山阴县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

山阴县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k =
A 、22
B 、23
C 、24
D 、25
2． 下列结论正确的是（ ）
A ．若直线l ∥平面α，直线l ∥平面β，则α∥β．
B ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则α∥β．
C ．若直线l 1，l 2与平面α所成的角相等，则l 1∥l 2
D ．若直线l 上两个不同的点A ，B 到平面α的距离相等，则l ∥α
3． （2011辽宁）设sin （
+θ）=，则sin2θ=（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．
D ．
4． 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别为（ ）
A ．10 13
B ．12.5 12
C ．12.5 13
D ．10 15
5． 已知函数，，若，则（ ）
A1 B2 C3 D-1
6． 如图可能是下列哪个函数的图象（ ）
A ．y=2x ﹣x 2﹣1
B ．y=
C ．y=（x 2﹣2x ）e x
D ．y=
7． 抛物线x 2=4y 的焦点坐标是（ ）
A ．（1，0）
B ．（0，1）
C ．（）
D ．（）
8． 独立性检验中，假设H 0：变量X 与变量Y 没有关系．则在H 0成立的情况下，估算概率P （K 2
≥6.635）
≈0.01表示的意义是（ ）
A ．变量X 与变量Y 有关系的概率为1%
B ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99%
C ．变量X 与变量Y 有关系的概率为99%
D ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99.9%
9． 对某班学生一次英语测验的成绩分析，各分数段的分布如图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（ ）
A ．92%
B ．24%
C ．56%
D ．5.6% 10．若函数y=x 2+bx+3在[0，+∞）上是单调函数，则有（ ）
A ．b ≥0
B ．b ≤0
C ．b ＞0
D ．b ＜0
11．已知集合},052|{2
Z x x x x M ∈<+=，},0{a N =，若∅≠N M ，则=a （ ） A ．1- B ． C ．1-或 D ．1-或2- 12．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）
A ． 2
B ．4
C ．
34 D ．3
8
【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.
二、填空题
13．设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），则数列
{
}的前10项的和为 ．
14．设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数有_________个．
15．设平面向量()1,2,3,i a i =，满足1i
a =且120a a ⋅=，则12a a += ，123a a a ++的最大
值为 .
【命题意图】本题考查平面向量数量积等基础知识，意在考查运算求解能力. 16．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值等于_________. 17．下列命题：
①函数y=sinx 和y=tanx ②若函数f （x ）在[a ，b]上满足f （a b ）上至少有一个零点； ③数列{a n }为等差数列，设数列{a n }，S n 最大值为S 5； ④在△ABC 中，A ＞B 的充要条件是⑤
其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）．
18．在空间直角坐标系中，设(，
m A =m . 三、解答题
19．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1 中，AA 1BC 的中点，AE ⊥
A1B1，D为棱A1B1上的点．
（1）证明：DF⊥AE；
（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．
20．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．
（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；
（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．
21．设a，b互为共轭复数，且（a+b）2﹣3abi=4﹣12i．求a，b 的值．
22．在平面直角坐标系XOY中，圆C：（x﹣a）2+y2=a2，圆心为C，圆C与直线l1：y=﹣x的一个交点的横坐标为2．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线l2与l1垂直，且与圆C交于不同两点A、B，若S△ABC=2，求直线l2的方程．
23．数列{a n}满足a1=，a n∈（﹣，），且tana n+1•cosa n=1（n∈N*）．
（Ⅰ）证明数列{tan2a n}是等差数列，并求数列{tan2a n}的前n项和；
（Ⅱ）求正整数m，使得11sina1•sina2•…•sina m=1．
24．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）求证：BD⊥AE．
山阴县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】1237k a a a a a =++++176
72
a d ⨯=+
121(221)d a d ==+-， ∴22k =． 2． 【答案】B
【解析】解：A 选项中，两个平面可以相交，l 与交线平行即可，故不正确； B 选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；
C 选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；
D 中选项也可能相交． 故选：B ．
【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
3． 【答案】A
【解析】解：由sin （
+θ）=sin
cos θ+cos
sin θ=
（sin θ+cos θ）=，
两边平方得：1+2sin θcos θ=，即2sin θcos θ=﹣，
则sin2θ=2sin θcos θ=﹣．
故选A
【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题． 4． 【答案】C
【解析】解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标， ∴中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5，众数是12.5
而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y 轴的直线横坐标 第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3：2即可 ∴中位数是13 故选：C ．
【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距
×，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．
5．【答案】A
【解析】g（1）=a﹣1，
若f[g（1）]=1，
则f（a﹣1）=1，
即5|a﹣1|=1，则|a﹣1|=0，
解得a=1
6．【答案】C
【解析】解：A中，∵y=2x﹣x2﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，
∴函数y=2x﹣x2﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；
B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，
∴B中的函数不满足条件；
C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0；
且y=e x＞0恒成立，
∴y=（x2﹣2x）e x的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；
∴C中的函数满足条件；
D中，y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，
∴y=＜0，∴D中函数不满足条件．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征，是综合性题目．
7．【答案】B
【解析】解：∵抛物线x2=4y中，p=2，=1，焦点在y轴上，开口向上，
∴焦点坐标为（0，1），
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线x2=2py的焦点坐标为（0，），属基础题．
8． 【答案】C
【解析】解：∵概率P （K 2
≥6.635）≈0.01， ∴两个变量有关系的可信度是1﹣0.01=99%，
即两个变量有关系的概率是99%，
故选C ．
【点评】本题考查实际推断原理和假设检验的应用，本题解题的关键是理解所求出的概率的意义，本题是一个基础题．
9． 【答案】C
【解析】解：这次测验的优秀率（不小于80分）为
0.032×10+0.024×10=0.56 故这次测验的优秀率（不小于80分）为56%
故选C
【点评】在解决频率分布直方图时，一定注意频率分布直方图的纵坐标是．
10．【答案】A
【解析】解：抛物线f （x ）=x 2
+bx+3开口向上，
以直线x=﹣为对称轴，
若函数y=x 2
+bx+3在[0，+∞）上单调递增函数，
则﹣≤0，解得：b ≥0，
故选：A ．
【点评】本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
11．【答案】D 【解析】
试题分析：由{
}
{}1,2,025
,0522
--=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈<<-
=∈<+=Z x x x Z x x x x M ，集合{}a N ,0=， 又φ≠N M ，1-=∴a 或2-=a ，故选D ． 考点：交集及其运算． 12．【答案】B
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），
∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，
∴a n=．
∴=2．
∴数列{}的前n项的和S n=
=
=．
∴数列{}的前10项的和为．
故答案为：．
14．【答案】1
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】设
设
，则
因为
，
所以，所以
因此，存在唯一的点M ，使成立。

故答案为：
15．【答案】2，21+. 【解析】∵22
2
12112221012a a a a a a +=+⋅+=++=，∴122a a +=，
而2
2
2123
121233123()2()2221cos ,13a a a a a a a a a a a a ++=+++⋅+=+⋅⋅<+>+≤+，
∴12321a a a ++≤，当且仅当12a a +与3a 1.
16．【答案】6
【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．第1次运行后，9,2,2,S T n S T ===>；第2次运行后，
13,4,3,S T n S T ===>；第3次运行后，17,8,4,S T n S T ===>；第4次运行后，21,16,5,S T n S T ===>；第5次运行后，25,32,6,S T n S T ===<，此时跳出循环，输出结果6n =程
序结束．
17．【答案】 ②③④⑤
【解析】解：①函数y=sinx 和y=tanx 在第一象限都是增函数，不正确，取x=
，
，但是
，
，因此不是单调递增函数；
②若函数f （x ）在[a ，b]上满足f （a ）f （b ）＜0，函数f （x ）在（a ，b ）上至少有一个零点，正确；
③数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＞0，S 11＜0，∴
=5（a 6+a 5）＞0，
=11a 6＜0，
∴a 5+a 6＞0，a 6＜0，∴a 5＞0．因此S n 最大值为S 5，正确；
④在△ABC 中，cos2A ﹣cos2B=﹣2sin （A+B ）sin （A ﹣B ）=2sin （A+B ）sin （B ﹣A ）＜0⇔A ＞B ，因此正确；
⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强，正确． 其中正确命题的序号是 ②③④⑤．
【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、线性回归分析，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
18．【答案】1 【解析】 试题分析：()()()()22131112
22=-+--+-=
m AB ，解得：1=m ，故填：1.
考点：空间向量的坐标运算
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）证明：∵AE ⊥A 1B 1，A 1B 1∥AB ，∴AE ⊥AB ， 又∵AA 1⊥AB ，AA 1⊥∩AE=A ，∴AB ⊥面A 1ACC 1， 又∵AC ⊂面A 1ACC 1，∴AB ⊥AC ，
以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A ﹣xyz ，
则有A （0，0，0），E （0，1，），F （，，0），A 1（0，0，1），B 1（1，0，1）， 设D （x ，y ，z ），且λ∈，即（x ，y ，z ﹣1）=λ（1，0，0），
则 D （λ，0，1），所以=（，，﹣1），
∵
=（0，1，），∴
•=
=0，所以DF ⊥AE ；
（2）结论：存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为．
理由如下：
设面DEF 的法向量为=（x ，y ，z ），则
，
∵=（，，），=（，﹣1），
∴，即，
令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．
由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），
∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，
∴|cos＜，＞|==，即=，
解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．
【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，
所以该考场有10÷0.25=40人，
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为：
40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；
（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：
×=2.9；
（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，
所以还有2人只有一个科目得分为A，
设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，
则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：
Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．
设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，
则P（B）=．
【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容．
21．【答案】
【解析】解：因为a，b互为共轭复数，所以设a=x+yi，则b=x﹣yi，a+b=2x，ab=x2+y2，
所以4x2﹣3（x2+y2）i=4﹣12i，
所以，解得，
所以a=1+i，b=1﹣i；
或a=1﹣i，b=1+i；
或a=﹣1+i，b=﹣1﹣i；
或a=﹣1﹣i，b=﹣1+i．
【点评】本题考查了共轭复数以及复数相等；正确设出a，b 是解答的关键．
22．【答案】
【解析】解：（1）由圆C与直线l1：y=﹣x的一个交点的横坐标为2，
可知交点坐标为（2，﹣2），
∴（2﹣a）2+（﹣2）2=a2，解得：a=2，
所以圆的标准方程为：（x﹣2）2+y2=4，
（2）由（1）可知圆C的圆心C的坐标为（2，0）
由直线l2与直线l1垂直，直线l1：y=﹣x可设直线l2：y=x+m，
则圆心C到AB的距离d=，
|AB|=2=2
所以S△ABC=|AB|•d=•2•=2
令t=（m+2）2，化简可得﹣2t2+16t﹣32=﹣2（t﹣4）2=0，
解得t=（m+2）2=4，
所以m=0，或m=﹣4
∴直线l2的方程为y=x或y=x﹣4．
23．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵对任意正整数n，a n∈（﹣，），且tana n+1•cosa n=1（n∈N*）．
故tan2a n+1==1+tan2a n，
∴数列{tan2a n}是等差数列，首项tan2a1=，以1为公差．
∴=．
∴数列{tan2a n}的前n项和=+=．
（Ⅱ）解：∵cosa n＞0，∴tana n+1＞0，．
∴tana n=，，
∴sina1•sina2•…•sina m=（tana1cosa1）•（tana2•cosa2）•…•（tana m•cosa m）
=（tana2•cosa1）•（tana3cosa2）•…•（tana m•cosa m﹣1）•（tana1•cosa m）
=（tana1•cosa m）==，
由，得m=40．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
24．【答案】
【解析】
【分析】（Ⅰ）连接FO，则OF为△BDE的中位线，从而DE∥OF，由此能证明DE∥平面ACF．
（Ⅱ）推导出BD⊥AC，EC⊥BD，从而BD⊥平面ACE，由此能证明BD⊥AE．
【解答】证明：（Ⅰ）连接FO，∵底面ABCD是正方形，且O为对角线AC和BD交点，
∴O为BD的中点，
又∵F为BE中点，
∴OF为△BDE的中位线，即DE∥OF，
又OF⊂平面ACF，DE⊄平面ACF，
∴DE∥平面ACF．
（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC，
∵EC⊥平面ABCD，∴EC⊥BD，
∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥AE．。