误；⑥将氯气通入石灰乳中可以制得以次氯酸钙为有效成分的漂白粉，故⑥错误；⑦KNCh溶液、Cu、熔融的NaCl均能导电，Cu是单质，既不是电解质也不是非电解质，KNCh溶液是电解质溶液，故⑦错误；因此①③正确；故D正确。
2020届北京市西城区第八中学高三上学期期中数学试题(解析版)
2020届北京市西城区第八中学高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )． A ．A ∩B ＝B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B【答案】B【解析】依题意{}|02A x x x =或，由数轴可知，选B.【考点定位】本题考查集合的基本运算，考查学生数形结合的能力.2．化简AB BC AD +-等于（ ） A ．CD B ．DCC ．ADD ．CB【答案】B【解析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】AC AB B A A C C D D D =-+-=故选：B 【点睛】本题主要考查首尾相加的向量运算与共起点的向量减法运算,属于基础题型.3．函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=e x 关于y 轴对称，则f(x)=（ ） A ．1e x + B ．1x e - C ．1x e -+ D ．1x e --【答案】D【解析】试题分析：与曲线y=e x 关于y 轴对称的曲线为x y e -=，向左平移1个单位得(1)1x x y e e -+--==，即1()x f x e--=．故选C ．【考点】函数图象的变换．4．“向量a 与向量b 共线”是“存在R λ∈,使得λa b =”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】与共线向量有关的问题,重点考虑零向量的特殊性即可判断. 【详解】由平行向量的定义, 若存在λ∈R ,使得λa b =,则向量a 与向量b 共线.但当向量a 与向量b 共线时,若b 为零向量, a 不为零向量,则不存在λ∈R ,使得λa b =. 故选：B 【点睛】本题主要考查向量共线的定义与判定,属于基础题型. 5．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.【考点】1.函数的基本性质；2.函数的图象.6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由0m S =()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=，可得公差11m m d a a +=-=，从而可得结果.【详解】{}n a 是等差数列()102ms m m a a S +∴==()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=， ∴公差11m m d a a +=-=，11325m a a m m m +==+=-+⇒=，故选C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.7．函数()y f x =的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,,,n x x x ，使得1212()()()n nf x fx f x x x x ===，则n 的取值范围为（ ）(A) {}2,3 (B) {}2,3,4(C) {}3,4 (D) {}3,4,5 【答案】B 【解析】1111()()0f x f x x x -=-表示11(,())x f x 到原点的斜率； 1212()()()n nf x f x f x x x x ===表示1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x ，，，与原点连线的斜率，而1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x ，，，在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B.【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.8．已知函数sin ()xf x x=,下列四个命题正确的序号是（ ） ①()y f x =是偶函数 ②()1f x <③当32x π=时,()y f x =取得极小值④满足1()()66n n f f ππ+<的正整数n 的最小值为9 A ．①②③ B ．①③④C ．①②D ．①②④【答案】D【解析】对①,直接根据偶函数的定义判断即可. 对②,根据当0x >时sin x 与x 大小关系判断即可. 对③,求导后代入32x π=判断即可. 对④,求导分析函数单调性,确定sin ()xf x x=的极值点位置再判断即可. 【详解】对①, sin ()xf x x=定义域为{}0x x ≠,当0x ≠时, sin()sin sin ()()x x xf x f x x x x---====--,故()f x 是偶函数,①正确对②,因为sin ()xf x x=为偶函数,故只需考虑0x >时的情况即可.画出sin y x =与y x =的函数图像如图.因为sin'cos 1'x x x =≤=且当0x =时成立,由图可得当0x >时,sin x x >恒成立. 故当0x >时,sin ()1x f x x =<.又sin ()xf x x =为偶函数,故sin ()1x f x x=<恒成立.对③, 2cos sin '()x x xf x x -=令'()0f x =则cos sin 0x x x -=.当32x π=时cos sin 0x x x -=不成立,故③错误. 对④, 2cos sin '()x x x f x x-=令()cos sin g x x x x =-,当2x π=时, ()cos sin 12222g ππππ=-=-,当2x π≠时, ()cos sin cos (tan )g x x x x x x x =-=-先画出y x =与tan y x =的图像如图注意当(0,)2x π∈时,21tan'1cos x x=>,此时tan x x <,此时()cos (tan )0g x x x x =-< 当(,)2x ππ∈时,cos 0x <,tan x x >,故()cos (tan )0g x x x x =-<当x π=时,()cos sin 0g ππππ=-<.故当(0,]x π∈时,2cos sin '()0x x xf x x-=< 当3()2x ππ∈，时,cos 0x <,且tan 0x x -=有根. 又对sin ()x f x x =,6()06f π=,73()67f ππ=-,833()68f ππ=-,92()63f ππ=-, 1033()610f ππ=-.故满足1()()66n n f f ππ+<的正整数n 的最小值为9. 故④正确. 故选：D 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、函数单调性奇偶性与不等式的解法等.其中④对三角函数的分析与计算能力要求较高,属于难题.二、填空题 9．函数()sin()24f x x ππ=-,在区间[]0,1上的最小值是__________ 【答案】22-【解析】根据[]01x ∈，得出24x ππ-的范围,再根据三角函数单调性进行求解即可.【详解】∵x ∈[0,1],∴2πx ∈[0,2π], ∴24x ππ-∈[,44ππ-], ∴sin 24x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭∈[22,22-],∴函数f (x )sin 24x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,1上的最小值是22-, 故答案为：22- 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性与最值运用,属于基础题型.10．在等比数列{}n a 中，若2420a a +=，4660a a +=，则q =__________． 【答案】3±.【解析】分析：根据题意列出关于首项1a ，公比q 的方程组，解得1a 、q 的值，即可得结果 详解：设等比数列{}n a 中公比为q ，∵242462420(=60a a a a q a a +=⎧⎨+=+⎩）， ∴23q =，∴3q =±，故答案为3±．点睛：本题主要考查等比数列的通项公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.11．在平面直角坐标系中，点(0,0)O ,(1,3)P ，将向量OP 绕点O 顺时针方向旋转2π后，得到向量OQ ，则点Q 的坐标是__________ 【答案】(3,1)-【解析】设向量OP 与x 轴正半轴的夹角为θ,再表示出OQ 对应的夹角,利用三角函数求解即可. 【详解】∵平面直角坐标系中,点(0,0)O ,(1,3)P 则2OP =．将向量OP 绕点O 顺时针方向旋转弯2π后,得到向量OQ , 设(1,3)(2cos ,2sin )OP θθ==,易得3πθ= ．设点Q 的坐标为(,)x y ,则2cos()2sin 32x πθθ=-==,2sin()2cos 12y πθθ=-=-=-,故点Q 的坐标为(3,1)-,故答案为：(3,1)- 【点睛】本题主要考查三角函数的定义,角θ顺时针旋转2π对应的角度为2πθ-,属于中等题型.12．已知12e e 、是夹角为60°的两个单位向量，则向量122e e +与向量212e 3e -的夹角为__________ 【答案】23π【解析】根据夹角公式1211cos e e e e θ⋅= 与向量的坐标运算求解即可.【详解】∵已知12e e 、是夹角为60°的两个单位向量,∴1e •2e =1×1×cos 60°12=．设向量122e e +与向量2123e e -的夹角为θ,θ∈[0,π]． ∵(122e e +)•(211223)e e e e -=⋅-621e +22212e =-6+272=-, |122e e +|()2121244172e e =+=+⨯+=,|2123e e -|()221123412972ee =-=-⨯+=,故cosθ()()12211221722312277223e e e e e e e e -+⋅-===-⋅+⋅-,∴θ23π=, 故答案为：23π【点睛】本题主要考查向量的数量积与模长夹角的运算,属于基础题型.13．已知函数22(0)()1(0)x x x x f x e x ⎧-≤=⎨->⎩若对x R ∀∈,不等式()f x ax ≥成立，则a 的取值范围是__________ 【答案】[]2,1-【解析】分0x ≤与0x >两种情况分别讨论研究恒成立问题即可. 【详解】当0x ≤,2()2f x x x ax =-≥,得2(2)0x a x -+≥,2x a ≤+,即2a x ≥-,2a ≥-,当0x >时,()1xf x e =-,'()x f x e =,0'(0)1f e ==,所以过(0,0)的切线为y x =,()f x ax ≥,则1a ≤,故[]2,1a ∈-, 故答案为：[]2,1- 【点睛】本题主要考查分段函数的恒成立问题,需要分开讨论或者数形结合分析,属于中等题型.14．设Q 为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Q 中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ,N ,记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为x (Q ),点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为y (Q ).若Q 是边长为1的正方形，给出下列三个结论: ①x (Q )的最大值为2②x (Q )+y (Q )的取值范围是2,22⎡⎤⎣⎦③x (Q )-y (Q )恒等于0.其中所有正确结论的序号是_________ 【答案】①②③．【解析】易得(),()x Q y Q 与正方形Q 的位置无关,故可以考虑将正方形确定在原点,再绕着原点旋转分析所有情况即可. 【详解】如图由题易得(),()x Q y Q 与正方形Q 的位置无关,故将正方形ABCD 确定在原点,则只需考虑当正方形ABCD 绕着原点旋转的所有情况即可.此时对角线长2.当正方形边均平行于坐标轴时取最小值()()1x Q y Q ==.且{}()()max2cos ,2sin x Q y Q αα==对①,()1,2x Q ⎡⎤∈⎣⎦,故①正确对②, ()()2()2,22x Q y Q x Q ⎡⎤+=∈⎣⎦,故②正确.对③,因为{}()()max2cos ,2sin x Q y Q αα==,故()()0x Q y Q -=,故③正确.故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查新定义的函数题型.利用数形结合的思想以及三角函数分析即可.属于中等题型.三、解答题15．ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别是a 、b 、c ，且1cos 3A =． (1)求2sincos 22B CA ++的值； (2)若3a =，求ABC △面积的最大值．【答案】（1）19-；（2）324【解析】(1)将2sin cos22B CA ++化简代入数据得到答案. (2)利用余弦定理和均值不等式计算94bc ≤，代入面积公式得到答案.【详解】()2221sin cos2sin 2cos 122B C AA A π+-+=+- 2221c o s c o s 2c o s 12c o s 122A A A A +=+-=+-1111321299+=+⨯-=-； (2)由1cos 3A =，可得122sin 193A =-=， 由余弦定理可得222222242cos 2333a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=， 即有23944bc a =≤，当且仅当32b c ==，取得等号． 则ABC △面积为1192232sin 22434bc A ≤⨯⨯=． 即有32b c ==时，ABC △的面积取得最大值324． 【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型. 16．已知等比数列{}n a 满足:3210a a -=，123125a a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数m ，使得11a +21a +...+m1a ≥1?若存在，求m 的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）253n n a -=⨯（2）不存在，详见解析【解析】(1)利用基本量法将所有量表达成首项1a 和q 的形式列式求解即可. (2) 对m1a 进行等比数列求和,再分析与1的大小关系即可. 【详解】(1)设等比数列{a n }首项为a 1,公比为q ,则2321110a a a q a q -=-=①,则a 1a 2a 3231111()125a a q a q a q =⋅⋅==②,解①②得：q ＝3, 从而153a =． ∴数列{a n }的通项公式112153533n n n n a a q---==⨯=⨯． (2)假设存在正整数m ,使得12111ma a a +++≥1． ∵253n n a -=⨯,∴2111()53n n a -=⨯,从而数列{1n a }是首项为35,公比为13的等比数列, 从而得1231[1)11191531110313m mm a a a ⎛⎤- ⎥⎛⎫⎝⎦+++==-≥ ⎪⎝⎭-1, 从而解得32﹣m≤﹣1,显然不成立,因此不存在这样的整数m 使得使得12111ma a a +++≥1成立． 【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量法以及等比数列求和的问题,属于基础题型.17．小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从1A ，2345678,,,,,,A A A A A A A （如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X 。
精品解析：北京市第二中学教育集团2023-2024学年七年级下学期期中道德与法治试题-A4答案卷尾
北京市第二中学教育集团2023-2024学年七年级下学期期中道德与法治试题第I卷(选择题共24分)一、选择题(以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共24分)1．2024年全国两会于3月4日至3月11日在北京召开，代表、委员共聚一堂，共商国是。
全国两会通常是指（）A．中央经济工作会议和全国人民代表大会B．全国人民代表大会和中国人民政治协商会议C．中国人民政治协商会议和中央经济工作会议D．中国共产党全国代表大会和全国人民代表大会2．青春期是儿童期向成年期过渡的重要时期，是生命的进阶。
以下同学关于青春期的看法，正确的是（）①小正：青春期的我们有的发育快，有的发育慢，这是成长中的正常现象①小峰：青春期的身心发展不平衡，会让我们产生矛盾和困惑①小鹏：面对青春成长中的烦恼，不需调节，顺其自然即可①小严：展现青春之美需要关注自己的外表，追求外在美就够了A．①①B．①①C．①①D．①①3．对以下现象的微点评正确的是（）A．①①B．①①C．①①D．①①4．社会生活中，人们常常会依据着装和言行来判断一个人的性别，也会不自觉地按照性别角色的行为模式来规范自己，看待他人。
对于上述现象，以下观点正确的是（）①典型的男性和女性的行为模式表现出两性的差异，不能打破①对性别角色形成的固有印象可能会限制我们潜能的发挥①对性别角色的认识，可以帮助我们塑造自我形象①学会尊重他人的个性表达，不要过于受性别刻板印象的影响A．①①①B．①①①C．①①①D．①①①5．《中国学生发展核心素养》中关于“批判质疑”的要求是：具有问题意识，能独立思考、独立判断、思维缜密，能多角度辩证地分析问题，做出选择和决定……以下各种情况中，四位主人公的言行能够体现批判性思维的是（）A．在近期的学校征文活动中，小明上交的文章感情真挚，笔法流畅，受到评委老师的一致好评B．“互联网+”成为近些年的热词，小枫认为这一方面可以提高社会的生产效率，另一方面也可能产生信息泄露问题C．学校开展线上学习，父母更加关注小亮的学习状态，引起小亮的不满：“我都上初中了，父母的操心是多余的”D．“过期药品属于哪类垃圾?”为了有效贯彻落实《北京市生活垃圾管理条例》,小树查找资料，最终弄清了这一问题6．某班道法学习小组的同学们围绕“情绪”开展探究活动，在访谈中收集到了以下资料。
专题28 事件的相互独立性(解析版)
专题28 事件的相互独立性一、单选题1．2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划”)，明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲､乙两人通过强基计划的概率分别为43,54，那么两人中恰有一人通过的概率为A．35B．15C．14D．720【试题来源】辽宁省部分重点高中2020-2021学年高二下学期期中考试【答案】D【分析】由题意，甲乙两人通过强基计划是相互独立的事件，可确定甲乙两人中恰有一人通过的事件为甲通过乙不通过和甲不通过乙通过.【解析】由题意，甲乙两人通过强基计划的事件是相互独立的，那么甲乙两人中恰有一人通过的概率为41137545420P=⨯+⨯=.故选D.2．甲､乙两队进行羽毛球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若甲队每局获胜的概率为13，则甲队获得冠军的概率为A．49B．59C．23D．79【试题来源】江西省赣州市2021届高三二模【答案】B【分析】由题设知甲、乙两队获胜的概率分别为13、23，甲队要获得冠军，则至少在两局内赢一局，利用概率的乘法和加法公式求概率即可.【解析】由题意知每局甲队获胜的概率为13，乙队获胜的概率为23，所以至少在两局内甲队赢一局，甲队才能获得冠军，当第一局甲队获胜，其概率为13；当第一局甲队输，第二局甲队赢，其概率为212339⨯=. 所以甲队获得冠军的概率为125399+=.故选B. 3．五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是13、14、15，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去厦门旅游的概率为 A ．5960B ．35C ．12D ．160【试题来源】2020-2021学年高一数学必修第二册同步单元AB 卷（新教材人教B 版） 【答案】B【分析】由对立事件为A ：三人都不去厦门旅游，求()P A ，应用()1()P A P A =-求概率即可.【解析】记事件A 至少有1人去厦门旅游，其对立事件为A ：三人都不去厦门旅游， 由独立事件的概率公式可得1112()(1)(1)(1)3455P A =---=， 由对立事件的概率公式可得3()1()5P A P A =-=，故选B. 4．有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，则目标被击中的概率是 A ．0.56 B ．0.92 C ．0.94D ．0.96【试题来源】2020-2021学年下学期高一数学同步精品课堂（新教材人教版必修第二册） 【答案】C【分析】利用独立事件和对立事件的概率求解即可．【解析】设事件A 表示：“甲击中”，事件B 表示：“乙击中”．由题意知A ，B 互相独立． 故目标被击中的概率为P ＝1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1－0.2×0.3＝0.94．故选C 5．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为1p 和2p ，则 A ．12p p = B ．12p p <C ．12p p >D ．以上三种情况都有可能【试题来源】湖南省2021届高三下学期三模 【答案】B【分析】分别计算1p 和2p ，再比较大小.【解析】方法一：每箱中的黑球被选中的概率为110，所以至少摸出一个黑球的概率2019110p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．方法二：每箱中的黑球被选中的概率为15，所以至少摸出一个黑球的概率102415p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．10201010124948105105100p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则12p p <．故选B.【名师点睛】概率计算的不同类型： （1）古典概型、几何概型直接求概率；（2）根据事件间的关系利用概率加法、乘法公式求概率； （3）利用对立事件求概率；（4）判断出特殊的分布列类型，直接套公式求概率.6．2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为433,,544，那么三人中恰有两人通过的概率为A ．2180 B ．2780C ．3380D ．2740【试题来源】2020-2021学年高二下学期数学选择性必修第三册同步单元AB 卷 【答案】C【分析】根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.【解析】记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件,,A B C ，显然,,A B C 为相互独立事件， 则“三人中恰有两人通过”相当于事件ABC ABC ABC ++，且,,ABC ABC ABC 互斥，∴所求概率()()()()P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ++=++()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++1334134313354454454480=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故选C. 7．甲、乙两名同学相约学习某种技能，该技能需要通过两项考核才能拿到证书，每项考核结果互不影响.已知甲同学通过第一项考核的概率是45，通过第二项考核的概率是12；乙同学拿到该技能证书的概率是13， 那么甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是 A ．1315B ．1115C ．23D ．35【试题来源】【新教材精创】4.1.3独立性与条件概率的关系A 基础练 【答案】D【分析】由已知先求得甲取得证书的概率，再求得甲，乙两人都取不到证书的概率，由对立事件的概率公式可得选项.【解析】由已知得甲拿到该技能证书的概率为412525⨯=，则甲，乙两人都没有拿到证书的概率为21211535⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是23155-=，故选D. 【名师点睛】在解决含有“至少”，“至多”等一类问题的概率问题时，正面求解时情况较复杂，可以求其对立事件的概率，再用1减去所求的对立事件的概率，就是所求的概率.8．某班级举办投篮比赛，每人投篮两次.若小明每次投篮命中的概率都是0.6，则他至少投中一次的概率为 A ．0.24 B ．0.36 C ．0.6D ．0.84【试题来源】北京市大兴区2020-2021学年度高二上学期期末检测试卷【答案】D【分析】先求出对立事件：一次都未投中的概率，然后可得结论．【解析】由题意小明每次投篮不中的概率是10.60.4-=，再次投篮都不中的概率是20.40.16=，所以他再次投篮至少投中一次的概率为10.160.84-=．故选D．【名师点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式，在出现至少、至多等词语时，可先求其对立事件的概率，然后由对立事件概率公式得出结论．9．某单位举行知识竞赛，给每位参赛选手设计了两道题目，已知某单位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完两道题目后至少答对一题的概率为A．45B．1625C．125D．2425【试题来源】2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A版必修第二册）【答案】D【分析】根据相互独立事件的概率计算公式，以及对立事件的概率计算公式，由题中条件，可直接得出结果.【解析】因为参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完两道题目后至少答对一题的概率为242411525P⎛⎫=--=⎪⎝⎭.故选D.10．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为A．互斥B．相互对立C．相互独立D．相等【试题来源】【新教材精创】4.1.3独立性与条件概率的关系A基础练【答案】C【分析】根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义即可判断.【解析】显然事件A和事件B不相等，故D错误，由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故AB错误；因为事件A 是否发生与事件B 无关，事件B 是否发生也与事件A 无关，故事件A 和事件B 相互独立，故C 正确.故选C.11．袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 A ．0.0324 B ．0.0434 C ．0.0528D ．0.0562【试题来源】江西省新余市第一中学2020-2021学年高二年级第六次考试 【答案】B【分析】第4次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红，据此由互斥事件的和及相互独立事件同时发生的概率公式求解.【解析】第4次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红， 所以第4次恰好取完所有红球的概率为222918291821()()0.043410101010101010101010⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=，故选B 12．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放一枚质地均匀的硬币，所有人同时抛掷自己面前的硬币一次．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么，事件“相邻的两个人站起来”没有发生．．．．的概率为 A ．12 B ．716 C ．38D ．14【试题来源】重庆市第七中学2021届高三上学期期中 【答案】B【分析】先研究相邻两个人站起来的情况，分为2个人站起来，三个人站起来及四个人站起来，3种情况，一一分析，没有发生的概率即用1减去上面站起来的概率即可. 【解析】由题意可知，四个人抛硬币，一共有4216=种不同的情况，其中有相邻两个人同为正面需要站起来有4种情况，三个人需要站起来有4种情况， 四个人都站起来共有1种情况，所以有相邻的两个人站起来的概率44191616P ++==， 故没有相邻的两个人站起来的概率为9711616P =-=.故选B ． 13．某校甲、乙、丙三名教师每天使用1号录播教室上课的概率分别是0.6，0.6，0.8，这三名教师是否使用1号录播教室相互独立，则某天这三名教师中至少有一人使用1号录播教室上课的概率是 A ．0.296 B ．0.288 C ．0.968D ．0.712【试题来源】2021年全国高中名校名师原创预测卷新高考数学（第九模拟） 【答案】C【分析】设甲、乙、丙三名教师某天使用1号录播教室上课分别为事件,,A B C ，可得()0.6P A =，()0.6P B =，()0.8P C =，由事件,,A B C 相互独立，再根据对立事件的概率公式代入求解.【解析】甲、乙、丙三名教师某天使用1号录播教室上课分别为事件,,A B C ，则()0.6P A =，()0.6P B =，()0.8P C =，这三名教师是否使用1号录播教室相互独立，则所求事件的概率为()()()()111P ABC P A P B C P P -=-⋅⋅==-0.40.40.20.968⨯⨯=，故选C. 14．某地有A ，B ，C ，D 四人先后感染了传染性肺炎，其中只有A 到过疫区，B 确定是受A 感染的．对于C 因为难以判定是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和B 感染的概率都是12．同样也假定D 受A ，B 和C 感染的概率都是13．在这种假定下，B ，C ，D 中恰有两人直接受A 感染的概率是 A ．16B ．13 C ．12D ．23【试题来源】【新教材精创】4.1.3独立性与条件概率的关系B 提高练 【答案】C【分析】根据题意得出：因为直接受A 感染的人至少是B ，而C 、D 二人也有可能是由A 感染的，B ，C ，D 中恰有两人直接受A 感染为事件CD CD +．由此可计算出概率． 【解析】设,,B C D 直接受A 感染为事件B 、C 、D ， 则事件B 、C 、D 是相互独立的，()1P B =，1()2P C =，1()3P D =， 表明除了B 外，,C D 二人中恰有一人是由A 感染的， 所以12111()()()23232P CD CD P CD P CD +=+=⨯+⨯=，所以B 、C 、D 中直接受A 传染的人数为2的概率为12，故选C. 15．一个袋中装有6个大小形状完全相同的小球，其中有4个白球，2个黑球，现随机从袋中摸出一球，记下颜色，放回袋中后，再从袋中随机摸出一球，记下颜色，则两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为A ．49 B ．59 C ．35D ．815【试题来源】备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过 【答案】B【分析】由题意利用相互独立事件概率的乘法公式，先求出两次摸到的全是白球的概率，再利用对立事件的概率公式即可求解.【解析】记每次摸出白球为事件A ，每次摸出黑球为事件B ，则()4263P A ==，()2163P B ==， 两次摸出的球中至少有一个黑球包括两次黑球和一次白球一次黑球， 其对立事件为两次摸到的都是白球， 两次摸到的都是白球概率为224339⨯=， 所以两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为45199-=，故选B 【名师点睛】本题的关键点是第一次摸出球后又放回去，所以每次摸出白球和黑球的概率都不变，求出这两个概率，每次摸球是相互独立的，所以可以利用概率的乘法公式求出两次摸到的全是白球的概率，即可求出其对立事件至少有一个黑球的概率.16．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A ，B 如图所示. 其中()12,()6,()4,()8n n A n B n AB Ω====，则事件A 与事件BA ．是互斥事件，不是独立事件B ．不是互斥事件，是独立事件C ．既是互斥事件，也是独立事件D ．既不是互斥事件，也不是独立事件【试题来源】北京市丰台区2020-2021学年度高二上学期期中考试 【答案】B 【分析】由()4n A B =可判断事件是否为互斥事件，由()()()P AB P A P B =可判断事件是否为独立事件.【解析】因为()12,()6,()4,()8n n A n B n A B Ω====，所以()2n AB =，()4n AB =，()8n B =，所以事件A 与事件B 不是互斥事件， 所以()41123P AB ==，()()68112123P A P B =⨯=， 所以()()()P AB P A P B =，所以事件A 与事件B 是独立事件.故选B.17．甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中两站恰有．．一次准确预报的概率为 A ．0.8 B ．0.7 C ．0.56D ．0.38【试题来源】2020-2021学年高一数学必修第二册同步单元AB 卷 【答案】D【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式运算即可得解.【解析】因为甲、乙两个气象站同时作气象预报，甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7， 所以在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为0.8(10.7)(10.8)0.70.38P =⨯-+-⨯=.故选D ．18．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为 A ．12B ．34 C ．23D ．14【试题来源】2020-2021学年高一数学必修第二册同步单元AB 卷 【答案】B【分析】先由相互独立事件的概率乘法公式，求出目标不被击中的概率，再由对立事件概率公式，即可得解.【解析】由于甲、乙、丙射击一次命中目标的概率分别为12，13，14， 三人同时射击目标一次，则目标不被击中的概率为11111112344⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由对立事件的概率公式可得目标被击中的概率为13144-=.故选B. 19．某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分，甲、乙、丙三名考生独立参加测试，他们能达到合格的概率分别是0.9，0.8，0.75，则三人中至少有一人达标的概率为 A ．0.015 B ．0.005 C ．0.985D ．0.995【试题来源】2020-2021学年高二数学课时同步练（人教B 版2019选择性必修第二册） 【答案】D【分析】设出每一个每一个考生达标的事件，并求其对立事件的概率，根据相互独立事件的概率的和事件求解出答案.【解析】设 “甲考生达标” 为事件A ， “乙考生达标” 为事件B ， “丙考生达标” 为事件C ，则()0.9P A =，()0.8P B =，()0.75P C =，()10.90.1P A =-=，()10.80.2P B =-=，()10.750.25P C =-=，设 “三人中至少有一人达标” 为事件D ，则()()110.10.20.2510.0050.995P D P ABC =-=-⨯⨯=-=，故选D.【名师点睛】本题以实际问题为背景考查相互独立事件的概念及其发生的概率的计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.20．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人中至少有一人达标的概率是 A ．0.16 B ．0.24 C ．0.96D ．0.04【试题来源】内蒙古通辽市奈曼旗实验中学2018-2019学年高二下学期期末考试 【答案】C【分析】先求三人中至少有一人达标的对立事件的概率，再求其概率.【解析】至少有1人达标的对立事件是一个人也没达标，概率为()()()10.810.610.50.04---=，所以三人中至少有一人达标的概率为10.040.96-=.故选C【名师点睛】本题考查对立事件，属于基础题型.二、多选题1．下列各对事件中，为相互独立事件的是A ．掷一枚骰子一次，事件M “出现偶数点”；事件N “出现3点或6点”B ．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”C ．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”D ．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”【试题来源】2020-2021学年高一数学一隅三反系列（人教A 版2019必修第二册）【答案】ABD【分析】利用相互独立事件的定义一一验证即可.【解析】在A 中，样本空间{}1,2,3,4,5,6Ω=，事件{}2,4,6M =，事件{}3,6N =，事件{6}MN =， 所以31()62P M ==，21()63P N ==，111()236P MN =⨯=， 即()()()P MN P M P N =，故事件M 与N 相互独立，A 正确.在B 中，根据事件的特点易知，事件M 是否发生对事件发生的概率没有影响，故M 与N 是相互独立事件，B 正确；在C 中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C 错误；在D 中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，D 正确.故选ABD.【名师点睛】判断两个事件是否相互独立的方法：（1）直接法：利用生活常识进行判断；（2）定义法：利用()()()P MN P M P N =判断. 2．已知,A B 是随机事件，则下列结论正确的是A ．若,AB 是互斥事件，则()()()P AB P A P B =B ．若事件,A B 相互独立，则()()()P A B P A P B +=+C ．若,A B 是对立事件，则,A B 是互斥事件D ．事件,A B 至少有一个发生的概率不小于,A B 恰好有一个发生的概率【试题来源】【新教材精创】4.1.3独立性与条件概率的关系A 基础练【答案】CD【分析】根据互斥事件加法公式、独立事件乘法公式、对立事件的定义即可求解.【解析】对于A ， 若,A B 是互斥事件，则()()()P A B P A P B +=+，故A 错误； 对于B ， 若事件,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，故B 错误；对于C ，根据对立事件的定义， 若,A B 是对立事件，则,A B 是互斥事件，故C 正确； 对于D ， 所有可能发生的情况有：只有A 发生、只有B 发生、AB 都发生、AB 都不发生四种情况，,A B 至少有一个发生包括：只有A 发生、只有B 发生、AB 同时发生三种情况， 故其概率是75%；而恰有一个发生很明显包括只有A 发生或只有B 发生两种情况，故其概率是50%， 故事件,A B 至少有一个发生的概率不小于,A B 恰好有一个发生的概率，故D 正确.故选CD. 3．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则A ．A 与B 互斥B ．A 与B 相互独立C ．3()4P A B =D ．()()P A P B =【试题来源】2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A 版必修第二册）【答案】BCD【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及事件的概率求法逐一判断即可.【解析】根据题意事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，可知两事件互不影响，即A 与B 相互独立，故B 正确，A 不正确；由()12P A =，()12P B =， 所以()()3()1-4P A B P A P B ==，且()()P A P B =，故D 正确，C 正确.故选BCD 4．分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件M =“第一枚骰子的点数为奇数”，事件N =“第二枚骰子的点数为偶数”，则A ．M 与N 互斥B ．M 与N 不对立C ．M 与N 相互独立D ．()34P M N = 【试题来源】2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A 版必修第二册）【答案】BCD【分析】相互独立事件，互斥事件，对立事件，利用定义即可以逐一判断四个选项正误.【解析】对于选项A ：事件M 与N 是可能同时发生的，故M 与N 不互斥，选项A 不正确； 对于选项B ：事件M 与N 不互斥，不是对立事件，选项B 正确；对于选项C ：事件M 发生与否对事件N 发生的概率没有影响，M 与N 相互独立.对于选项D ：事件M 发生概率为1()2P M = ，事件N 发生的概率1()2P N =，()1131()()1224P M N P M P N =-=-⨯=，选项D 正确.故选BCD 【名师点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，对立事件，以及随机事件的概率，属于基础题.5．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以1A ，2A 表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B 表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是A ．23()30PB = B ．事件B 与事件1A 相互独立C ．事件B 与事件2A 相互独立D ．1A ，2A 互斥 【试题来源】2020-2021学年高一数学一隅三反系列（人教A 版2019必修第二册）【答案】AD【分析】先画出树状图，然后求得()1P A ， ()2P A ，()P B 的值，得A 正确；利用 ()()11()P A B P A P B ≠判断B 错误，同理C 错误；由1A ，2A 不可能同时发生得D 正确.【解析】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：因此()1183305P A ==，()2122305P A ==，15823()3030P B +==，A 正确； 又()11530P A B =，因此()()11()P A B P A P B ≠，B 错误； 同理可以求得()()22()P A B P A P B ≠，C 错误；1A ，2A 不可能同时发生，故彼此互斥，故D 正确，故选AD ．【名师点睛】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的判断及其概率，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属基础题.三、填空题1．在某道路A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．【试题来源】2020-2021学年下学期高一数学同步精品课堂（新教材人教版必修第二册） 【答案】35192【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可． 【解析】由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，34．在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为512×712×34＝35192． 故答案为351922．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时乙得分的概率为0.6，各球的结果相互独立.在某局打成10:10后，甲先发球，乙以13:11获胜的概率为________．【试题来源】【新教材精创】4.1.3独立性与条件概率的关系A 基础练【答案】0.15【分析】依题意还需进行四场比赛，其中前两场乙输一场、最后两场乙赢，根据相互独立事件的概率公式计算可得；【解析】依题意还需进行四场比赛，其中前两场乙输一场、最后两场乙赢，其中发球方分别是甲、乙、甲、乙；所以乙以13:11获胜的概率()()10.50.60.50.610.60.50.50.60.15P =-⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯= 故答案为0.153．A ，B ，C ，D 四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是13（个人不投自己的票），则仅A 一人是最高得票者的概率为________．【试题来源】安徽省六安市舒城中学2021届高三下学期仿真模拟（二） 【答案】527【分析】根据A 的票数为3,2分类讨论，再根据互斥事件的概率加法公式即可求出．【解析】若仅A 一人是最高得票者，则A 的票数为3,2．若A 的票数为3，则1111133327P =⨯⨯=； 若A 的票数为2，则BCD 三人中有两人投给A ，剩下的一人与A 不能投同一个人，213111242333327P C ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭； 所以仅A 一人是最高得票者的概率为12145272727P P P =+=+=． 故答案为527． 【名师点睛】本题解题关键是根据A 的得票数进行分类讨论，当A 的票数为3时，容易求出1127P =，当A 的票数为2时，要考虑如何体现A 的票数最高，分析出四人投票情况，是解题的难点，不妨先考虑BC 投给A ，则D 投给B （C ），A 就投给C 或D （B 或D ），即可容易解出．4．暑假期间，甲外出旅游的概率是14，乙外出旅游的概率是15，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是________．【试题来源】2020-2021学年高一数学一隅三反系列（人教A 版2019必修第二册）【答案】25【分析】设“暑假期间两人中至少有一人外出旅游”为事件A ，则其对立事件A 为“暑假期间两人都未外出旅游”，先求得()P A ，再求解即可.【解析】设“暑假期间两人中至少有一人外出旅游”为事件A ，则其对立事件 A 为“暑假期间两人都未外出旅游”，则()11311455P A ⎛⎫⎛⎫=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()()321155P A P A =-=-=.故答案为25. 5．事件,,A B C 互相独立，若()()()111,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，，则()P B =__________.【试题来源】2020-2021学年高一数学必修第二册同步单元AB 卷（新教材人教B 版） 【答案】12【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式解方程组可得结果.【解析】因为事件,,A B C 互相独立，所以1()()61()()81()()()8P A P B P B P C P A P B P C ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩， 所以()()11()()8111()68P B P C P C ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以1()4P C =，1()2P B =.故答案为12 【名师点睛】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式求解是解题关键.四、解答题1．已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为25，34，13．求： （1）3人都通过体能测试的概率；（2）只有2人通过体能测试的概率；（3）只有1人通过体能测试的概率．【试题来源】2020-2021学年下学期高一数学同步精品课堂（新教材人教版必修第二册）【答案】（1）110；（2）2360；（3）512．【分析】设事件A＝“甲通过体能测试”，事件B＝“乙通过体能测试”，事件C＝“丙通过体能测试”（1）利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.（2）只有2人通过体能测试为AB C＋A B C＋A BC，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.（3）只有1人通过体能测试为A B C＋A B C＋A B C，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.【解析】设事件A＝“甲通过体能测试”，事件B＝“乙通过体能测试”，事件C＝“丙通过体能测试”，由题意有：P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13．（1）设事件M1＝“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即事件M1＝ABC，由事件A，B，C相互独立可得P(M1)＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝25×34×13＝110．（2）设事件M2＝“甲、乙、丙3人中只有2人通过体能测试”，则M2＝AB C＋A B C＋A BC，由于事件A，B，C，A，B，C均相互独立，并且事件AB C，A B C，A BC两两互斥，因此P(M2)＝P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＝25×34×113⎛⎫-⎪⎝⎭＋25×314⎛⎫-⎪⎝⎭×13＋215⎛⎫-⎪⎝⎭×34×13＝2360．（3）设事件M3＝“甲、乙、丙3人中只有1人通过体能测试”，则M3＝A B C＋A B C＋A B C，由于事件A，B，C，A，B，C均相互独立，并且事件A B C，A B C，A B C两两互斥，因此P(M3)＝P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＝25×314⎛⎫-⎪⎝⎭×113⎛⎫-⎪⎝⎭＋215⎛⎫-⎪⎝⎭×34×113⎛⎫-⎪⎝⎭＋215⎛⎫-⎪⎝⎭×314⎛⎫-⎪⎝⎭×13＝512．2．已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是12，事件B发生的概率是23，事件C发生的概率是34，求下列事件的概率：（1）事件A，B，C只发生两个的概率；（2）事件A，B，C至多发生两个的概率．【试题来源】2020-2021学年下学期高一数学同步精品课堂（新教材人教版必修第二册）【答案】（1）1124；（2）34．【分析】（1）记“事件A，B，C只发生两个”为A1，则事件A1包括三种彼此互斥的情况，利用互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式可得答案；（2）记“事件A，B，C至多发生两个”为A2，则包括彼此互斥的三种情况，利用互斥事件概率的加法公式计算即可．【解析】（1）记“事件A，B，C只发生两个”为A1，则事件A1包括三种彼此互斥的情况：AB C，A B C，A BC，由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，得P(A1)＝P(AB C)＋P(A B C)＋P(A BC)＝112＋18＋14＝1124，所以事件A，B，C只发生两个的概率为11 24．（2）记“事件A，B，C至多发生两个”为A2，则包括彼此互斥的三种情况：事件A，B，C一个也不发生，记为A3，事件A，B，C只发生一个，记为A4，事件A，B，C只发生两个，记为A5，故P(A2)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝124＋624＋1124＝34．所以事件A，B，C至多发生两个的概率为34．3．甲､乙两人独立破译一个密码，他们译出的概率分别为13和1.4求：（1）两人都译出的概率；。
精品解析：北京市第四中学2016-2017学年高一上学期期末考试历史试题(原卷版)
北京四中2016-2017学年上学期高一年级期末考试历史试卷试卷满分100分考试时间为60分钟一、单项选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题意。
每小题2分，共60分）1.梁启超指出：“吾国……直待台湾既割，二百兆之偿款既输，而鼾睡之声，乃渐惊起。
”与文中所涉内容相关的不平等条约是A.《南京条约》B.《天津条约》C.《马关条约》D.《辛丑条约》2.“卅年求富更求强，造炮成船法仿洋。
海面未收功一战，总归虚牝（pin）掷黄金。
”诗中“海面未收功一战”指的是A.鸦片战争B.第二次鸦片战争C.甲午中日战争D.八国联军侵华战争3.“天无雨，地焦旱，全是教堂止住天。
洋鬼子，尽除完，大清一统靖江山。
”这样的标语出现于A.禁烟运动B.太平天国运动C.义和团运动D.辛亥革命4.《辛丑条约》的第七款为订定东交民巷使馆区境界，规定使馆区由外交团管理，界内不准中国人居住，各国有权常留兵保护使馆。
这一规定对中国的危害为①严重损坏中国的行政权力②使馆区成为列强侵华的大本营③使中国税收受到列强控制④培植执行卖国政策的职业官僚A.①②B.①③C.②③D.②④5.近代中国第一个统一的资产阶级革命政党是A.兴中会B.光复会C.中国同盟会D.中国国民党6.有人认为：“过去五千年的中华通史，实是一部帝王专制史；而今后的中华通史，将是一部民主政治史。
”下列事件中体现这一历史转型的是：A.鸦片战争B.太平天国运动C.甲午中日战争D.辛亥革命7.为完成“打倒列强，除军阀”的国民革命任务，国共两党合作发动了A.辛亥革命B.五四运动C.北伐战争D.南昌起义8.美国记者斯诺在《红星照耀中国》一书中称誉的“当今时代无与伦比的一次史诗般的远征”，指的是A.北伐战争B.秋收起义C.红军长征D.挺进大别山9.下列事件中，标志着抗日战争全面爆发的是A.九一八事变B.卢沟桥事变C.台儿庄战役D.百团大战10.毛泽东指出：“（双十协定）第一个好处是采取平等的方式，双方正式签订协定，这是历史上未有过的。
精品解析：2020年北京市中考物理试题(原卷版)
A. 音调B. 响度C. 音色D. 速度
8.如图所示的情境中，人对物体做功的是（）
A. 用力搬石头没有搬动
B. 人将重物从地面拉到高处
C 人推一块大石头没推动
D. 人使箱子沿水平方向做匀速直线运动
A. 硝化棉被点燃，表明筒内气体的温度升高
B. 下压活塞的过程中，筒内气体内能减小
C. 下压活塞的过程中，活塞对筒内气体做了功
D. 下压活塞的过程中，气体的内能转化为活塞的机械能
20.如图所示，滑轮组悬挂在水平支架上，某工人站在水平地面上，竖直向下拉动绳子自由端，使物体A以0.2m/s的速度匀速上升，提升过支架过程中滑轮组的机械效率为90%。已知物体A重540N，该工人重500N，两个滑轮质量相等，不计滑轮组的绳重和摩擦，关于该过程，下列说法正确的是（ ）
16.关于分子 热运动和分子之间的作用力，下列说法正确的是（）
A. 扩散现象说明分子是运动的
B. 固体之间也可以发生扩散现象
C. 液体很难被压缩，是由于液体分子间存在引力
D. 固体很难被拉伸，说明固体分子间只存在引力
17.如图所示为游乐园的过山车运行的情境，下列说法正确的是（）
A. 过山车从高处加速滑下的过程中，动能增加
B. 盐水不均匀使光发生了弯曲
C. 光发生了色散
D. 光从玻璃到盐水发生了折射
5.隆冬，滴水成冰的过程中，发生的物态变化是（ ）
A. 熔化B. 凝固C. 液化D. 升华
6.如图所示的实验中，为了减小压强的是（ ）
A. 逃生锤的锤头很尖
B. 载重车装有很多车轮
C. 盲道上有凸起
2020-2021学年北京四中高三上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年北京四中高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集U={x∈Z|−2≤x≤2}，集合A={x|x2=1}，B={x∈Z|x2−2x≤0}，则A∩(∁U B)=()A. ⌀B. {1}C. {−1}D. {−1,1}2.下列命题中真命题为()A. ∃x∈R，使sinx+cosx=2B. ∀x∈(0,+∞)，e x>x+1C. ∃x∈(0,+∞)，x<sinxD. ∃x∈R，x2+x=−13.已知向量a⃗=(−1,x)，b⃗ =(x,−4)，若a⃗//b⃗ ，则实数x=()A. 0B. 2C. −2D. ±24.某流程如下图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是()A.B.C.D.5.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则()A. f(x)=√3sin(x2+π3) B. f(x)=√3sin(x2+2π3)C. f(x)=32sin(x +π3)D. f(x)=32sin(x +2π3) 6. 已知a >0，b >0，且2a +b =4，则的最小值为( )． A.B. 4C.D. 2 7. a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(3,4)，则向量a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b⃗ 的夹角为( ) A. 锐角B. 直角C. 钝角D. π8. ( ) A. 0B. 1C. 2D. 4 9. 已知函数f(x)=|mx|−|x −1|(m >0)，若关于x 的不等式f(x)<0的解集中的整数恰有3个，则实数m 的取值范围为( )A. 0<m ≤1B. 43≤m <32C. 1<m <32D. 32≤m <2 10. 关于曲线C ：x 4+y 4=1，则下列四个命题中，假命题是( )A. 曲线C 关于原点对称B. 曲线C 关于直线y =−x 对称C. 曲线C 围成的面积小于πD. 在第一象限中y 随x 的增大而减小二、单空题（本大题共2小题，共10.0分） 11. 已知函数f(x)={3x,x ≤0f(x −1),x >0则f(56)的值为______． 12. 在平行四边形 ABCD 中，AD =1，∠BAD =60°，E 为 CD 的中点．若AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AB 的为______．三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 已知函数f(x)=√3sin x cos x +cos 2x +a ；则f(x)的最小正周期为 (1) ，若f(x)在区间[−π6,π3]上的最大值与最小值的和为32，则实数a 的值为 (2) ．14. 已知圆O ：x 2+y 2=1，l 为过点(0,2)的动直线，若l 与圆O 相切，则直线l 的倾斜角为 (1) ；若l 与圆O 相交于A 、B 两点，则当△OAB 的面积最大时AB 的弦长为 (2) ． 15. 已知f(x)={|x −1|−1,x ≥0,(13)x ,x <0,.则f(f(1))= (1) ，f(x)的最小值是 (2) ． 四、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. (1)已知cos(π4+α)=13，α∈(0,π2)，则求cosα的值．(2)0<α<π2，−π2<β<0，cos(π4+α)=14，cos(β2−π4)=34，求cos(β2+α)的值；(3)已知α，β∈(0,π)tanα=2，cosβ=−7√210，求2α−β的值．17. 已知函数f(x)=e x 1+ax 2，其中a 为实数，常数e =2.718…． (1)若x =13是函数f(x)的一个极值点，求a 的值；(2)当a 取正实数时，求函数f(x)的单调区间； (3)当a =−4时，直接写出函数f(x)的所有减区间．18. 求适合下列条件的直线的方程：(1)经过点A(−1,−3)，倾斜角等于直线y =3x 的倾斜角的2倍；(2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等．19. 已知函数。
精品解析：北京市德胜中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试题(原卷版)
2023-2024学年北京市德胜中学七年级（上）期中数学试卷一.选择题（本题共20分，每题2分）1. 世界最大的高海拔宇宙线观测站“拉索”位于我国甘孜稻城，其海拔高度记为“米”，表示高出海平面4410米；全球最大的超深水半潜式钻井平台“蓝鲸2号”是我国自主设计制造的，其最大钻深记为“米”．“米”表示的意义为（ ）A. 高于海平面15250米B. 低于海平面15250米C. 比“拉索”高15250米D. 比“拉索”低15250米2. 据报道，2023年“五一”假期全国国内旅游出游合计274000000人次．数字274000000用科学记数法表示是（ ）A. B. C. D. 3. 的相反数是（ ）A. B. C. D. 4. 若=0，则x 2+y 2的值是（ ）．A. 0 B. C. D. 15. 单项式的系数和次数分别是（ ）A. ，4B. ，5C. 2，4D. 2，56. 将多项式按x 的降幂排列的结果为（ ）A. B. C. D. 7. 下列说法错误的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8. 方方同学用50元钱去购买笔记本和彩色水笔共20件，已知每本笔记本4元，每支彩色水笔2元，设方方同学买了x 本笔记本，则（ ）A. B. 4410+15250-15250-727.410⨯82.7410⨯90.27410⨯92.7410⨯2023120232023-202312023-21(21)2x y -++1214222x yz -2-2-32293x xy x y -++-32239x x y xy +--22393xy x y x -+-+22393xy x y x --++32239x x y xy -+-a b =a c b c+=+a b =a c b c -=-ac bc =a b =a b c c=a b =()242050x x +-=()220450x x -+=C. D. 9. 已知a ，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是（ ）A. 0B.C.D. 410. 观察下列一组图形中点的个数的规律，第7个图中点的个数是（ ）A. 85B. 51C. 46D. 64二.填空题（本题共16分，每题2分）11. 在中，正整数有_____个，负数有____个．12. 比较大小：________（填“”或“”）．13. 某种计算机每秒运算次数是4.66亿次，4.66亿次精确到_____位，4.66亿次用科学记数法可以表示为_____次．14. 若与-3ab 3-n 的和为单项式，则m+n=_________.15. 若且，则_____．（填“＞”“＝”或“＜”）16. 点A 在数轴上，点A 所对应数用表示，且点A 到原点的距离等于3，则a 的值为________．17. 现规定一种新的运算：，若，则_____．18. 德胜中学在劳动节中组织学生进行农作物种植实践活动．已知某种农作物种植完成共需A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七个步骤，种植要求如下：①步骤C 、D 须在步骤A 完成后进行，步骤E 须在步骤B 、D 都完成后进行，步骤F 须在步骤C 、D 都完成后进行；②一个步骤只能由一名学生完成，此步骤完成后该学生才能进行其他步骤；③各个步骤所需时间如下表所示：步骤A B C D E F G的()245020x x +-=()250420x x -+=22a b a b +---+22a b +24a -218,2020,3,0,5,13,, 6.974--+-34-45-><25113m n a b -+0,0a b ><0a b +>a b 21a +a b ad bc c d =-33924x =-x =所需时间t 分钟10108108114在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此种农作物种植，则需要 _______分钟；若由两名学生合作完成此种农作物种植，则最少需要 _______分钟．三.解答题（共36分，第19题每小题16分，其余每小题16分）19. 计算：（1）；（2）；（3）；（4）．20 先化简，再求值：，其中．21 解下列方程：（1）（2）22. 已知：．若的值与字母b 的取值无关，求a 的值．四.解答题（共28分，第23、24题5分，第25题4分，第26题6分，第27题8分）23. 用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是小凯错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务：解方程：解： 第一步第二步第三步第四步第五步..()11893-+--+-()()733216⎪-+⎛-⎫- ⎝-⨯+⎭-131486424⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭()2411236⎡⎤--⨯--⎣⎦2(2)(3)4x xy x y xy +-+-1,2x y =-=()2323x x-+=+221123x x --+=2,2A ab a B ab a b =-=-++52A B -24358363x x x -+-=()()2243258x x x ⨯--=+4431016x x x -+=+4310164x x x +-=-312-=x 4x =-填空：（1）以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是________；（2）第________步开始出错，这一步的具体错误是________；（3）请直接写出该方程的正确解________．24. 小华同学准备化简：算式中“□”是“+，-，×，÷”中的某一种运算符号．（1）如果“□”是“+”，请你化简；（2）已知当时，的结果是，请你通过计算说明“□”所代表的运算符号．25. 将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对表示第m 行、从左到右第n 个数，如表示实数5．（1）图中位置上的数是 ；（2）数据39对应的有序实数对可表示为 ；（3）写出你发现的两条关于第行的规律，其中n 为自然数：① ；② ．26. 我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中相邻的三个数m 、n 、p ，总满足则称这个数列为理想数列．（1）若数列，…，是理想数列，则 ， ；（2）请写出一个由五个不同正整数组成的理想数列： ；（3）若数列…，m ，n ，p ，q ，…，是理想数列，且，求代数式()()2235362x x x x ---- ()()2235362x x x x ---- 1x =()()2235362x x x x ---- 3-(),m n ()3,2()6,5()21n +2p m n =-4,3,,10,a b --=a b =21q p -=的值．27 阅读下列材料：我们知道|x |的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即，这个结论可以推广为表示在数轴上数对应点之间的距离；在解题过程中，我们经常会应用绝对值的几何意义来帮助我们分析问题．例如在解含有绝对值的方程时，我们可以利用绝对值的几何意义把问题理解成在数轴上找一点到2的距离等于1，如图1所示，显然这样的点有2个，对应的数分别为1，3，即原方程的解为或；并且我们还可以把图中阴影部分理解成到2的距离大于1的点在数轴上所对应的取值范围，即不等式的解可表示为或；同样的，我们可以利用绝对值的几何意义把解方程的过程理解成在数轴上找到一点使它与和2的距离之和为5．（1）参考以上阅读材料，回答下列问题：①求出方程的解为 ；②若，则m 取值范围可表示为；（2）现给出如下定义：对于数轴上的任意点P 、Q ，若点P 到点Q 的距离为d （），则称d 为点P 到点Q 的追随值，记作．例如，在数轴上点P 表示的数是2，点Q 表示的数是，则点P 到点Q 的追随值为．如图，点C 表示的数是1，在数轴上有两个动点A 、B 都沿着正方向同时移动，其中A 点的速度为每秒3个单位，B 点的速度为每秒1个单位，点A 从点C 出发，点B 从点D 出发，点D 表示的数是n ，设运动时间为t （t ＞0）．①当时，问t 为何值时，点A 到点B 的追随值；②若时，点A 到点B 的追随值，求n 的取值范围．.的()()2223195n n m m n -+--+0x x =-12x x -12x x 、21x -=1x =3x =21x ->3x >1x <125x x ++-=1-32x +=24||m x x =--+0d ≥[]d PQ 5-[]7d PQ =4n =[]2d AB =03t <≤[]7d AB ≤。
北京市第四中学2020届高三上学期期中考试数学(文)试题Word版含解析
北京市第四中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{0,1,2}M =，2{|320}N x x x =-+≤，则M N I ＝（ ） A ．{1} B ．{2} C ．{0,1} D ．{1,2} 【答案】D 【解析】试题分析：∵2{|320}N x x x =-+≤{|12}x x =≤≤，又∵{0,1,2}M =，∴{1,2}M N =I . 考点：集合的交集运算. 2.设11533114,log ,73a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．b c a >> 【答案】C 【解析】试题分析：∵11533114,log ,73a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∴1a >，0b <，01c <<，∴a c b >>. 考点：比较大小.3.已知i 是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==”是“2()2a bi i +=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：当1a b ==时，22()(1)2a bi i i +=+=成立，反之，当2()2a bi i +=时，即2222a b abi i -+=，即220a b -=且22ab =，∴1a b ==或1a b ==-，∴反之不一定成立，∴ “1a b ==”是“2()2a bi i +=”的充分不必要条件. 考点：充分必要条件.4.垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是( ) A. 20x y +-= B. 10x y ++= C. 10x y +-= D. 20x y ++= 【答案】A 【解析】试题分析：∵直线垂直于直线1y x =+，∴设直线为y x b =-+，又∵直线与圆221x y +=相切， ∴12=，即2b =±，∵与圆221x y +=相切于第一象限，∴2b =，∴直线方程是20x y +-=. 考点：直线与圆相切问题.5.已知向量(,3)a k =r ，(1,4)b =r ，(2,1)c =r ，且(23)a b c -⊥r r r，则实数k ＝( )A. 92-B. 152C.3D.0 【答案】C 【解析】试题分析：∵(,3)a k =r ，(1,4)b =r ，∴23(23,6)a b k -=--r r ，∵(2,1)c =r ，且(23)a b c -⊥r r r ，∴(23)2(6)10k -⨯+-⨯=，即3k =. 考点：向量的运算. 6.若函数2()()af x x a x=+∈R ，则下列结论正确的是( ) A. a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数 B. a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数 C. a ∃∈R ，()f x 是偶函数 D. a ∃∈R ，()f x 是奇函数 【答案】C 【解析】考点：函数的单调性、奇偶性.7.已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=，则8a 的取值范围是( ) A. (2,4) B. (2,)+∞ C. (,2)-∞ D. (4,)+∞【解析】试题分析：∵等差数列{}n a 单调递增，∴0d >，∵1104a a +=，即1194a a d ++=，即1922ad =-，∴81957272222a a d d d d =+=-+=+>. 考点：等差数列的通项公式.8.已知11,1()ln ,01x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨⎪<<⎩，若函数()()g x f x kx k =-+只有一个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．(,1)(1,)-∞-+∞UB ．(1,1)-C ．[0,1]D ．(,1)][0,1]-∞-U 【答案】D 【解析】试题分析：∵函数()()g x f x kx k =-+只有一个零点，∴()y f x =与y kx k =-只有一个交点，图象如图所示，∴k 的取值范围是(,1)][0,1]-∞-U .考点：函数零点问题.二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.在等差数列{}n a 中，已知24+6a a =，则该数列前5项和5S =_______． 【答案】15试题分析：∵24156a a a a +=+=，∴1555()561522a a S +⨯===. 考点：等差数列的性质、等差数列的前n 项和.10.若变量x ，y 满足约束条件102800x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z ＝3x ＋y 的最小值为_______．【答案】1 【解析】考点：线性规划.11.在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，15a =，10b =，60A =o，则cos B =_______．6【解析】试题分析：由正弦定理得：sin sin a b A B =即01510sin 60sin B=，∴3sin 3B =，∵a b>，∴6cos 3B =. 考点：正弦定理.12.若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为_______． 【答案】22(1)1x y +-= 【解析】试题分析：∵圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，∴圆心为(0,1)，又∵圆C 的半径为1，∴圆C 的标准方程为22(1)1x y +-=. 考点：圆的标准方程.13.已知向量,a b r r ，满足||1,(2,1)a b ==r r，且0a b λ+=r r (R λ∈)，则||λ=________．【解析】试题分析：∵0a b λ+=r r ，∴b a λ=-r r ，又∵||1,(2,1)a b ==r r ，∴||||b aλ=-==rr . 考点：向量的模.14.已知实数0a >且1a ≠，函数, 3,(), 3.x a x f x ax b x ⎧<=⎨+≥⎩若数列{}n a 满足()n a f n =*()n ∈N ，且{}n a 是等差数列，则___,____.a b == 【答案】2,0 【解析】试题分析：∵, n 3,, 3.n n a a an b n ⎧<=⎨+≥⎩，∴数列{}n a 中的项分别为2,,3,4,a a a b a b ++L ，由于{}n a 是等差数列，∴223a a a b =++且22(3)(4)a b a a b +=++，∴2,0a b ==.考点：等差数列的定义.三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本题满分13分）已知函数2()cos 2sin f x x x x =-,x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期与单调增区间； （Ⅱ）求函数()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 【答案】（1）T π=，增区间为[,],36k k k ππππ-+∈Z ；（2）最小值min ()(0)0f x f ==，最大值max ()()16f x f π==.【解析】试题分析：本题主要考查倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、单调区间、三角函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用倍角公式和降幂公式以及两角和的正弦公式化简表达式，使之成为()sin()f x A x B ωϕ=++的形式，利用2||T πω=计算周期，再利用sin y x =的函数图象解不等式，求出单调递增区间；第二问，将已知x 的取值范围代入表达式，结合图象，求三角函数的最值.试题解析：()2cos21f x x x =+-12cos2)12x x =+-π2sin(2)16x =+-. （Ⅰ）()f x 的最小正周期为2ππ.2T == 令222,262k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ，解得36k x k ππππ-+≤≤+，所以函数()f x 的单调增区间为[,],36k k k ππππ-+∈Z . （Ⅱ）因为04x π≤≤，所以22663x πππ≤+≤，所以1sin(2x )126π≤+≤ ，于是 12sin(2)26x π≤+≤ ，所以0()1f x ≤≤.当且仅当0x =时，()f x 取最小值min ()(0)0f x f ==. 当且仅当262x ππ+=，即6x π=时最大值max ()()16f x f π==.考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、单调区间、三角函数的最值. 16.（本题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知1110,2,*.n n a a a S S n N ≠-=∈ (Ⅰ)求1a , 并求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n na 的前n 项和.【答案】（1）11a =，12n n a -=；（2）(1)21n n T n =-+.【解析】试题分析：本题主要考查由n S 求n a 、等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式、错位相减法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由n S 求n a ，利用11,1,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，分两部分求1a 和n a ，经判断得数列{}n a 为等比数列；第二问，结合第一问的结论，利用错位相减法，结合等比数列的前n 项和公式，计算化简.试题解析：(Ⅰ) 11S a =Q 1n ∴=时11112a a S S -=⋅.1,011=≠⇒a a 所以2n ≥时，1111111122222n n n n n n n n n a a a a a S S a a a a S S ------=-=-=-⇒= ⇒{}n a 是首项为11a =、公比为2q =的等比数列，12n n a -=，*n N ∈.考点：n S 求n a 、等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式、错位相减法. 17.（本题满分13分）在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为,,a b c 3cos cos 3c CA a=． (Ⅰ) 求A 的值； (Ⅱ) 若6B π=，BC 边上的中线7AM =ABC ∆的面积．【答案】（1）6A π=；（2）3S ∆=【解析】试题分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式、特殊角的三角函数、三角形的面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，先利用正弦定理将边转化成角，展开后，利用内角和定理转化A+C ，即可得到cos A 的值，再综合角A 的范围，求出角A ；第二问，在AMC ∆中，利用余弦定理解出AC 的边长，最后代入三角形面积公式中即可. 试题解析：（I ）因为(23)cos 3cos b c A a C =， 由正弦定理得(2sin 3)cos 3cos B C A A C =，即2sin cos cos cos B A A C C A = 3sin(A+C) ． 因为B ＝π－A －C ，所以sinB=sin(A+C)，所以2sin cos B A B =． 因为B ∈(0，π)，所以sinB ≠0，所以cos A =，因为0A π<<，所以6A π=．(Ⅱ)由（I ）知π6A B ==，所以AC BC =，23C π=．设AC x =，则12MC x =，又AM = 在△AMC 中，由余弦定理得2222cos ,AC MC AC MC C AM +-⋅=即2222()2cos,223x x x x π+-⋅⋅= 解得x ＝2.故212sin 23ABC S x π∆== 考点：正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式、特殊角的三角函数、三角形的面积公式. 18.（本小题满分13分）已知：a ∈R ，函数32()23(1)6f x x a x ax =-++， （Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）若||1a >，求()f x 在闭区间[0,2||]a 上的最小值.【答案】（1）680x y --=；（2）min23311()()01333a a f x g a a a a a -<-⎧⎪==<≤⎨⎪->⎩.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、利用导数求函数的切线方程等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将1a =代入()f x 中，对()f x 求导，(2)f 为切点的纵坐标，而'(2)f 是切线的斜率，最后利用点斜式写出直线方程；第二问，对()f x 求导，令'()0f x =，将||1a >分成两部分：1a>和1a <-进行讨论，讨论函数的单调性，利用单调性判断函数的最小值，综合所有情况，得到()g a 的解析式. 试题解析：定义域：R ，2()66(1)66(1)()f x x a x a x x a '=-++=--（Ⅰ）当1a=时，32()266f x x x x =-+，则(2)1624124f =-+=2()6126f x x x '=-+，则(2)242466f '=-+=∴()yf x =在(2,(2))f 处切线方程是： 46(2)y x -=-，即680x y --=，（Ⅱ）()6(1)()f x x x a '=--，令()0f x '=，得到1x =，x a = ①当1a>时，1,[0,2||]a a ∈，则有则最小值应该由(0)0f =与23()3f a a a =-中产生， 当13a <≤时，()(0)f a f ≥，此时min ()(0)0f x f ==；当3a >时，(0)()f f a >，此时23min ()()3f x f a a a ==-，②当1a <-时，1[0,2||]a ∈，则有则min ()()(1)31f x f x f a ===-极小值，综上所述：当||1a >时，()f x 在区间[0,2||]a 上的最小值min23311()()01333a a f x g a a a a a -<-⎧⎪==<≤⎨⎪->⎩考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、利用导数求函数的切线方程.19.（本小题满分14分）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、.（Ⅰ）若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;（Ⅱ）若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥u u u r u u u r,求直线l 的方程. 【答案】（1）2214133x y +=；（2）10x -=或10x --=. 【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出椭圆的标准方程，根据焦点坐标以及112F B B ∆为等边三角形，列出a 与b 的关系式，解出a 和b 的值，从而得出椭圆的标准方程；第二问，通过短轴长为2，得到椭圆的标准方程，再讨论直线l 的斜率是否存在，当直线的斜率存在时，与椭圆的方程联立，消参，得出12x x +、12x x ，利用向量垂直的充要条件，列出表达式，解出k 的值，从而得到直线l 的方程.试题解析：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.根据题意知2221a ba b =⎧⎨-=⎩, 解得243a =,213b = 故椭圆C 的方程为2214133x y +=. （Ⅱ）容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=. 当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=. 设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则 28(1)0k ∆=+>对任意x R ∈都成立， 2212121111222242(1) (1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++u u u r u u u r ，，，，，因为11F P FQ ⊥u u u r u u u r ,所以110F P FQ ⋅=u u u r u u u r ,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++--2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++2271021k k -==+, 解得217k =,即k =故直线l的方程为10x +-=或10x -=.考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系.20.(本小题满分14分)对于函数12(),(),()f x f x h x ，如果存在实数,a b 使得12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称()h x 为12(),()f x f x 的生成函数．（Ⅰ）下面给出两组函数，()h x 是否分别为12(),()f x f x 的生成函数？并说明理由； 第一组：12()sin ,()cos ,()sin()3f x x f x x h x x π===+；第二组：1)(,1)(,)(22221+-=++=-=x x x h x x x f x x x f ； （Ⅱ）设12212()log ,()log ,2,1f x x f x x a b ====，生成函数()h x ．若不等式23()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，求实数t 的取值范围；（Ⅲ）设121(),()(110)f x x f x x x==≤≤，取1,0a b =>，生成函数()h x 使()h x b ≥ 恒成立，求b 的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）5t <-；（3）0 4.b <≤.【解析】试题分析：本题主要考查简单的合理推理等基础知识，考查了学生对新定义的接受与应用能力，同时考查了存在性问题及最值问题，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，第二组，设222()(1)1a x x b x x x x -+++=-+，从而得111a b a b b +=⎧⎪-+=-⎨⎪=⎩，从而判断；第二问，化简122122()2()()2log log log h x f x f x x x x =+=+=，从而为22223()2()3log 2log t h x h x x x <--=--，再设2log s x =，则[1,2]s ∈，从而得232y s s =--，从而化为最值问题；第三问，将函数()h x 使()h x b ≥ 恒成立，转化成min ()b h x ≤，再分情况讨论函数()h x 的最小值，即可得到b 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）① 设sin cos sin()3a xb x x π+=+，即1sin cos sin 22a x b x x x +=+，取1,2a b ==，所以()h x 是12(),()f x f x 的生成函数． ② 设222()(1)1a x x b x x x x -+++=-+，即22()()1a b x a b x b x x +--+=-+，则111a b a b b +=⎧⎪-+=-⎨⎪=⎩，该方程组无解．所以()h x 不是12(),()f x f x 的生成函数． （Ⅱ）122122()2()()2log log log h x f x f x x x x =+=+=若不等式23()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，23()2()0h x h x t ++<，即22223()2()3log 2log t h x h x x x <--=--设2log s x =，则[1,2]s ∈，22223log 2log 32y x x s s =--=--， max 5y =-，故，5t <-． （Ⅲ）由题意，得()(110)b h x x x x=+≤≤ 1︒(1,10)，则)(x h在1[上递减，在10(,]上递增，则min h h ==110b⎧<<⎪⎨≥⎪⎩，得14b <≤ 2︒1≤，则)(x h 在]10,1[上递增，则min (1)1h h b ==+，所以11b b⎧≤⎪⎨+≥⎪⎩，得01b <≤． 3︒10≥，则)(x h 在]10,1[上递减，则min (10)1010b h h ==+，故101010b b ⎧≥⎪⎨+≥⎪⎩，无解 综上可知，0 4.b <≤ 考点：简单的合理推理.。
北京市第四十三中学2020_2021学年高一数学上学期期中试题含解析
（3）配凑法：配凑法是将 右端的代数式配凑成关于 的形式，进而求出 的解析式；
（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.
据此可知： 是 的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.
3.命题“ ， ”的否定是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用命题的否定定义得到答案.
【详解】命题“ ， ”的否定是： ，
故选
【点睛】本题考查了命题的否定，意在考查学生对于命题否定的掌握情况.
【分析】
首先可根据函数 在 上为增函数，且 ，得出函数 在 上的函数值的正负情况，然后根据函数 是偶函数，得出函数 在 上的函数值的正负值情况，最后将 转化为 ，结合函数值的大小即可得出结果.
【详解】因为函数 在 上为增函数， ，
所以当 时， ，当 时， ，
因为函数 是偶函数，
所以当 时， ，当 时， ，
【分析】
令 ，得函数 为奇函数，可得 ，令 得答案.
【详解】 ，令 ，
其中 ，所以函数 为奇函数，
即 ，
可得 ，令 ，得 ，
解得 ，
故选：C
【点睛】本题考查构造函数，利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题.
10.设偶函数 在 上为增函数，且 ，则不等式 的解集为（）
A. B.
C. D.
北京市第四十四中学2021届高三数学上学期期中试题含解析
故当 ，即 时,
取得最小值，且最小值为 ，
所以
【点睛】关键点点睛：考查了二倍角公式辅助角公式在三角函数化简中的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，其中，考查了存在性命题与全称命题的理解，理解含量词命题转化成适当的不等式是解题关键，属于中档试题.
17.如图，在几何体 中，底面 是边长为 正方形， 平面 ， ，且 ．
【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线倾斜角与斜率关系，考查基本求解能力.
7.如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
，
，
．
选B.
点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11.已知向量 ， ，若向量 与 垂直，则 _______.
【答案】7
【解析】
【分析】
利用平面向量坐标运算法则先求出 ，再由向量 与 垂直，利用向量垂直的条件能求出 的值．
【详解】 向量 ， ，
，
向量 与 垂直，
，
解得 ．
则 ，即 ，
所以 ，
令 ，则 ，
令 ，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以 取得极小值，也是最小值， 有最大值．
故选：C.
9.设 为坐标原点， 是以 为焦点的抛物线 上任意一点， 是线段 上的点，且 ,则直线 的斜率的最大值为( )
A. B. C. D.1
【答案】C
【解析】
北京市第四中2020_2021学年高二数学上学期期中试题含解析
在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可.
5.圆 与直线 相交于 、 两点，则线段 的垂直平分线的方程是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知，线段 的垂直平分线经过圆心且与直线 垂直，根据两直线垂直求出线段 的垂直平分线所在直线的斜率，然后利用点斜式可求得所求直线的方程.
9.直线 与 的交点在第四象限，则 的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
联立方程可直接求出交点坐标，令交点的横坐标大于零，纵坐标小于零，解不等式组即可.
【详解】解： 直线 与 的交点在第四象限，
，
联立方程： ，
解得 ，
即 ，
解得： .
故选：C.
10.如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在（）
北京市第四中2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分
1.已知向量 ，则下列向量与 垂直的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
计算数量积，数量积为0，即垂直．
【详解】 ， ，
， ，
只有B满足垂直．
故选：B．
2.若直线 与直线 平行，则 （）
【答案】B
【解析】
试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.
考点：空间点线面位置关系．
4.在三棱锥 中，若 ， ，那么必有（）
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2020-2021学年度第一学期期中高三年级数学学科数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 已知全集U =R ，集合{}21x A x =<，{}20B x x =-<，则(
)U A B =（ ） A. {|2}x x > B. {}02x x ≤< C. {|02}x x <≤
D. {|2}x x ≤ 2. 下列命题中的假命题．．．
是（ ）
A. ,sin x R x ∃∈=
B. ,ln x R x ∃∈=
C. 2,0∈≥∀x R x
D. ,20x x R ∀∈> 3. 已知向量(5,)a m =，(2,2)b =-，若a b -与b 共线，则实数m =（ ）
A. 1-
B. 1
C. 2
D. 5-
4. 已知()f x 是R 上的奇函数，当0x >时,()12
log f x x =,则()0f x >的解集是（ ）
A. ()1,0-
B. ()0,1
C. ()(),10,1-∞-⋃
D. ()()1,00,1- 5. 将函数()sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移3
π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ） A. sin 26x B. 2sin 23x π⎛⎫+
⎪⎝⎭
C. cos2x
D. cos2x - 6. 若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立是
A. 222a b ab +>
B. a b +≥
C. 11
a b +> D. 2b a a b
+≥ 7. 已知三角形ABC ，那么“AB AC AB AC +>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. 声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足12()10lg 110x
f x -=⨯⨯. 喷气式飞
机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dm，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）A.105倍 B. 108倍 C. 1010倍 D. 1012倍9. 函数ππ2sin,,22y x x x⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为A. B.
C.
D.
10. 已知函数 给出下列三个结论：① 当2=-a 时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞；② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③ 若1a <且0a ≠，则b R ∃∈，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-. 其中，所有正确结论的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 函数2y x =
-_________. 12. 已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 5α=. 则cos α=_________，tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=_________. 13. 已知非零向量a ，b 满足||||a a b =-，则12a b -
与b 的夹角等于_________. 14. 圆2220+-+=x y ax 与直线l 相切于点(3,1)A ，则圆的半径为_________，直线l 的方程为_________. 15. 关于x 的方程()()g x t t R =∈的实根个数记为()f t .若()ln g x x =，则()f t =_________；若
2,0,()2,0,
x x g x x ax a x ≤⎧=⎨-++>⎩()a R ∈，存在t 使得(2)()f t f t +>成立，则a 的取值范围是_________. 三、解答题（本大题共6小题，共85分）
16. 在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12
-
． （1）求b ，c 的值；
（2）求sin （B –C ）的值．
17. 已知函数()3f x x x =-，()23g x x =-. (1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；
(2)求函数()f x 在[]0,2上最大值；
(3)求证：存在唯一的0x ，使得()()00f x g x =.
18. 已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+.
(I)求f (0)值；
(II)从①121,2ωω==；②121,1ωω==这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f (x )在[,]26
ππ-上的最小值，并直接写出函数f (x )的一个周期.
19. 已知：函数()sin cos =-f x x x x .
（1）求()f π'；
（2）求证：当(0,)2x π
∈时，31
()3
f x x <； （3）若()cos f x kx x x >-对(0,)2x π
∈恒成立，求实数k 的最大值.
20. 已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M （﹣2，0）的直线l 与圆x 2+y 2＝1交于P ，Q 两点． （Ⅰ）若12
OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程； （Ⅱ）若△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线l 的斜率．
21. 对于集合M ，定义函数()1,1,.x M
M f x x M -∈⎧=∉⎨⎩
对于两个集合M ，N ，定义集合()(){|1}.M N M N x f x f x =⋅=-已知{2,A =4，6，8，10}，{1,B =2，4，8，16}． (Ⅰ)写出()1A f 和()1B f 的值，并用列举法写出集合A B ；
(Ⅱ)用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B +的最小值； (Ⅲ)有多少个集合对(),P Q ，满足P ，Q A B ⊆⋃，且()()P A Q B A B =？。