【走向高考】2021届高考数学一轮总温习 7-1不等式的性质及解法课后强化作业新人教B版(1)

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【走向高考】2021届高考数学一轮总温习 7-1不等式的性质及解法课后强化作业新
人教B 版
基础巩固强化
一、选择题
1．不等式⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x －2x >x －2
x 的解集是( ) A ．(0,2) B ．(－∞，0)
C ．(2，＋∞)
D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)
[答案] A
[解析] ∵⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x －2x >x －2x ，∴x －2x <0，即x (x －2)<0.解得0<x <2，选A. 2．(文)假设a 1
b
B.
1a －b >1
b
C.－a >－b
D ．|a |>－b
[答案] B
[解析] 取a ＝－2，b ＝－1，一一查验即可知选B. (理)设00，∴ab >b 2，因此
A 不正确；同理可知C 不正确；由函数y ＝(1
2
)x 在
R 上是减函数得，当0(12)b >(12)a >(12)1，即12<(12)a <(12)b ，因此B 正确；同理可知D 不正确．综上所述，选B.
[点评] 可取特值a ＝12，b ＝1
4
查验．
3．(文)已知不等式ax 2－bx －1≥0
的解集是[－12，－1
3
]，那么不等式x 2－bx －a <0的解集是( )
A ．(2,3)
B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C ．(13，12)
D ．(－∞，13)∪(1
2
，＋∞)
[答案] A
[解析] 由题意知－12、－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，由韦达定理得，－12＋(－13)＝b a ，－12×(－13)＝－1
a .
∴a ＝－6，b ＝5，
不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，∴2<x <3.
(理)关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，那么a 的最大值与最小值的和是( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 [答案] C
[解析] 方程x 2－ax －20a 2＝0的两根是x 1＝－4a ，x 2＝5a ，那么由关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，得|x 1－x 2|＝|9a |≤9，即－1≤a ≤1，且a ≠0，应选C.
4．已知a 1<a 2<a 3<0，那么使得(1－a i x )2<1(i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a 1，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1，0 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 3，0 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a 3，0 [答案] B
[解析]
由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
－1<1－a 1x <1，－1<1－a 2x <1，
－1<1－a 3
x <1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2
a 1<x <0，2
a
2<x <0，
2a
3
<x <0.
∵a 1<a 2<a 3<0，∴0>2a 1>2a 2>2
a 3
，
∴2
a 1
<x <0，应选B.
5．(文)(2021·北京东城区统一检测)“x 2－2x －3>0成立”是“x >3成立”的( ) A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也没必要要条件
[答案] B
[解析] 由x 2－2x －3>0得x <－1或x >3，因此x 2－2x －3>0是x >3成立的必要不充分条件．
(理)(2021·汉中一模)假设a 、b 均为不等于零的实数，给出以下两个条件．条件甲：关于区间[－1,0]上的一切x 值，ax ＋b >0恒成立；条件乙：2b －a >0，那么甲是乙的( )
A ．充分没必要要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也没必要要条件 [答案] A
[解析] ∵当x ∈[－1,0]时，恒有ax ＋b >0成立， ∴当x ＝－1时，b －a >0，当x ＝0时，b >0， ∴2b －a >0，∴甲⇒乙；但乙推不出甲，例如：a ＝32b ，b >0时，那么2b －a ＝1
2
b >0，
可是，当x ＝－1时，a ·(－1)＋b ＝－32b ＋b ＝－1
2b <0，
∴甲是乙的充分没必要要条件．
6．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，那么M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝N D ．不确信
[答案] B
[解析] 由题意得M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)>0，故M >N ，选B. 二、填空题
7．(文)(2021·扬州期末)若a 1<a 2，b 1a 1b 2＋a 2b 1
[解析] 作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，∵a 1<a 2，b 10，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.
(理)(2021·南京一模)给出以下四个命题： ①若a >b >0，那么1a >1
b
；
②若a >b >0，那么a －1a >b －1
b
；
③若a >b >0，那么2a ＋b a ＋2b >a
b
；
④设a ，b 是互不相等的正数，那么|a －b |＋
1a －b
≥2.
其中正确命题的序号是________(把你以为正确命题的序号都填上)． [答案] ②
[解析] ①作差可得1a －1b ＝b －a ab ，而a >b >0，那么b －a ab <0，∴①错误．②若a >b >0，那么1a <1
b
，进而可
得－1a >－1b ，因此可得a －1a >b －1b 正确．∵
2a ＋b
a ＋2b
－a b
＝
b 2a ＋b －a a ＋2b
a ＋2
b b
＝
b 2－a 2a ＋2b b
＝
b －a b ＋a
a ＋2
b b
<0，∴③错误．④当a －b <0时此式不成立，∴④错误．
8．(2021·河南洛阳统考)已知函数f (x )＝x 2＋
2
x ，g (x )＝(1
2
)x －m ，假设∀x 1∈[1,2]，∃x 2∈[－1,1]，使得
f (x 1)≥
g (x 2)，那么实数m 的取值范围是________．
[答案] [－5
2
，＋∞)
[解析] 要使对∀x 1∈[1,2]，∃x 2∈[－1,1]，使得f (x 1)≥g (x 2)，只需使f (x )在区间[1,2]上的最小值大于等于g (x )在区间[－1,1]上的最小值即可．因为f ′(x )＝2x 3－1
x
2
≥0对x ∈[1,2]恒成立，因此函数f (x )在区间[1,2]上单调递增，从而函数f (x )在区间[1,2]上的最小值为f (1)＝3.易知函数g (x )在区间[－1,1]上单调递减，故函数g (x )在区间[－1,1]上的最小值为g (1)＝12－m .由题意得3≥12－m ，解得m ≥－52
.
9．(文)已知f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
1
x ≥0，0 x <0，
那么不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．
[答案] (－∞，1]
[解析] 原不等式化为①⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ≤2x ≥0或②⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤2，
x <0
它们的解集别离为[0,1]，(－∞，0)，取并集得原不等式的解集为(－∞，1]．
(理)已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x >0，0，x ＝0，
－1，x <0，那么不等式x 2－(x ＋1)sgn x －1>0的解集是________．
[答案] {x |x <－1或x >2}
[解析] 不等式x 2－(x ＋1)sgn x －1>0化为
⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x 2－x －2>0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，x 2－x ＋1×0－1>0，或⎩⎪⎨⎪⎧
x <0，
x 2＋x >0.
∴x >2或x <－1. 三、解答题
10．某产品生产厂家依照以往的生产销售体会取得下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总本钱为G (x )(万元)，其中固定本钱为2万元，而且每生产1百台的生产本钱为1万元(总本钱＝固定本钱＋生产本钱)；销售收入R (x )(万元)知足：
R (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
－0.4x 2＋4.2x －0.80≤x ≤510.2 x >5，
假定该产品产销平稳，那么依照上述统计规律． (1)要使工厂有获利，产量x 应操纵在什么范围内？ (2)工厂生产多少台产品时，可使获利最多？ [解析] 依题意，G (x )＝x ＋2 设利润函数为f (x )，那么
f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－0.4x 2＋3.2x －2.80≤x ≤5，8.2－x x >5.
(1)要使工厂有获利，即解不等式f (x )>0，当0≤x ≤5时，解不等式－0.4x 2＋3.2x －2.8>0 即x 2－8x ＋7<0，得1<x <7， ∴1<x ≤5.
当x >5时，解不等式8.2－x >0，得 x <8.2， ∴5<x <8.2
综上所述，要使工厂获利，x 应知足1<x <8.2，即产品产量应操纵在大于100台，小于820台的范围内． (2)0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6 故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6 而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2
因此，当工厂生产400台产品时，获利最多. 能力拓展提升一、选择题
11．(文)已知a >b >0，且ab ＝1，设c ＝2
a ＋b
，P ＝log c a ，N ＝log c b ，M ＝log c (ab )，那么有( )
A ．P <M <N
B ．M b >0，且ab ＝1，
因此a >1,02ab ＝2，
c ＝2
a ＋b
<1，
因此log c a <log c (ab )<log c b ，即P <M <N ，选A.
(理)已知0<a 0
B ．2a －b <
12
C ．2b a ＋a b <12
D ．log 2a ＋log 2b <－2
[答案] D
[解析] 当a ＝14，b ＝3
4时A 不成立；
对B 有
2a －b <
1
2
⇒2a －b <2－1⇒a －b <－1，又a ＋b ＝1，可得a <0，与a >0矛盾；
对C 有2b a ＋a b <12⇒2b a ＋a b <2－1⇒b a ＋a b <－1，与b a ＋a
b
>2(∵a ≠b ，且a >0，b >0)矛盾，应选D.
12．(文)已知x ∈R ，A ＝(x ＋3)(x ＋7)，B ＝x 2＋9x ＋20，那么A 、B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A ＝B C ．A 1时A >B ，当x ＝1时A ＝B ，当x <1时A a B ．a >c ≥b C ．c >b >a D ．a >c >b [答案] A
[解析] 解法1：特值法：令a ＝0，那么b ＝1，c ＝5， ∴c >b >a ，排除B 、D ；
令c ＝b ，那么a ＝2，∴b ＝c ＝5，也知足b >a ，排除C ，选A. 解法2：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，
∴c ≥b ，已知两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2， ∵1＋a 2－a ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋3
4
>0， ∴1＋a 2>a ，∴b >a ，∴c ≥b >a .
13．(2021·安徽名校模拟)已知a ∈[－1,1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，那么x 的取值范围为( )
A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)
B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)
D ．(1,3) [答案] C
[解析] 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，那么f (a )>0关于任意的
a ∈[－1,1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0且f (1)＝x 2－3x ＋2>0即可，联立方程并解得x <1或x >3.
二、填空题
14．(文)假设关于x 的不等式2x 2－(2a ＋1)x ＋a <0的整数解有且仅有一、2，那么实数a 的取值范围是________．
[答案] (2,3]
[解析] 将不等式变形为：(2x －1)(x －a )<0，由题设条件知a >12，∴1
2
<x <a ，
∵不等式的整数解有且仅有一、2，∴2<a ≤3.
(理)已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，比较S 3a 3与S 5a 5
的大小，结果为________．
[答案]
S 3a 3<S 5a 5
[分析] 能够利用等比数列前n 项和公式将两个式子表示出来，再作差进行比较，但应注意对公比的分类讨论．
[解析] 当q ＝1时，S 3a 3
＝3，S 5a 5
＝5，因此S 3a 3<S 5a 5
；
当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝
a 11－q 3a 1q 21－q
－
a 11－q 5a 1q 41－q
＝
q 21－q 3－1－q 5
q 41－q
＝－q －1q
4
<0，因此有S 3a 3<S 5a 5
.
综上可知S 3a 3<S 5a 5
.
三、解答题
15．已知b >a >0，x >y >0，求证：x
x ＋a >
y
y ＋b
.
[解析] ∵x >y >0，∴0<1x <1
y
，
∵b >a >0，∴0<a x 
y
y ＋b
.
16．(文)已知函数f (x )＝(ax －1)e x ，a ∈R . (1)当a ＝1时，求函数f (x )的极值；
(2)假设函数f (x )在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a 的取值范围． [解析] (1)因为f ′(x )＝(ax ＋a －1)e x ，
因此当a ＝1时，f ′(x )＝x e x ，令f ′(x )＝0，那么x ＝0，因此f (x )，f ′(x )的转变情形如下表：
x (－∞，0) 0 (0，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ f (x )
↘
极小值
↗
因此x ＝0(2)因为f ′(x )＝(ax ＋a －1)e x ，函数f (x )在区间(0,1)上是单调增函数，因此f ′(x )≥0对x ∈(0,1)恒成立．
又e x >0，因此只要ax ＋a －1≥0对x ∈(0,1)恒成立，
解法一：设g (x )＝ax ＋a －1，那么要使ax ＋a －1≥0对x ∈(0,1)恒成立，只要⎩
⎪⎨⎪⎧
g 0≥0，
g 1≥0，成立，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a －1≥0，
2a －1≥0，
解得a ≥1. 解法二：要使ax ＋a －1≥0对x ∈(0,1)恒成立，因为x >0，因此a ≥
1
x ＋1
对x ∈(0,1)恒成立，
因为函数g (x )＝
1
x ＋1
在(0,1)上单调递减，
∴g (x )≤1，∴a ≥1.
(理)(2021·金华模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)假设m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)假设a >0，且0<x <m <n <1
a
，比较f (x )与m 的大小．
[解析] (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )(a ≠0)，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.
当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a
，
∴x －m <0,1－an ＋ax >0. ∴f (x )－m <0，即f (x )<m . 考纲要求
1．了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景．
3．了解证明不等式的大体方式——比较法． 4．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
5．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
6．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
补充材料
1．实际应用中不等关系与数学语言间的转换
将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时，应注意关键性的文字语言与对应数学符号之间的正确转换．
2．利用不等式性质求数(式)的取值范围
应用不等式的性质求多个变量线性组合的范围问题时，由于变量间彼此制约，“取等号”的条件会有所不同，故解此类题目要专门警惕．一样来讲，可采纳整体换元或待定系数法解决．
3．数的大小比较
比较数或式的大小时，能够利用不等式的性质进行比较；也能够作差(与0比)和作商(与1比)比较；还能够利用函数的单调性进行比较，要注意结合题目的特点选取适当的方式．
4．含参数的不等式问题
一样分为两类：一类是已知参数的取值范围，求不等式的解；另一类是求使不等式有解(或恒成立)的参数的取值范围，求解时要注意分类讨论．
关于含参数的一元二次不等式，往往既要按二次项系数a 的正负分类，又要按判别式Δ的符号分类．
5．恒成立问题
一样地，a >f (x )恒成立，f (x )的最大值为M ，那么a >M ；
a <f (x )恒成立，f (x )的最小值为m ，那么a <m .
6．求解含参不等式恒成立问题的经常使用方式
(1)变换主元，转化为一次函数问题；
(2)转化为二次函数或二次方程，利用根的判别式或数形结合思想求解．
(3)分离参变量，构造函数求最值．
7．不等式的解法
(1)分式不等式的解法
先通分化为一边为f x g x ，一边为0的形式，再等价转化为整式不等式．注意A B >0⇔A ·B >0；A B
<0⇔A ·B <0；
A B ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ A ·B ≥0B ≠0；A B ≤0⇔⎩
⎪⎨⎪⎧ A ·B ≤0B ≠0. 若是用去分母的方式，必然要考虑分母的符号．
(2)高次不等式的解法
只要求会解可化为一边为0，另一边可分解为一次或二次的积式的，解法用穿根法，要注意穿根时“奇过偶只是”．
(3)含绝对值不等式的解法：一是令每一个绝对值式为0，找出其零点作为分界点，分段讨论；二是平方式．
(4)含根号的不等式解法，一是换元法，二是平方式．
(5)解含参数的不等式时，要对参数分类讨论(常见的有一次项系数含字母、二次项系数含字母、二次不等式的判别式Δ、指对不等式中的底数含参数等)．
(6)超越不等式讨论解的个数可用图解法．
8．(1)无理不等式和含绝对值的不等式多数题目都能够用平方式求解，平方后要注意取值范围是不是发生转变．(2)关于不等式解集的选择题，大多能用查验排除法求解．(3)去掉绝对值号时能够用绝对值的概念．(4)含无理式时，必需注意概念域的制约．(5)注意方程的根、函数的零点，不等式解集的端点三者之间的关系．
备选习题
1．设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝5－12
，那么( ) A ．a log 33＝12
，因此c <a x 2－2x ＋5成立，∴m >5，应选B.
3．设a ＋b <0，且b >0，那么( )
A ．b 2>a 2>ab
B ．b 2<a 2<－ab
C ．a 2<－ab －ab >b 2 [答案] D
[解析] 由a ＋b <0，b >0，可得a <0,00，b 2＋ab ＝b (b ＋a )<0，可知B 错误，D 正确．
[点评] 可对a 、b 取特值查验．
4．(2021·山东莱州一中质检)不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <4}，那么不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为( )
A ．{x |x >12或x <14
} B ．{x |x <14} C ．{x |x >12
} D ．{x |12<x <14} [答案] A
[解析] 由条件知a <0且b a ＝－6，c a
＝8，∴b ＝－6a ，c ＝8a ，∴不等式cx 2＋bx ＋a <0化为8ax 2－6ax ＋a <0，
∴8x 2－6x ＋1>0，∴x <14或x >12
，应选A. 5．(2021·西安模拟)设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3
的取值范围是( ) A ．(0，5π6
) B ．(－π6，5π6) C ．(0，π)
D ．(－π6
，π) [答案] D
[解析] 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3
<π. 6．设A ＝log 202120141111＋120142222＋1，B ＝log 202120142222＋120143333＋1
，那么A 与B 的大小关系为________． [答案] A >B
[解析] 设20211111＝x ，那么x >1， A ＝log 2021x ＋1x 2＋1，B ＝log 2021x 2＋1x 3＋1， ∵x ＋1
x 2＋1－x 2＋1x 3＋1＝x x －1
2x 2＋1x 3＋1>0，
y ＝log 2021x 为增函数，
∴log 2021x ＋1x 2＋1>log 2021x 2＋1x 3＋1，即A >B .。

【走向高考】2021届高考数学一轮总温习 7-1不等式的性质及解法课后强化作业 新人教B版(1)

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