2022-2023学年重庆市第一中学校高二上学期12月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年重庆市第一中学校高二上学期12月月考数学试题
一、单选题
1．下列四个数中，哪一个是数列{(1)n n +}中的一项 （ ） A ．380 B ．39 C ．35 D ．23
【答案】A
【详解】因为数列{(1)n n +}，那么将四个选项代入,可知192038019n ⨯=⇒=,其他选项中的数值都不能用相邻两个整数的积表示，选A.
2．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>22221x y a b -=的渐近线方程为
A ．1
2
y x =±
B ．2y x =±
C ．4y x =±
D ．1
4
y x =±
【答案】A
【详解】椭圆的离心率c e a =
=
， 即2222234c a b a a -=
=，1
2
b a =， 所以双曲线22
221x y a b
-=的渐近线为12y x =±．故选A ．
【解析】椭圆与双曲线的几何性质．
3．若圆的方程为x 2+y 2﹣2x +4y +1＝0，则该圆的圆心和半径r 分别为（ ） A ．（1，﹣2）；r ＝2 B ．（1，-2）；r ＝4 C ．（-1，2）；r ＝2 D ．（-1，2）；r ＝4
【答案】A
【分析】将圆方程化为标准形式,即可得解.
【详解】将圆的方程化为标准形式:22(1)(2)4x y -++=, 则该圆的圆心为(1,2)-,半径为2, 故选:A.
【点睛】本题主要考查利用圆的方程确定圆心,半径,属于基础题.
4．如图是抛物线形拱桥，当水面在n 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为（ ）
A ．5
B ．6
C ．25
D ．26
【答案】D
【分析】由题建立平面直角坐标系，设抛物线方程为2x my =，结合条件即求. 【详解】建立如图所示的直角坐标系：
设抛物线方程为2x my =， 由题意知：(2,2)-在抛物线上， 即222m =-， 解得：2m =-， 22x y ∴=-，
当水位下降1米后，即将=3y -代入22x y =-，
即()2
23x =-⨯-，解得：6x =±
∴水面宽为26. 故选：D.
5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24=3,10S S =，则6S =（ ） A ．21 B ．15
C ．13
D ．11
【答案】A
【分析】利用等差数列的前n 项和的性质求解.
【详解】因为数列{}n a 是等差数列， 所以24264,,S S S S S --成等差数列， 所以()()422642-=+-S S S S S ， 因为24=3,10S S =，
所以()()62103310S -=+-， 解得621S =， 故选：A
6．已知椭圆C ：22
221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆交于A ，B 两点，
若AB 的中点11,2P ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，且直线AB 的倾斜角为4π，则此椭圆的方程为（ ）
A ．22
24199x y +=
B ．22
194x y +=
C ．22
195x y +=
D ．22
2199
x y +=
【答案】A
【分析】利用直线AB 的斜率和倾斜角的对应关系列方程，求得c 的值.利用点差法求得22,a b 的关系式，结合222a b c =+求得,a b 的值，进而求得椭圆方程.
【详解】∵1
211
c =-，∴32c =，令()11,A x y ，()22,B x y ，则22
221x y a b +=，
∴
()()()()121212122
2
0x x x x y y y y a b +⋅-+⋅-+=，
22210a b -+=，∴292a =，2
94
b =.故选A. 【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆标准方程的求法，以及有关点差法的运用.题目给出直线和椭圆相交所得所得弦的中点坐标，还有直线的倾斜角，这里可以根据焦点的坐标列方程求得
c 的值.点差法主要用在有关直线和圆锥曲线相交，所得弦的中点有关的题目.属于中档题. 7．等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则9113a a -=（ ） A ．42 B ．45 C ．48 D ．51
【答案】C
【分析】结合等差数列的性质求得正确答案. 【详解】依题意{}n a 是等差数列， 4681012885120,24a a a a a a a ++++===，
9119911971111832248a a a a a a a a a a -=+-=++-==.
故选：C
8．如图,已知双曲线22
22:1x y C a b
-=()0,0a b >>的右顶点为,A O 为坐标原点,以点A 为圆心的圆与双曲
线C 的一条渐近线交于,P Q 两点,若120PAQ ∠=︒且2OQ OP =-,则双曲线C 的离心率为（ ）
A 10
B ．3
C ．2
D 213
【答案】C
【分析】确定30OQA ∠=︒设AQ R =，则3PQ R =，23R
OQ =
径定理，余弦定理，得到关于,a b 的关系式，从而求出离心率． 【详解】因为AP AQ =，120PAQ ∠=︒， 所以30OQA ∠=︒， 设AQ R =，则3PQ R =， 又因为2OQ OP =-， 所以23R
OQ 双曲线的渐近线方程为b
y x a
=
，()0A a ，
， 取PQ 的中点M ，则22
ab AM a b
=
+
由勾股定理可得2
2
222
3ab R R a b =++⎝⎭
， 即()()
2
22
214
R a a b b =
+ ①， 在OQA 中，2
22233cos 232R R a OQA R
R
+-⎝⎭∠=
⨯⨯， 所以22
13
R a =②，
联立①②：()()
2
22234a a a b b =
+，即()
2223
4
a b b =+，223b a =， 结合222c a b =+可得2c
e a
==. 故选：B.
二、多选题
9．在同一直角坐标系中，直线2y ax a =+与圆222()x a y a ++=的位置可能的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】AC
【分析】根据给定条件求出直线与坐标轴的交点坐标、圆心坐标，再结合图形判断作答. 【详解】直线2y ax a =+与y 轴正半轴交于点2(0,)a ，排除选项B ；
直线2y ax a =+与x 轴交于点(,0)a -，而圆222()x a y a ++=的圆心为(,0)a -， 因此，直线2y ax a =+过圆222()x a y a ++=的圆心，排除选项D ；
当0a >时，圆心在x 轴负半轴上，选项A 满足；当a<0时，圆心在x 轴正半轴上，选项C 满足. 故选：AC
10．已知a ，b ，c 分别是椭圆E 的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于x 的方程220ax bx c ++=有实根，则椭圆E 的离心率e 可能是（ ） A 51
- B ．35
C ．34
D 3【答案】AB
【分析】根据判别式不小于0可求,,a b c 的关系，从而可求离心率e 的取值范围. 【详解】由题意有2440b ac ∆=-≥，
由222b a c =- 可得220a c ac --≥， 故210e e +-≤
e ≤≤
而01e <<，
∴0e <≤故选：AB
11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20210S <，20220S >，则下列结论正确的是（ ） A ．20210a < B ．10120a < C ．10110a < D ．10a <
【答案】CD
【分析】利用等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质计算判断作答. 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，由12021
202110112021202102
a a S a +=⨯=<得：10110a <， 由12022
10111202201220221011()02
a a a a S +=
⨯=>+得，101210110a a ->>， 因此，等差数列{}n a 的公差101210110d a a =->，即数列{}n a 是递增等差数列，则有110110a a <<，202110120a a >>，
所以选项A ，B 都不正确；选项C ，D 都正确. 故选：CD
12．已知双曲线C ：22
1916
x y -=和点()0,12A ，1F ，2F 分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上在
第一象限内的点，点I 为12PF F △的内心，则下列说法正确的是（ ） A ．1PA PF +的最小值为25 B ．
12
12
5
3
IF F PIF PIF S S S =-△△△ C ．()120,20F IF S ∈△ D ．若1232
PF PF =
，12PI xPF yPF =+，则29y x -=
【答案】BC
【分析】首先根据双曲线方程求出焦点坐标，根据双曲线的定义判断A ，设12PF F △的内切圆的半径为r ，利用面积公式及双曲线的定义计算即可判断B ，设()11,I x y 在12F F 上的垂足为H ，根据切线长定理可得1HF a c =+，即可得到H 的坐标，记渐近线43
y x =
的倾斜角为θ，则4
tan 3θ=，记2IF H α
∠=则()20,απθ∈-，利用临界值求出()tan 0,2α∈，即可求出1y 的取值范围，即可判断C ，延长PI 交12
F F
于点M ，由角平分线定理得到
22
1
3
PF PI MF MI
=
=
，即可求出x 、y ，即可判断D ； 【详解】解：因为双曲线C ：22
1916x y -=，所以3a =，4b =
，5c =，则()15,0F -、()25,0F ，
双曲线的渐近线为43
y x =±，因为()0,12A ，所以
213AF ==，所以
1222219PA PF PA PF a AF a +=++≥+=，当且仅当A 、P 、2F 在同一直线且P 在2AF 之间时取等
号，故A 错误；
设12PF F △的内切圆的半径为r ，则
12
12
121212121
252112322
IF F PIF PIF F F r S F F c S S PF PF a PF r PF r ====---△△△，故B 正确；
设()11,I x y 在12F F 上的垂足为H ，根据双曲线的定义及切线长定理可得
12122PF PF a HF HF -==-，又12
1222a HF HF c HF HF ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩
，所以1HF a c =+，所以(),0H a ，记渐近线
43
y x =的倾斜角为θ，则4
tan 3θ=，记2IF H α∠=，则()20,απθ∈-，当()tan 2tan απθ=-，即
242tan 31tan α
α
-
=-，解得tan 2α=，所以()tan 0,2α∈，则()12tan 0,4y HF α=∈，所以()121210,201
2
IF F S F F y =
⋅∈△，故C 正确； 延长PI 交12F F 于点M ，由12
12326
PF PF PF PF ⎧
=⎪⎨⎪-=⎩
解得121812PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由角平分线定理可知
112232PF MF PF MF ==，所以24MF =，又由角平分线定理知
22
1
3
PF PI MF MI
=
=
，过点I 作12//NG F F 交1PF 、2PF 分别于点N 、G 点，则
32PN PG =，所以32NI IG =，所以23
55PI PN PG =+，因为12PI xPF yPF =+，所以34
x y +=又
23x y =，解得310920x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
，所以320y x -=，故D 错误；
故选：BC
三、填空题
13．已知直线1:210l x my ++=与()2:4120l mx m y +++=垂直，则m 的值为______． 【答案】0或-9##-9或0
【分析】根据给定条件利用两直线互相垂直的性质列式计算即得.
【详解】因直线1:210l x my ++=与()2:4120l mx m y +++=垂直，则有24(1)0m m m ⨯++=，解得0m =或9m =-，
所以m 的值为0或-9. 故答案为：0或-9
14．某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人，那么高二年级被抽取的人数为________． 【答案】20
【解析】由三个年级人数成等差数列和总人数可求得高二年级共有600人，根据抽样比可求得结果. 【详解】设高一、高二、高三人数分别为,,a b c ，则2b a c =+且1800a b c ++=， 解得：600b =，
用分层抽样的方法抽取60人，那么高二年级被抽取的人数为600
60201800
⨯=人． 故答案为：20.
【点睛】本题考查分层抽样问题的求解，涉及到等差数列的相关知识，属于基础题.
15．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，
O 为坐标原点，A (t ，1)是抛物线第一象限上的点，5AF =，
直线AF 与抛物线的另一个交点为B ，则AOB S =△_________． 【答案】40
【分析】根据题意可得8p =，4t =，联立直线AF 与抛物线的方程可求得点B 的坐标，进而可求AB 以及O 到直线:34160AF x y +-=的距离d ． 【详解】∵152
p
AF =+
=，则8p = ∴抛物线方程为216x y =
把A (t ，1)代入抛物线方程得：216t =且0t >，则4t = ∵()()4,1,0,4A F ,则直线AF 的斜率143
404
k -=
=-- ∴直线AF 的方程：3
44
y x =-+即34160x y +-=
联立方程2
34160
16x y x y +-=⎧⎨=⎩，解得41x y =⎧⎨=⎩
或1616x y =-⎧⎨=⎩
即()16,16B -，则25AB
O 到直线:34160AF x y +-=的距离16
5
d =
∴1
402
AOB
S
AB d =
⨯= 故答案为：40．
16．若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，1
2）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线
AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ______________
【答案】22
154
x y +
= 【详解】∵点(1，12)在圆外，过点(1，1
2)与圆相切的一条直线为x ＝1，且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1，设点P(1，1
2)，连接OP ，则OP ⊥AB ，∵k OP ＝1
2，∴k AB ＝－2．又直线AB 过点(1,0)，∴直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0，∵点(0，b)在直线AB 上，∴b ＝2，又c ＝1，∴a 2
＝5，故椭圆方程是2
5x ＋24
y ＝1．
四、解答题
17．如图，圆E 与圆F (点F 在点E 的右侧)与x 轴分别相切于A ，C 两点，另两圆外切且与直线
3y x =分别相切于B ，D 两点，若()31E
，.
（1）求圆E 与圆F 的标准方程；
（2）过B 作直线EF 的垂线L ，求直线L 被圆E 截得的弦的长度. 【答案】（1）(()2
2
3
11x y +-=，(()2
2
33
39x y -+-=；（23【解析】（1）先由题意，得到圆E 的半径为1，进而可得E 的方程；再由题意，得到O 、E 、F 三点共线，设圆F 的半径为R ，由题意，得到3R =，再求出()
33,3F ，即可得出圆F 的方程； （2）先由题意，联立直线3y x =与圆E 的方程求出332B ⎫
⎪⎪⎝⎭
，，以及直线L 的方程，根据几何法，即可求出圆的弦长.
【详解】（1）因为点)31E ，，圆E 与x 轴分别相切于A ，所以1EA =，即圆E 的半径为1，
所以圆(()2
2
:3
11E x y +-=；
因为圆E 与圆F (点F 在点E 的右侧)与x 轴分别相切于A ，C 两点，与直线3y x =分别相切于B ，D
两点，且两圆外切，所以O 、E 、F 三点共线， 设圆F 的半径为R ，
则有
EA OE
FC OF =，即123R R
=+，解得3R =，即3=FC ，则3F y = 又F 在直线:3
OE y =上，所以33F x =()
33,3F ， 因此，圆(()2
2
:33
39F x y +-=-；
(2).联立(()223113x y y x
⎧+-=⎪⎨⎪=⎩，解得3
32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以332B ⎫⎪⎪⎝⎭，， 又3
3
OE EF k k =
=
所以过点B 且与EF 垂直的直线L 为
: 32y x -
=⎭
，
30y +-=，
因为点E 到直线L 的距离
12d =
=
所以直线L
被圆截得弦长=【点睛】方法点睛： 求圆的弦长的方法：
（1）代数法：联立直线与圆的方程，根据韦达定理，以及弦长公式，即可求出结果；
（2）几何法：先求圆心到直线的距离，根据圆心到直线距离的平方与弦长一半的平方之和等于半径的平方，即可求出弦长.
18．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，34a =，+1143(3)n n n a a a n -=+≥. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设121b b ==，()()
12)1
(55n n n b n a n a +=
-->，求证：13i
i b i
∞
=>∑
. 【答案】（1）315,2
31,1
n n n a n -⎧
-≥⎪=⎨⎪=⎩；（2）证明见解析.
【分析】（1）转化+1143(3)n n n a a a n -=+≥为1113n n n n a a a a +--=-，可得2
1123n n n a a -+⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭，累加法即得解； （2）代入n a 可得23)1(11323n n n b n n --=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭>⎝⎭，放缩为2131
21131i i i b i i ∞∞
==≥+⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
∑∑，即得证 【详解】（1）因为11a =，22a =，34a =，+1143n n n a a a -=+， 所以
111
3
n n n n a a a a +--=-，211a a -=，322a a -= 所以2
1123n n n a a -+⎛⎫
-=⨯ ⎪
⎝⎭
，2n ≥，
121321()()......()n n n a a a a a a a a -∴-=-+-++-
233
1
2(1)
22
1312 (14133)
313
n n n ----
=++++=+
=--
3
15,23n n a n -⎛⎫
∴=-≥ ⎪
⎝⎭
315,231,1n n n a n -⎧
-≥⎪∴=⎨⎪=⎩.
（2）
()()
1232)
1
1
(115533n n n n n b a n n n a +--=
=
--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎝⎭
> ⎭， 2213
32311
2211113331i
i i i i i b i i i ∞
∞
∞
===--=+≥+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∑∑∑
22222
1111123(+++......)=3+3(++......)>334545=+⨯⨯ 故得证
19．已知向量(2,0),(0,1)OA OC AB ===，动点M 到定直线1y =的距离等于d ，并且满足()
2OM AM k CM BM d ⋅=⋅-，其中O 是坐标原点，k 是参数.
（1）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；
（2）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e
2
2
e ，求k 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）1111,,232⎡
⎤⎡⎤
--⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
【分析】（1）令()M x y ，，由()
2
OM AM k CM
BM d ⋅=⋅-建立方程求解.然后对k 讨论分析.
（22
2
e
，
得到点M 的轨迹为椭圆()22111y x k -+=-，再根据焦点位置讨论求解. 【详解】（1）令()M x y ，，则()()()21OM x y AM x y CM x y ==-=-，，，，，， ()211BM x y d y =--=-，，，
∴()22222OM AM x x y x y x ⋅=-+=+-， ()()()22
22121CM BM x x y x x y ⋅=-+-=-+-，
代入()
2
OM AM k CM BM d ⋅=⋅-，
得()()22
1210k x k x y -+-+=，
即为动点M 的轨迹方程. 当1k =时，表示直线0y =； 当0k =时，表示圆； 当1k >时，表示双曲线；
当01k <<或0k <时，表示椭圆. （2）由3
2
3
2
e
M ⇒点的轨迹为椭圆()22111y x k -+=-， 1°01k <<时，222211a b k c k e k ==-==，，，， 所以2
2
3211
3232k k ⎛⎫
⎛⎫⇒ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭. 2°0k <时，211
k k
e k k -=
=--. 结合3211
32312
k e k ⎡⎤∈⇒
⎢⎥-⎣⎦
，，
所以112
k --
， 综上所述：1111232k ⎡
⎤⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦，
，. 【点睛】本题主要考查曲线与方程以及椭圆离心率的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 20．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD ==，点,M N 分别在侧棱,PD PC 上，且PM MD = （I ）求证：AM ⊥平面PCD ； （II ）若1
2
PN NC =
，求平面AMN 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值
【答案】（I ）证明见解析；（II 3
【分析】（I ）根据线面垂直判定定理，由PA CD ⊥和CD AD ⊥可得CD ⊥平面PAD ；由线面垂直性质知CD AM ⊥，由等腰三角形三线合一可知AM PD ⊥，根据线面垂直判定定理可证得结论；（II ）以A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算和12PN NC =
可求得224,,333N ⎛⎫
⎪⎝⎭
，可验证出0PC AN ⋅=，得到PC AN ⊥，根据线面垂直性质可知AM PC ⊥，根据线面垂直判定定理可知PC ⊥
平面AMN ，从而可知PC 为平面AMN 的一个法向量，又AD 为平面PAB 的一个法向量，利用空间向量法可求得两平面所成锐二面角的余弦值.
【详解】（I ）PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD PA CD ∴⊥
四边形ABCD 为正方形 CD AD ∴⊥ CD 平面PAD
AM ⊂平面PAD CD AM ∴⊥
PA AD =，PM MD = AM PD ∴⊥
,CD PD ⊂平面PCD ，PD CD D ⋂= AM ∴⊥平面PCD （II ）以A 为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：
则有()0,0,0A ，()002P ,
,，()0,2,0D ，()0,1,1M ，()2,2,0C ， 设(),,N x y z ，则()2,2,NC x y z =---，(),,2PN x y z =-
又12PN NC = 222224
x x
y y z z -=⎧⎪∴-=⎨⎪-=-⎩
，则224,,333N ⎛⎫
⎪⎝⎭
224,,333AN ⎛⎫
∴= ⎪⎝⎭，又()2,2,2PC =- 4480333PC AN ∴⋅=+-=，即PC AN ⊥
又AM ⊥平面PCD ，PC ⊂平面PCD AM PC ∴⊥ PC ∴⊥平面AMN
()2,2,2PC ∴=-为平面AMN 的一个法向量
又AD ⊥平面PAB ()0,2,0AD ∴=为平面PAB 的一个法向量 3
cos ,232
PC AD PC AD PC AD
⋅∴<>=
=
=⨯∴平面AMN 与平面PAB 3【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角余弦值的问题，涉及到线面垂直的判定定理和性质定理的应用、向量的坐标运算、向量夹角的求解的问题，属于常考题型. 21．已知点()2,0P 及圆22:6440C x y x y +-++=．
（1）若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程；
（2）若过点P 的直线1l 与圆C 交于M 、N 两点，且4MN =，求以MN 为直径的圆的方程；
（3）若直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点P 的直线2l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3460x y +-=，2x =；（2）()2
224x y -+=；（3）不存在，理由详见解析.
【分析】（1）设出直线方程，结合点到直线的距离公式，计算参数，即可得出所求直线方程，注意分斜率存在与否两种情况讨论；
（2）求出点P 与圆心C 之间的距离PC ，再根据逆用弦长公式求出弦心距d ，发现PC d =，则点P 为MN 的中点，故以MN 为直径的圆的圆心坐标即为P 的坐标，半径为|MN |的一半，写出圆的方程即可；
（3）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y 得到关于x 的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a 的不等式，求出a 的范围，再计算2l 的斜率，求出a 的值，即可. 【详解】（1）圆C 的圆心为()3,2-，半径3r =，
当l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ， 则方程为()02y k x -=-．
1=， 解得3
4
k =-.
所以直线l 的方程为()3
24
y x =-
-，即3460x y +-=． 当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，经验证2x =也满足条件.
（2）由于CP 而弦心距d == 所以d CP ==
所以P 为MN 的中点．故以MN 为直径的圆Q 的方程为()2
224x y -+=． （3）直线10ax y -+=，即1y ax =+，
代入圆C 的方程，消去y ，整理得()
()22
16190a x a x ++-+=．
由于直线10ax y -+=交圆C 于A ，B 两点，
故()()2
2
3613610a a ∆=--+>， 解得a<0．
则实数a 的取值范围是(),0∞-．
若存在实数a ，使得过点P 的直线2l 垂直平分弦AB ，则圆心()3,2C -必在2l 上． 所以2l 的斜率2PC k =-，而1AB PC k a k ==-
，所以12
a =．
由于()1
,02
∉-∞，故不存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ．
【点睛】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题． 22．已知椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标
原点，||2||OA OB =．
(1)若12BF F △的面积为431C 的标准方程；
(2)如图，过点(1,0)P 作斜率(0)k k >的直线l 交椭圆1C 于不同两点M ，N ，点M 关于x 轴对称的点为S ，直线SN 交x 轴于点T ，点P 在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q ，使OM ON OQ +=，记四边形OMQN 的面积为1S ，求2
1
OT OQ S k ⋅-的最大值．
【答案】(1)22
1164
x y +
=； 153
.
【分析】（1）由已知条件由方程组可解出22,a b 得到椭圆方程.
（2）直线方程与椭圆方程联立方程组，由韦达定理化简1S 和OQ OT ⋅，把2
1
OT OQ S k
⋅-表示为关于
k 的函数，利用导数求解最大值. 【详解】（1）||2||OA OB =，∴2a b =，
121
2432
BF F S b c =⋅=△3bc =，又222a b c =+，
解得4,2,3a b c ===1C 的标准方程为：22
1164
x y +
=. （2）||2||OA OB =，∴2a b =，椭圆22
122
:
14x y C b b +=， 令()()()()201012,,,,,,,0T M x y N x y Q x y T x ，直线l 的方程为：(1)y k x =-，
联立方程组： 22
22
14(1)x y b b y k x ⎧+=⎪
⎨⎪=-⎩
，消去y 得22222(14)8440k x k x k b +-+-=， 由韦达定理得2122814k x x k +=+，22
122
4414k b x x k
-=+， 有 121222(2)14k
y y k x x k -+=+-=+，
因为：OM ON OQ +=，所以2
02
814k x k =+，0
2214k y k -=+ ， 将点Q 坐标代入椭圆方程化简得： 2
2
2
414k b k =+，
而此时：()2
2222284(14)(44)480k k k b k ∆=-+-=> . 令()11,S x y -，所以直线12
2221
:()y y SN y y x x x x +-=-- ， 令0y =得 ()1212211212212112122(1)(1)(2)2
T x x x x x y x y k x x k x x x y y k x x x x -+-+-=
==+++-+- ， 由韦达定理化简得2
4T x b =，
12OMN S S =△
，而
12MN x =-=， O 点到直线l 的
距离d =
所以：1122S MN d =⨯⋅=
2222243212814(14)k b k OQ OT k k ⋅==++，23
122
80(14)OT OQ S k k k ⋅-=+，
因为点P 在椭圆内部，所以 214b <，得2
112k
>
，即k >
令322()(14)k f k k =+ ，求导得 222222423
(41)(43)(43)
()(14)(14)k k k k k f k k k -+---'==++，
当
213124k <<，
k <<()0f k '>，()f k 单调递增； 当 234k >
，即k >()0f k '<，()f k 单调递减.
所以：
max
()f k f =⎝⎭ ，即
21max
OT OQ S k ⎛⎫⋅-=
⎪⎝⎭ . 【点睛】思路点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)注意观察应用题设中的每一个条件，强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。