2022-2021学年高中数学新课标人教A版必修5同步学案：第二章章末复习内容 Word版含答案

数列其次章章末复习内容 本章诊疗 一、数列的概念 精要总结
1.数列的概念的理解。

数列的数是按肯定次序排列的，因此假如组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是不同的数列，例如4，5，6，7，8，9，10与数列10,9,8,7,6.5.4是两个不同的数列.
数列的定义中并没有规定数列中的数必需不同，因此同一个数在数列中可以重复消灭； 数列的性质与集合中的元素相比较：
①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的的，集合中的元素也具有确定性； ②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素是不能重复消灭；
③有序性：一个数列不仅与构成的数列“数”有关，而且与这些数的排列次序有关，而集合中的元素是无序的； ④数列的每一项是数，而集合中的元素还可以代表除数字的其它事物. 2.对数列通项公式的理解
（1）数列的通项公式实际上是一个以正整数集*N 或它的有限子集{1,2,3,}n 为定义域的函数的解析式.
（2）假如知道数列中的通项公式，依次可以用1,2,3,
n 去替代公式中的n 就可以求出这个数列中的各项，
同时，可以利用数列的通项公式进行验证某数是否是数列中的某项，是第几项；
（32的近似值，精确到0.1,0.01,0.001，
所构成的数列为1,1.4,1.41,1.414,
就写不出数列的通项公式.
（4）有的数列的通项公式，在形式上是不肯定是唯一确定的，例如数列：1,1,1,1--的通项可以写成
(1)n
n a =-也可以写为
1,()1n n a n -⎧=⎨
⎩为奇数，（为偶数）
，还可以写为
+2
(1)n n a =-等，但是这些数列虽然形式不一样但
是实质是一样的，表示同一数列，还应留意数列的通项还可以是分段函数的形式. 3.数列与函数
由于数列是以正整数集或它的有限子集为定义域的函数
()
n a f n =，当自变量依据从小到大的挨次取值时，所
对应的一列函数值，因此数列的图像是以序号为横坐标，相应的项为纵坐标的一系列孤立点，依据函数的特性来争辩数列的问题，比如数列的单调性、图像、最值等 数列的概念易错点，利用函数争辩数列往往忽视数列的定义域
4. 递推数列与通项公式 （1）通项公式直接反映了
n
a 与n 之间的关系，即
n
a 是n 的函数，知道任意一个n 值，可以求出该项的值
n
a ；
而递推数列则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不能由n 直接推导
n
a ，
（2）.如何用递推公式给出一个数列
用递推数列公式给出一个数列，必需给出① “基础”——数列{}
n a 的第1项或前几项；②递推关系———
—数列
{}
n a 的任一项
n
a 与它的前一项
1
n a -（或前几项）之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示.
（3）.给出了递推公式求数列的通项公式，常用累加、累乘、周期性等学问求解 ①假如满足
1()
n n a a f n --=的规律时，可以有
112211
()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+累加.
②满足1()n n a g n a -=时，可以有
1
2
1
12
1n n n n n a a
a a a a a a ---=累乘. ③
{}
n a 为周期数列，则周期为T （T 为正整数）时，
n n T
a a +=，可将
n
a 转化为
12,,,T
a a a 处理.
2.错例辨析
例2下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由 （1）数列1,2,3，4可以表示为{1,2,3,4} （2）数列1,1,2,2与数列2,2,1,1是相同的数列 （3）数列,,,a a a a --的第21项是a -
（4）数列1,2,3,
,n 是无穷数列
错解：（2）（4）正确
剖析：上面全错 搞清数列的概念
正解：（1）错误，数列的表示不能与集合表示，所以是错误的； （2）错误，两个数列的次序不同是不同的数列；
（3）正确，数列的奇数项是a -，所以第21项是21a a
=-；
（4）错误，数列是有穷数列. 例3已知下面数列
{}
n a 的前n 项和为
n
S ，求数列
{}
n a 的通项公式
3n n S b
=+
错解：
()()2
11
13323n n n n n n a S S b b ---=-=+-+=⋅，所以通项为
1
123n n n n a S S --=-=⋅.
剖析：由n
S 求
n
a 肯定要分两种状况，当1n =时，
11
S a =，对含有参数的问题要留意参数进行争辩
正解：
113a S b
==+，
当2n ≥时，
()()2
1113323n n n n n n a S S b b ---=-=+-+=⋅.
当1b =-时，1
a 适合此等式；
当1b ≠时，
1
a 不适合此等式.
1b ∴=-时，1
23n n a -=⋅；
当1b ≠时，
1
3123,2n n b n a n -+⋅=⎧=⎨⋅≥⎩. 二、 等差数列 1. 精要总结
（1）从其次项起每一项与前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列，常数必需相同，即表示为
1n n a a --(2)
n ≥是同一个常数，
(1)从函数角度看等差数列的通项公式 等差数列的通项公式
1(1)n a a n d
=+-，可以表示为
1()
n a nd a d =+-，所以
n
a 是n 的一次函数，其图像是
一系列孤立点，当0d >时，是单调递增函数，当0d <是单调递减函数，当0d =是常函数，此时数列是常数列.
（2）有两点可以确定一条直线知，知道数列中的任意两项可以求出数列的通项来；由1(1)n a a n d
=+-中共
含有四个量，知三个量可以求出通项公式中的第四个量，即“知三求一”.
利用等差数列的性质可以简便易行，那么等差数列的性质有搞清等差数列的性质，在解决数列问题时，性质优先考虑，
所以等差数列常用的性质（1）m n p q +=+，那么m n p q
a a a a +=+；
（2）()(,*)n m a a n m d n m N =+-∈；
（3）
{},{}
n n a b 分别是公差为
12
,d d 等差数列，那么数列
{}
n n pa qb +是公差为
12
pd qd +
但是留意在等差数列
{}
n a 中，假如2m n p +=，不能推出
2m n p
a a a +=.
熟记等差数列的求和公式
11()(1)
22n n n a a n n S na d +-=
=+，关于n 的二次函数，但是没有常数项，若有常
数项就不是等差数列的前n 项和，可以依据二次函数求等差数列和的最大值与最小值；也可以依据数列的单调性依据通项
n
a 的正负确定最大项与最小项，等差数列和的性质满足每k 项的和仍成等差数列即
232,,n n n n n
S S S S S --仍成等差数列. 1.等差数列的前n 项的和公式：
11()(1)
22n n n a a n n S na d +-=
=+是2.等差数列的前n 项和的推导过程
12311
,n n n n n S a a a a S a a a -=++++=++
+相加可得
1()
2
n n n a a S +=
这是数列求和的方法-----倒序相加求和. 3.由等差数列求和公式若已知
1,,,,n n
a d n S a 中的三个，可以求出其余的两个.
1.等差数列前n 项和的性质有：
①n S 与n a 的关系满足
11(1)
(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩； ②若项数为2n ，则
21(),
n n n S n a a +=+且
+1
-=,
n n S a S S nd S a =奇偶奇偶；若项数为2n 1-，则
21(21)(),
1
n n n n S n S n a a S S a S n -=--==
-奇奇偶偶为中间项，.
③等差数列每k 项的和仍成等差数列，即
232,,n n n n n
S S S S S --仍成等差数列.
2.等差数列的前n 项的和公式与函数的关系来解决等差数列的前n 项和的最值问题
（1）二次函数法：用求二次函数最值的方法来 求等差数列的前n 项和的最值问题，留意*n N ∈； （2）用图像法：利用二次函数的图像的对称性来确定n 的值，使n
S 取最值；
（3）通项法：当10a >，0d <时，n 为使0n a ≥的最大的正整数时，n S 最大，这是由于：当0n a >时，1n
n S S ->即递增；当
0n a <时，
1
n n S S -<即递减；
类似地，①当1100,0,0m m m a a d S a +≥⎧><⇒⎨≤⎩为最大值；②当11
0,0,0m m
m a a d S a +≤⎧<>⇒⎨≥⎩为最小值.
2. 错例辨析
例4成等差数列的四个数之和为26，其次个数与第三个数之积为40，求这四个数.
错解：这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++，则由题设得
()()()()()()22
3326,426,40,40.a d a d a d a d a a d a d a d -+-++++=⎧=⎧⎪
⇒⎨⎨-+=-=⎪⎩⎩ 解得13,23.2a d ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
所以所求的四个数为2,5,8,11. 剖析：四个数成等差数列可以按3,,,3a d a d a d a d --++设，但是留意公差不是d ，而是2d ，再就是留意2,5,8,11.与与11,8,5,2.是不同的等差数列.
正解：设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++，则由题设得
()()()()()()22
3326,426,
40,40.a d a d a d a d a a d a d a d -+-++++=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨-+=-=⎪⎩⎩ 解得13,23.2a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或13,23.2a d ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩ 所以，所求这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2. 例5在等差数列{}n a 中，已知120,a =前n 项的和为n S ，且1015S S =求当n 取何值时，n S 有最大值，并求出
最大项.
错解：设公差为d ，由于
1015
S S =，所以由等差数列的前n 项和公式得
1091514
1020152022d d ⨯⨯⨯+
=⨯+，
即
53d =-
，所以520(1)3n a n =--⨯，当0n a >时，5
20(1)0133n n --⨯>⇒<
所以当12n =时，n
S 最大，
1212115
1220()13023S ⨯=⨯+
⨯-= 剖析：事实上
n a >是不正确的，应当满足
10,0
n n a a +≥≤
正解：设公差为d ，由于1015
S S =，所以由等差数列的前n 项和公式得
1091514
1020152022d d ⨯⨯⨯+
=⨯+，
即
5
3d =-
，由于1015S S =，所以15100S S -=，即11121314150a a a a a ++++=，又由于
111512141320
a a a a a +=+==，又由于
10,0
d a <>，所以
12140,0
a a ><，故当1213n n ==或时
n
S 有最大
值，为
1213130
S S ==.
三、等比数列 1. 精要总结
（1）在等比数列中公比0q ≠，任何一项也不为零，从其次项起每一项与前一项的比是同一个常数，各项均不为零的常数列即是等差又是等比数列. （2）理解等比数列的通项公式
1
1n n a a q -=，在通项公式中，知道
1,,,n
a n q a 中四个量中的三个可以求出另一量，可以推广为：
n m
n m a a q -=，
三个数,,A x B 成等比数列,那么x 是,A B
的等比中项，所以x =（3）等比数列的性质 ①在等比数列
{}
n a 中，公比是q ，当
11,0
q a >>或
101,0
q a <<<时，
{}
n a 是递增数列；当
11,0
q a ><或
01q <<，10a >时，{}n a 是单调递减数列；当1q =时，数列{}n a 是常数列，当0q <是摇摆数列；
②在等比数列
{}
n a 中，
n m
n m a a q -=（,*n m N ∈）
③在等比数列
{}
n a 中，当
m n p q
+=+(,,,*)m n p q N ∈时，有m n p q a a a a =.
④若有穷等比数列{}
n a 中，则与首末等距离的两项的积相等，即
12132n n n a a a a a a --==
=
⑤在等比数列
{}
n a 中，若,,(,,*)m n p m n p N ∈成等差数列，那么
,,m n p
a a a 成等比数列.
（4）等比数列的前n 项和
①等比数列的前n 项的和公式为
11(1)(1)
(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪
=-⎨≠⎪-⎩
，其中共涉及五个量，
1,,,,n n
a a n q S “知三求二”
②前n 项和公式的应用中，要留意前n 项和公式的分类争辩，即1q =与1q ≠时不同的表达形式，不行忽视
1q =的状况，
③错位相减和裂项消去法是数列求和的基本方法，其中错位相减法要留意等式两边所乘的数不能为0，首末两位不能模糊不清. （5）等比数列和的性质 等比数列的性质：①
n n S Aq A
=-+与指数函数对应；②
232,,n n n n n
S S S S S --成等比数列，公比为n
q .③等
比数列
{}
n a 中，若项数为2n ，则
=S S q
偶
奇
，若项数为21n +，则
1
-S a q S =奇偶
，利用等比数列的性质解题，可以
事半功倍.
有关应用问题，关键在于理解题意，建立起函数关系，当函数关系与数列的通项公式相对应时，考虑这些项是否为特殊的等差、等比数列中的项，有关增长率问题，一般归结为等比数列的求通项、求和问题，应用等比数列通项公式和前n 项和公式便可以解决. 2. 错例辨析
例6已知数列}{n a 是非零等差数列，又a 1,a 3,a 9组成一个等比数列的前三项，则10
429
31a a a a a a ++++的值
是 .
错解：忘考虑公差为零的状况.
剖析：2
23191111(2)(8)a a a a d a a d a d =⇒+=+⇒=，1391241011313
1616a a a a a a a a ++==++
1613
正解：
2
23191111(2)(8)a a a a d a a d a d
=⇒+=+⇒=或0d =，当0d ≠时，
13912410113131616a a a a a a a a ++==++，当0d =时， 139
2410
1
a a a a a a ++=++.
答案：1或16
13
例7在等比数列
{}
n a 中，
,(0,,,*)
m n m n a A a B AB m n m n N +-==>>∈，求
m
a
错解：设公比为q ，则1111,m n m n m n m n a a q A a a q B +---+-====
，两式相乘可得
22(1)122
11()m m m m a q AB a q AB a AB a --=⇒=⇒=⇒=剖析：一方面
m
a 是
m n
a +和
m n
a -的等比中项，另一方面
m
a 的符号确定
m
a 在等比数列中的位置，错解中没有对
m
a 的符号进行精确 的推断致误.
正解：同上2
m a AB
=
当n 为奇数时，m n +与m
的奇偶性相反，
m a =当n 为偶数时，m n +与m 的奇偶性相同，即m a 与m n a +
同号，故
0,0)
0,0)m A B a A B ⎧>>⎪=⎨
<<⎪⎩
)0,0)
0,0m n a A B n A B n ⎧⎪⎪
∴=>>⎨⎪<<⎪⎩为奇数，为偶数，为奇数）
四、数列求和的方法 1. 精要总结
对于数列求和遇到等差或等比数列的可以利用等差数列与等比数列的求和公式求和，那么不是等差或等比数列的求和可以有下面的方法①拆项相消求和，一般遇到分式或根式的数列把通项拆成两项的差再求和，常用的
1111111,[](1)1(1)(2)2(1)(1)(2)n n a a n n n n n n n n n n n =
=-==-+++++++
，n a ==，
留意拆成的两项的差肯定要与
n
a 保持全都，否则配如适当的系数；②错位相减求和，一般遇到等差数列与等比数
列的积可以利用错位相减求和，就是把
n
S 写出来，再同乘以公比，转化为等比数列再求和，第一留意项数，再就
是公比是参数时留意争辩；③倒序相加求和；向等差数列求和公式的推导，到首末两端等距离的项数的和相等，这样的数列可以利用倒序相加求和；④分项分别求和：遇到简单的数列可以把数列的通项拆成几部分在分别求和，不论接受哪一种方法，一般先求数列通项，依据通项再求和. 2. 错例辨析
例8求和
22111
()()()n n x x x y y y ++++
++
错解：
23211(1)
11
1(1)(1)11()()11111n
n n n n n n n
x x x x y y y S x x x x y y
y x x y y y ----=+++
++++
+=+=+----
剖析：没有对公比1q =进行争辩，误认为是1q ≠致误
正解：（1）当1,1x y ≠≠时，
(1)1111n n
n n
x x y S x y y --=+-- （2）当1,1x y ≠=时，(1)
1n n x x S n
x -=+-； （3）当1,1x y =≠时
1(1)n
n n
y S n y y -=+-； （4）当1,1x y ==时，2n S n
=
例9一个数列
{}
n a ，当n 为奇数时，
51
n a n =+，当n 为偶数时，
2
2
n
n a =，求这个数列的前n 项的和，
错解：
22
212113521
210,
2,,,,,k k k k k
a a a a a a a a ++-+-==∴构成首项为6的等差数列，
2462,,,k
a a a a 构成首项
为2，公比为2的等比数列，
21(651)2(12)57
+=22
21222
n n n n n S S S n n +++-∴=+=++--奇偶.
剖析：在求和时，奇数项与偶数项都假设含有n 项是错误的，应分奇数与偶数进行争辩. 正解：当2n m =时，
13521
,,,,m a a a a -构成首项为6的等差数列，
2462,,,m
a a a a 构成首项为2，公比为2
的等比数列， 122(651)2(12)57
22
21284n
m n m m S n n +++-=+=++--.
当21n m =+时，12
2(1)[65(1)1]2(12)57(1)(1)22
21284n
m n m m S n n +++++-=+=++++--。