郑州全国备战中考数学二次函数的综合备战中考真题汇总

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．
【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.
【解析】
【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；
（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；
（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．
【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），
令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，
即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；
（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），
由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，
故A'（2，4），B'（5，﹣5），
∴S△OA′B′=1
2
×（2+5）×9﹣
1
2
×2×4﹣
1
2
×5×5=15．
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.
2．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且
()6,0A -，与y 轴交于点C ．
()1求抛物线的函数解析式； ()2求ABC 的面积；
()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使
APC 的面积最大？若能，请求出点
P 的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】()1 2
134
y x x =+-；()212；()27334
APC x S =-当时，有最大值
，点P 的坐标是153,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
． 【解析】 【分析】
(1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；
(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；
(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC 的面积计算拆分为APF
CPF
S S
+即可.
【详解】
()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++，
∵函数图象顶点为()2,4M --，
∴2(2)4y a x =+-， 又∵函数图象经过点()6,0A -， ∴20(62)4a =-+- 解得14
a =
， ∴此函数的解析式为21(2)44y x =
+-，即21
34
y x x =+-；
()2∵点C 是函数2134
y x x =+
-的图象与y 轴的交点，
∴点C 的坐标是()0,3-， 又当0y =时，有2
1304
y x x =
+-=， 解得16x =-，22x =， ∴点B 的坐标是()2,0， 则11
831222
ABC
S
AB OC =
⋅=⨯⨯=； ()3假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．
设(),0E x ，则21,
34P x x x ⎛
⎫+- ⎪⎝⎭
，
设直线AC 的解析式为y kx b =+， ∵直线AC 过点()6,0A -，()0,3C -， ∴603k b b -+=⎧⎨
-=⎩
，
解得123
k b ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩，
∴直线AC 的解析式为1
32
y x =--， ∴点F 的坐标为1,32F x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
， 则221113332442PF x x x x x ⎛⎫
=---+-=-- ⎪⎝⎭
， ∴11
22
APC
APF
CPF
S
S S
PF AE PF OE =+=
⋅+⋅ 222111339327
6(3)22424244
PF OA x x x x x ⎛⎫=
⋅=--⨯=--=-++ ⎪⎝⎭， ∴当3x =-时，APC
S
有最大值
27
4
，
此时点P 的坐标是153,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF 最大进行理解.
3．如图，过()A 1,0、()B 3,0作x 轴的垂线，分别交直线y 4x =-于C 、D 两点.抛物线
2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点．
()1求抛物线的表达式；
()2点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样
的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；
()3若
AOC 沿CD 方向平移(点C 在线段CD 上，且不与点D 重合)，在平移的过程中
AOC 与OBD 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．
【答案】（1）2413y x x 33=-+；（2）32332+332-；（3）13． 【解析】 【分析】
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3．设点M 的横坐标为x ，则求出MN =|43x 2﹣4x |；解方程|4
3
x 2﹣4x |=3，求出x 的值，即点M 横坐标的值；
（3）设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），利用平移性质求出S 的表达式：S 1
6
=-（t ﹣1）213+；当t =1时，s 有最大值为
13
．
【详解】
（1）由题意，可得C （1，3），D （3，1）．
∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y =ax 2
+bx ，∴3931a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得43133a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴抛物线的表达式为：y 43=-x 213
3
+x ． （2）存在．
设直线OD 解析式为y =kx ，将D （3，1）代入，求得k 13=，∴直线OD 解析式为y 1
3
=x ． 设点M 的横坐标为x ，则M （x ，13x ），N （x ，43-x 2133+x ），∴MN =|y M ﹣y N |=|1
3
x ﹣（43-
x 2133+x ）|=|4
3
x 2﹣4x |． 由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3，∴|43
x 2
﹣4x |=3． 若43x 2﹣4x =3，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得：
x =或
x = 若
43x 2﹣4x =﹣3，整理得：4x 2﹣12x +9=0，解得：x 3
2
=，∴存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：
32
． （3）∵C （1，3），D （3，1），∴易得直线OC 的解析式为y =3x ，直线OD 的解析式为y 13
=
x ． 如解答图所示，设平移中的三角形为△A 'O 'C '，点C '在线段CD 上． 设O 'C '与x 轴交于点E ，与直线OD 交于点P ； 设A 'C '与x 轴交于点F ，与直线OD 交于点Q ．
设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），则图中AF =t ，F （1+t ，0），Q （1+t ，11
33
+t ），C '（1+t ，3﹣t ）．
设直线O 'C '的解析式为y =3x +b ，将C '（1+t ，3﹣t ）代入得：b =﹣4t ，∴直线O 'C '的解析式为y =3x ﹣4t ，∴E （4
3
t ，0）． 联立y =3x ﹣4t 与y 13=
x ，解得：x 32=t ，∴P （32t ，1
2
t ）．
过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则PG 12=
t ，∴S =S △OFQ ﹣S △OEP 12=OF •FQ 1
2
-OE •PG 12=
（1+t ）（1133+t ）12-•43t •1
2
t 16=-（t ﹣1）213
+
当t =1时，S 有最大值为
13，∴S 的最大值为1
3
．
【点睛】
本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到MN =AC =3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题的关键是求出S 的表达式，注意图形面积的计算方法．
4．如图，已知A （﹣2，0），B （4，0），抛物线y=ax 2+bx ﹣1过A 、B 两点，并与过A 点的直线y=﹣
1
2
x ﹣1交于点C ． （1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使四边形ACPO 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M 为y 轴右侧抛物线上一点，过点M 作直线AC 的垂线，垂足为N ．问：是否存在这样的点N ，使以点M 、N 、C 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为：y=211
184
x x --，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P 点坐标为（1，﹣1
2
）；（3）N 点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1） 【解析】
分析：（1）由待定系数法求解即可；
（2）将四边形周长最小转化为PC+PO 最小即可；
（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N 坐标，表示点M 坐标代入抛物线解析式即可．
详解：（1）把A （-2，0），B （4，0）代入抛物线y=ax 2+bx-1，得
0421
01641a b a b --⎧⎨
+-⎩
＝＝ 解得18
14a b ⎧
⎪⎪⎨
⎪-⎪⎩
＝＝ ∴抛物线解析式为：y=
18x 2−1
4
x−1 ∴抛物线对称轴为直线x=-1
41228
b
a -
=-⨯
＝1 （2）存在
使四边形ACPO 的周长最小，只需PC+PO 最小
∴取点C （0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O 与直线x=1的交点即为P 点．
设过点C′、O 直线解析式为：y=kx
∴k=-
12 ∴y=-12
x
则P点坐标为（1，-1
2
）
（3）当△AOC∽△MNC时，
如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E
∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°
∴∠CDN=∠CAO
由相似，∠CAO=∠CMN
∴∠CDN=∠CMN
∵MN⊥AC
∴M、D关于AN对称，则N为DM中点
设点N坐标为（a，-1
2
a-1）
由△EDN∽△OAC ∴ED=2a
∴点D坐标为（0，-5
2
a−1）
∵N为DM中点
∴点M坐标为（2a，3
2
a−1）
把M代入y=1
8
x2−
1
4
x−1，解得
a=4
则N点坐标为（4，-3）
当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM
∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N
由（2）N（2，-1）
∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）
点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．
5．如图，已知抛物线经过点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到△A 1O 1C 1，点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标． 【答案】（1）y=-
21x 2+3
2
x+2；（2）存在，Q （3，2）或Q （-1，0）；（3）两个和谐点，A 1的横坐标是1，1
2
. 【解析】 【分析】
（1）把点A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；
（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM=90°或∠MQB=90°，即可求得Q 点的坐标． （3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1），
①当A 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是1； 当O 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是2； 【详解】
解：（1）设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，
将点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）代入解析式，
∴0a b c 016a 4b c 2c =-+⎧⎪
=++⎨⎪=⎩
，
∴
1 a
2
3 b
2
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴y=-2
1
x
2
+
3
2
x+2；
（2）∵点C与点D关于x轴对称，
∴D（0，-2）．
设直线BD的解析式为y=kx-2．
∵将（4，0）代入得：4k-2=0，
∴k=1
2
．
∴直线BD的解析式为y=1
2
x-2．
当P点与A点重合时，△BQM是直角三角形，此时Q（-1，0）；
当BQ⊥BD时，△BQM是直角三角形，
则直线BQ的直线解析式为y=-2x+8，
∴-2x+8=-2
1
x
2
+
3
2
x+2，可求x=3或x=4（舍）
∴x=3；
∴Q（3，2）或Q（-1，0）；
（3）两个和谐点；
AO=1，OC=2，
设A1（x，y），则C1（x+2，y-1），O1（x，y-1），
①当A1、C1在抛物线上时，
∴()2213y
x x 22213y 1(x 2)x 22
22⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩
，
∴x 1y 3=⎧⎨=⎩
，
∴A 1的横坐标是1； 当O 1、C 1在抛物线上时，
()2213y 1x x 222
13y 1(x 2)x 22
22⎧-=-++⎪⎪⎨
⎪-=-++++⎪⎩， ∴1
x 221y 8
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴A 1的横坐标是
12
；
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．
6．如图，已知二次函数的图象过点O （0，0）．A （8，4），与x 轴交于另一点B ，且对称轴是直线x ＝3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M 是OB 上的一点，作MN ∥AB 交OA 于N ，当△ANM 面积最大时，求M 的坐标；
（3）P 是x 轴上的点，过P 作PQ ⊥x 轴与抛物线交于Q ．过A 作AC ⊥x 轴于C ，当以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以O ，A ，C 为顶点的三角形相似时，求P 点的坐标．
【答案】（1）213
42
y x x =
-；（2）当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）． 【解析】 【分析】
（1）先利用抛物线的对称性确定B （6，0），然后设交点式求抛物线解析式；
（2）设M （t ，0），先其求出直线OA 的解析式为1
2
y x =直线AB 的解析式为y=2x-12，
直线MN 的解析式为y=2x-2t ，再通过解方程组12
22y x y x t
⎧=⎪
⎨⎪=-⎩得N （42t,t 33），接着利用三角形面积公式，利用S △AMN =S △AOM -S △NOM 得到AMN 112
S 4t t t 223
∆=⋅⋅-⋅⋅然后根据二次函数的性质解决问题； （3）设Q 213m,
m m 42⎛
⎫- ⎪⎝⎭，根据相似三角形的判定方法，当PQ PO OC AC
=时，△PQO ∽△COA ，则
213m m 2|m |42-=；当PQ PO
AC OC
=时，△PQO ∽△CAO ，则2131
m m m 422
-=，然后分别解关于m 的绝对值方程可得到对应的P 点坐标． 【详解】
解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x ＝3， ∴B 点坐标为（6，0），
设抛物线解析式为y ＝ax （x ﹣6）， 把A （8，4）代入得a•8•2＝4，解得a ＝1
4
， ∴抛物线解析式为y ＝14x （x ﹣6），即y ＝14x 2﹣32
x ； （2）设M （t ，0），
易得直线OA 的解析式为y ＝
12
x ， 设直线AB 的解析式为y ＝kx+b ，
把B （6，0），A （8，4）代入得6084k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得k 2
b 12=⎧⎨=-⎩
，
∴直线AB 的解析式为y ＝2x ﹣12， ∵MN ∥AB ，
∴设直线MN 的解析式为y ＝2x+n ， 把M （t ，0）代入得2t+n ＝0，解得n ＝﹣2t ， ∴直线MN 的解析式为y ＝2x ﹣2t ，
解方程组12
22y x y x t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得43
23x t y t ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，则42N t,t 33⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴S △AMN ＝S △AOM ﹣S △NOM
112
4t t t 223
=
⋅⋅-⋅⋅ 21
t 2t 3
=-+
21
(t 3)33
=--+，
当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）； （3）设213m,
m m 42⎛⎫- ⎪⎝⎭
， ∵∠OPQ ＝∠ACO ， ∴当
PQ PO OC AC =时，△PQO ∽△COA ，即PQ PO 84
=， ∴PQ ＝2PO ，即213
m m 2|m |42
-=， 解方程213
m m 2m 42-=得m 1＝0（舍去），m 2＝14，此时P 点坐标为（14，0）； 解方程213
m m 2m 42
-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，0）； ∴当
PQ PO AC OC =时，△PQO ∽△CAO ，即PQ PO 48=， ∴PQ ＝
1
2
PO ，即2131m m m 422-=，
解方程2131
m m m 422
=
-=得m 1＝0（舍去），m 2＝8，此时P 点坐标为（8，0）；
解方程2131
m m m 422
=
-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝4，此时P 点坐标为（4，0）； 综上所述，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）． 【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
7．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE 交x 轴于点E ，连接BD ． （1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式； （2）点P 是线段BD 上一点，当PE ＝PC 时，求点P 的坐标．
【答案】（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）点P 的坐标为（2，2）． 【解析】 【分析】
（1）利用待定系数法求出过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式；
（2）连接PC 、PE ，利用公式求出顶点D 的坐标，利用待定系数法求出直线BD 的解析式，设出点P 的坐标为（x ，﹣2x +6），利用勾股定理表示出PC 2和PE 2，根据题意列出方程，解方程求出x 的值，计算求出点P 的坐标． 【详解】
解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （3，0）两点， ∴10930b c b c --+=⎧⎨
-++=⎩，解得2
3
b c =⎧⎨=⎩，
∴所求的抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2+2x +3； （2）如图，连接PC ，PE ． 抛物线的对称轴为x ＝2
22(1)
b a -=-⨯-＝1． 当x ＝1时，y ＝4， ∴点D 的坐标为（1，4）． 设直线BD 的解析式为y ＝kx +b ，
则
4
30 k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得
2
6
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
．
∴直线BD的解析式为：y＝2x+6，
设点P的坐标为（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），
则PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，
∵PC＝PE，
∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，
解得，x＝2，
则y＝﹣2×2+6＝2，
∴点P的坐标为（2，2）．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．
8．如图，已知抛物线23
4 2
y ax x
=++的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；
（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．
【答案】（1）213
442
y x x =-
++，点A 的坐标为(-2，0)，点B 的坐标为(8，0)；（2）存在点P ，使△PBC 的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M 的坐标为(4-771)、(2，6)、(6，4)或7，71)． 【解析】 【分析】
（1） 由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a 值， 进而可得出抛物线的解析式， 再利用二次函数图象上点的坐标特征， 即可求出点A 、B 的坐标； （2） 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标， 由点B 、C 的坐标， 利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式， 假设存在， 设点P 的坐标为（x,213
-442
x x ++），过点P 作PD//y 轴， 交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为（x,1-
42x +），PD=-1
4
x 2+2x ，利用三角形的面积公式即可得出三角形PBC 的面积关于x 的函数关系式， 再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3） 设点M 的坐标为（m,213-442m m ++），则点N 的坐标为（m,1
-42
m +），进而可得出MN 2
124
m m =-
+，结合MN=3即可得出关于m 的含绝对值符号的一元二次方程， 解之即可得出结论 ． 【详解】 （1）
抛物线2
3
42
y ax x =+
+的对称轴是直线3x =， 3
232a
∴-=，解得：14
a =-，
∴抛物线的解析式为213
442
y x x =-++．
当0y =时，213
4042
x x -++=，
解得：12x =-，28x =，
∴点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()8,0．
（2） 当0x =时，213
4442
y x x =-
++=， ∴点C 的坐标为()0,4．
设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+≠． 将()8,0B 、()0,4C 代入y kx b =+，
804k b b +=⎧⎨
=⎩，解得：124
k b ⎧
=-
⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为1
42
y x =-
+． 假设存在， 设点P 的坐标为213,442x x x ⎛⎫
-++ ⎪⎝
⎭
，过点P 作//PD y 轴， 交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为1,42x x ⎛⎫
-
+ ⎪⎝⎭
，如图所示 ． 2213114424224PD x x x x x ⎛⎫
∴=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，
()222111·8?28416224PBC S PD OB x x x x x ∆⎛⎫∴=
=⨯-+=-+=--+ ⎪⎝⎭
． 10-<，
∴当4x =时，PBC ∆的面积最大， 最大面积是 16 ． 08x <<，
∴存在点P ，使PBC ∆的面积最大， 最大面积是 16 ．
（3） 设点M 的坐标为213,442m m m ⎛⎫-
++ ⎪⎝⎭，则点N 的坐标为1,42m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
， 2213114424224MN m m m m m ⎛⎫
∴=-++--+=-+ ⎪⎝⎭
．
又
3MN =，
21
234
m m ∴-+=．
当08m <<时， 有2
12304
m m -
+-=， 解得：12m =，26m =，
∴点M 的坐标为()2,6或()6,4；
当0m <或8m >时， 有2
12304
m m -
++=，
解得：3427m =-，4427m =+，
∴点M 的坐标为(427-，71)-或(427+，71)--．
综上所述：M 点的坐标为(427-，71)-、()2,6、()6,4或(427+，
71)--．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、 二次函数图象上点的坐标特征、 待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积， 解题的关键是： （1） 利用二次函数的性质求出a 的值； （2） 根据三角形的面积公式找出关于x 的函数关系式； （3） 根据MN 的长度， 找出关于m 的含绝对值符号的一元二次方程 ．
9．如图，抛物线与x 轴交于点A （，0）、点B （2，0），与y 轴交于点C （0，1），
连接BC ．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点N 为抛物线上的一个动点，过点N 作NP ⊥x 轴于点P ，设点N 的横坐标为t （），求△ABN 的面积S 与t 的函数关系式；
（3）若且
时△OPN ∽△COB ，求点N 的坐标．
【答案】（1）
；（2）
；（3）（
，
）或（1，2）．
【解析】
试题分析：（1）可设抛物线的解析式为，用待定系数法就可得到结论；
（2）当时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出AB，就可得到S与t的函数关系式；
（3）由相似三角形的性质可得PN=2PO．而PO=，需分和0＜t＜2两种情况讨论，由PN=2PO得到关于t的方程，解这个方程，就可得到答案．
试题解析：（1）设抛物线的解析式为，把C（0，1）代入可得：
，∴，∴抛物线的函数关系式为：，即
；
（2）当时，＞0，∴NP===，
∴S=AB•PN==；
（3）∵△OPN∽△COB，∴，∴，∴PN=2PO．
①当时，PN===，PO==，∴，整
理得：，解得：=，=，∵＞0，＜＜0，∴t=，此时点N的坐标为（，）；
②当0＜t＜2时，PN===，PO==t，∴，整理
得：，解得：=，=1．∵＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）．
综上所述：点N的坐标为（，）或（1，2）．
考点：1．二次函数综合题；2．待定系数法求二次函数解析式；3．相似三角形的性质．10．如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（13），点B（3，﹣
3），O为坐标原点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；
（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC 的大小及点C的坐标．
【答案】（1）2
2353
y x x
=；（2）t＞4；（3）∠BOC=60°，C（
3
2
，
3
2
）【解析】
分析：（1）将已知点坐标代入y=ax2+bx，求出a、b的值即可；
（2）利用抛物线增减性可解问题；
（3）观察图形，点A，点B到直线OC的距离之和小于等于AB；同时用点A（13
点B（33
详解：（1）把点A（13B（33y=ax2+bx得
3=
393
a b
a b
⎧+
⎪
⎨
-=+
⎪⎩
，解得
3
3
53
3
a
b
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
∴y=2
2353
x
+
（2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=
5
4
，
当x＞
5
4
时，y随x的增大而减小，
∴当t＞4时，n＜m．
（3）如图，设抛物线交x轴于点F，分别过点A、B作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E
∵AC≥AD，BC≥BE，
∴AD+BE≤AC+BE=AB，
∴当OC⊥AB时，点A，点B到直线OC的距离之和最大．∵A（13B（33
∴∠AOF=60°，∠BOF=30°，
∴∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°．
当OC⊥AB时，∠BOC=60°，点C坐标为（3
2
3
点睛：本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性．解答问题时注意线段最值问题的转化方法．。