河海大学微积分试卷及答案

期末考试试卷
一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题2分，共14分.）
1. 若函数()f x 满足1()2f x f x x ⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
，则()f x =__________________________。

2. lim 1
x x
x →∞
=+______________________________________。

3. 11021lim 21
x
x x
-
→+=-___________________________________________。

4. ()
ln(1)
0lim 1cot x x x +→+=___________________________________。

5. 函数ln y x α
=（0α>）的一阶导数是__________________________________。

6.已知0y
x
x y -=，则
dy
dx
=________________________________________。

7.供给函数ln Q p C =+的弹性函数是____________________________________________。

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题2分，共14分.）
1.下列数列存在极限的是_____________。

A. 2(1)n
n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
B.
!n n n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
C. D. (){}ln sin n
2.下列函数中存在可去间断点的是_____________。

A. 1()f x x =
B. 1
()x f x e = C. ()x f x x = D. 1()sin f x x x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
3.下列命题中正确的是_____________。

A. 极限存在一定连续
B. 可导函数一定连续
C. 分段函数一定不连续
D. 连续函数在有限长度的区间内一定有界
4．设函数(),()f x g x 在点0x =的某个邻域内连续，且0
()
lim 1x g x x
→=-，
2
()
lim 2()
x f x g x →=，则下列说法正确的是______________。

A. ()f x 在0x =处不可导 B. ()f x 在0x =处可导，且'(0)0f = C. ()f x 在0x =处可导，且'(0)0f ≠ D. 无法判断
5．函数3
2
()2323f x x x x =+++在(),-∞+∞内的零点个数是______________。

A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
6．下列说法正确的是________________。

A. 函数的极值点一定是驻点
B. 如果函数()f x 在0x 处的二阶导数为0，则在该点的一阶导数也必为0
C. 函数的拐点就是二阶导数为0的点
D. 如果函数()f x 在区间(,)a b 内的二阶导数大于0，则()f x 在区间(,)a b 内至多有一个极值点。

7．函数12
1
x x
e
y x +
=
-的渐近线的条数是 A.2 B. 3 C. 4 D. 5
三、求极限（请写出主要计算步骤及结果，每小题4分，共12分.）
1．21lim (sin cos )n n n n →∞+ 2．2
201lim 12x x x →⎛
⎫- ⎪⎝⎭
3.201sin lim ln x x x x →
四、求导数（请写出主要计算步骤及结果，每小题4分，共12分.） 1．1
ln y x
=
2．csc x y x =
3. y =五、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.）
已知()f x 在0x =的某个邻域内有定义且在这一点存在导数'(0)1f =，,a b 为已知
常数，试求极限0()()
lim
x f ax f bx x
→-。

六、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.）
2
xy e =，求dy 。

七、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.）
求函数ln y x x =的n 阶导数。

八、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.） 求函数x
y xe
-=的拐点及凹向区间。

九、应用题（请写出主要计算步骤及结果，共8分.）
已知某厂商生产某产品的固定成本为100元，单位变动成本为1元，市场对该产品的需求函数为
210000,Q p -=
并假定生产和销售这种产品的厂商只有这一家。

试求：
（1） 市场对该产品的需求价格弹性以及实现厂商利润最大化的产量与销售价格；
（2） 若政府出台新的税收政策，对每1单位产品征收1元的产品税，求在新的税收政策
下实现厂商利润最大化的产量与销售价格。

十、证明题（请写出推理步骤及结果，8分.）
已知函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导，且存在相等的最大值，并且()(), ()()f a g a f b g b ==。

试证： （1） 存在(,)a b η∈使得()()f g ηη=； （2） 存在(,)a b ξ∈使得''()''()f g ξξ=。

期末考试试卷答案和评分标准
一、填空题（每小题2分，共14分）
1．2133x x -
- 2．0 3．1-
4．不存在 5．
x
α 6．22ln ln y xy y x xy x
--
7．1
ln p C
+
二、单项选择题（每小题2分，共14分）
1.B
2.D
3.B
4.B
5.A
6.D
7.C
三、求极限（请写出主要计算步骤及结果，每小题4分，共12分.）
1．21
lim 0, sin cos 2,n n n n →∞=+≤ (2分)
21
lim (sin cos )0n n n n
→∞+= (4分)
2． 2
22
22222000111lim 1lim exp ln 1exp lim ln 122222x x x x x x x x x →→→⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ （1分） 221111exp lim ln 1exp lim ln 1222t t t t t t →+∞→+∞⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ （2分）
111212exp lim exp(0)11t t →+∞⎛
⎫• ⎪- ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
（4分） 3. 222
001sin 1sin 1sin lim
ln lim ln 1lim x x x x x x x x
x x x x x x →→→--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
（2分） 3200sin cos 1
lim
lim 3x x x x x x x
→→--== （3分） 2
202sin 12lim
.36
x x
x →-==- （4分） 四、求导数（请写出主要计算步骤及结果，每小题4分，共12分.）
1．()
(
)'
21
'ln ln y x x =-
（2分） ()
2
1
ln x x =-
（4分）
2．两边取对数，得
ln csc ln y x x = （1分）
两边对x 求导数，得
'1
csc cot ln csc ,y x x x x y x
=-••+ （2分） 得
csc 1'csc cot ln csc .x y x x x x x x ⎛⎫
=-••+ ⎪⎝⎭
（4分）
3. '
'y x =
+ （2分）
'1x ⎛⎫=⎪⎪⎭ （3分）
11⎛⎫=+⎪⎪⎭
（4分）
五、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.）
解：由导数的定义，得
()0
0()(0)()(0)()()
lim
lim x x f ax f f bx f f ax f bx x x
→→----= （3分） 0
0()(0)()(0)
lim
lim
x x f ax f f bx f a b ax bx
→→--=- （6分） '(0)'(0).af bf a b =-=- （8分）
六、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.） 解：方程两边取对数，得 211
ln ln ,22
x y xy --= （3分） 两边取微分，得
2112,22dx dy
y dx xydy x y
-
-=+ （6分） 解得
()3
2224y xy dy dx x y x
+=-+ （8分）
七、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.）
解：'1ln ,y x =+ （2分）
()''
1''1ln ,y x x
=+= （4分）
(2)
()
(2)
1
1(2)!
(1).n n n n n y
x x
----⎛⎫==- ⎪⎝⎭
（8分）
八、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.）
解：(1), 0,(2), 0,
'1, 0 '', 0,(1), 0.(2), 0.x x x x x e x x e x y x y x x e x x e x --⎧⎧->->⎪⎪
====⎨⎨⎪⎪+<+<⎩⎩
不存在 （3分）
令''0y =解得
122, =2,x x =- （4分）
当(,2)x ∈-∞-时''0y <，图像下凹； 当(2,0)x ∈-时''0y >，图像上凹； 当(0,2)x ∈时''0y <，图像下凹；
当(2,)x ∈+∞时''0y >，图像上凹； （6分） 函数的拐点为
22(2,2), (2,2), (0,0).e e ---- （8分）
九、应用题（请写出主要计算步骤及结果，共8分.）
解：（1）需求价格弹性为：'()
2()
EQ Q p p Ep Q p ==- （1分） 总利润函数为
1/2()()()()()100100L Q R Q C Q Q p Q C Q Q Q =-=•-=-- （2分）
1/23/2
50'()501, ''(),2
L Q Q L Q Q --=-=- 由'()0L Q =解得
02500Q = （3分）
且在这一点处的二阶导数值小于0，因此这一点是极大值点，也是最大值点，此时的价格为
0 2.p = （4分） （2）新的税收政策出台后厂商的总利润函数为
1/2()()()1001002L Q R Q C Q T Q Q =--=-- （5）
1/23/2
50'()502, ''(),2
L Q Q L Q Q --=-=- 由'()0L Q =解得
1625Q = （7分）
且在这一点处的二阶导数值小于0，因此这一点是极大值点，也是最大值点，此时的价格为
1 4.p = （8分）
十、证明题（请写出推理步骤及结果，8分.）
（1）.证明：设M 是()f x 与()g x 共有的最大值，并设()f x 在1(,)x a b ∈处取得最大值M ，()g x 在2(,)x a b ∈处取得最大值M ，令()()()x f x g x ϕ=-，则
12()0, ()0.x x ϕϕ≥≤ （2分） 如果12x x =，则令1x η=便有()()f g M ηη==。

如果12x x ≠，不妨设12x x <，则由连续函数的性质，存在12[,]x x η∈使得()0ϕη=，即()()f g ηη=。

（4分）
（2）由题设，()()0a b ϕϕ==，又在（1）小题中已经证明存在η使得()0ϕη=，因此由罗尔中值定理，存在12(,), (,)a b ξηξη∈∈使得
12'()'()0,f f ξξ== （6分）
再次利用罗尔中值定理，存在12(,)ξξξ∈使得''()0f ξ=。

（8分）。