系统抽样 (14)

[A 基础达标]
1．为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )
A ．50
B ．40
C ．25
D ．20
解析：选C.根据系统抽样的特点，可知分段间隔为1 00040
＝25. 2．现有60瓶牛奶，编号为1至60，若从中抽取6瓶进行检验，用系统抽样的方法确定所抽取牛奶的编号可能为( )
A ．3，13，23，33，43，53
B ．2，14，26，38，42，56
C ．5，8，31，36，48，54
D ．5，10，15，20，25，30 解析：选A.因为60瓶牛奶分别编号为1至60，所以把它们依次分成6组，每组10瓶，要从中抽取6瓶进行检验，用系统抽样的方法进行抽样．若在第一组抽取的编号为n (1≤n ≤10)，则所抽取的编号依次为n ，n ＋10，…，n ＋50.对照4个选项，只有A 项符合．
3．总体容量为203，若采用系统抽样法抽样，当抽样间距为多少时不需要剔除个体( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析：选D.因为203＝7×29，即203能被7整除，所以间隔为7时，不需要剔除个体．
4．从3 009名学生中选取50名学生组成数学兴趣小组，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从3 009人中剔除9人，剩下的3 000人再按系统抽样的方法抽取．则每人入选的概率( )
A ．不全相等
B ．均不相等
C ．都相等，且为503 009
D ．都相等，且为160
解析：选C.不管是被剔除的，还是其他个体，在抽样前，每个个体入样的概率都是
503 009. 5．(2018·临沂高一检测)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为( )
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
解析：选B.法一：分段间隔为84042
＝20.设在1，2，…，20中抽取的号码为x 0，在[481，720]之间抽取的号码记为20k ＋x 0，则481≤20k ＋x 0≤720，k ∈N *，所以24120≤k ＋x 020
≤36. 因为x 020∈⎣⎡⎦
⎤120，1，所以k ＝24，25，26，…，35. 所以k 值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.
法二：使用系统抽样的方法，从840人中抽取42人，即每20人中抽取1人，所以在区
间[481，720]抽取的人数为720－48020
＝12. 6．若总体中含有1 600个个体，现在要采用系统抽样法从中抽取一个容量为50的样本，则编号应均分为________段，每段有________个个体．
解析：因为1 60050
＝32，所以应均分为50段，每段32个个体． ★答案★：50 32
7．某学校用系统抽样的方法，从全校500名学生中抽取50名做问卷调查，现将500名学生编号为1，2，3，…，500，在1～10中随机地抽取一个号码，若抽到的是3号，则从11～20中应抽取的号码是________．
解析：将500名学生的编号分成50组，每组10个号码，由已知第一组中抽到的是3号，则第二组中抽到的号码是10＋3＝13.
★答案★：13
8．为了了解学生对某网络游戏的态度，高三(11)班计划在全班60人中展开调查．根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号：01，02，03，…，60.已知抽取的学生中最小的两个编号为03，09，则抽取的学生中最大的编号为________．
解析：由最小的两个编号为03，09可知，抽样距为k ＝9－3＝6，而总体容量N ＝60，
所以样本容量n ＝N k
＝10，即抽取10名同学，最大的编号为第10组抽取的个体的编号，故最大编号为3＋9×6＝57.
★答案★：57
9．为了了解参加某种知识竞赛的1 003名学生的成绩，抽取一个容量为50的样本，选用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程．
解：适宜选用系统抽样，抽样过程如下：
(1)随机地将这1 003个个体编号为1，2，3， (1003)
(2)利用简单随机抽样，先从总体中随机剔除3个个体，剩下的个体数1 000能被样本容量50整除，然后将1 000个个体重新编号为1，2，3， (1000)
(3)将总体按编号顺序均分成50部分，每部分包含20个个体．
(4)在编号为1，2，3，…，20的第一部分个体中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如抽取的号码是18.
(5)以18为起始号码，这样得到一个容量为50的样本：18，38，58，…，978，998.
10．某中学举行了为期3天的新世纪教职工体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校教职工中产生的影响，对全校500名教职工进行了问卷调查．如果要在所有答卷中抽出10份用于评估，应该如何抽样？请详细叙述抽样过程．
解：法一：采用随机数表法，步骤如下：
(1)先将500份答卷编号，可以编号为000，001，002， (499)
(2)在随机数表中随机选取一个起始位置．
(3)规定向右连续读取数字，以3个数为一组，如果读取的三位数大于499，则跳过去不读，如果遇到前面已经读过的，也跳过去不读，这样一直到取满10个号码为止．法二：系统抽样法，步骤如下：
(1)将500份答卷编号：1，2，3， (500)
(2)按1～50，51～100，101～150，…，451～500分成10组，每组50个编号．
(3)在第一组中运用抽签法随机选择一个编号(步骤略)，比如所选号码为17，则其他各组应取出的号码分别为67，117，167，217，267，317，367，417，467.
(4)将上述10个号码代表的答卷取出作为样本即可．
[B能力提升]
11．下列有关系统抽样的说法正确的是()
①从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取50个入样，适宜用系统抽样法；
②有1 252名学生的成绩，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，则总体中随机剔除的个体数目是2，但对于被剔除的2名学生来说，这样做是不公平的；
③从1 252个个体中采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，因为要从总体中
随机剔除2个个体，所以每个个体被抽到的可能性为
50
1 250＝
1
25.
A．①B．①③
C．②③D．①②③
解析：选A.①正确，因为总体容量较大，适宜用系统抽样法；②错误，整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性仍然相等，因为每个个体被抽到的机会相等，所以每个个体被剔除的机会也相等；③错误，若总体中的个体数N被样本容量n整除，则每个个体入样的可
能性是n N ，若N 不能被n 整除，需要剔除m 个个体，此时每个个体入样的可能性仍是n N
，而不是n N －m
，所以③中每个个体被抽到的可能性为501 252＝25626.故选A. 12．已知某种型号的产品共有N 件，且40＜N ＜50，现需要利用系统抽样抽取样本进行质量检测，若样本容量为7，则不需要剔除；若样本容量为8，则需要剔除1个个体，则N ＝________.
解析：因为样本容量为7时，不需要剔除，所以总体的容量N 为7的倍数，又40<N <50，所以N ＝42或49.若N ＝42，因为42除以8的余数为2，所以当样本容量为8时，需要剔除2个个体，不符合题意；若N ＝49，因为49除以8的余数为1，所以当样本容量为8时，需要剔除1个个体，满足题意，故N ＝49.
★答案★：49
13．为了调查某路口一个月的车流量情况，交警采用系统抽样的方法，样本距为7，从每周中随机抽取一天，他正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告．你认为交警这样的抽样方法有什么问题？应当怎样改进？如果是调查一年的车流量情况呢？
解：交警所统计的数据以及由此所推断出来的结论，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况．
改进方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号，再用系统抽样方法来抽样，或者使用简单随机抽样来抽样亦可．
如果是调查一年的交通流量，使用简单随机抽样法显然已不合适，比较简单可行的方法是把样本距改为8.
14．(选做题)某班共分5个组，每个组都有8名学生，学生的座次是按照个子高矮进行排列的．为调查此班学生的身高情况，李立是这样做的：分段间隔是8，按照每个小组的座次顺序进行编号．你觉得这样抽取的样本具有代表性吗？
解：假设这个班的学生是这样编号(这个编号也代表他们的身高)的：
第一组 a 1<a 2<a 3<a 4<a 5<a 6<a 7<a 8；
第二组 b 1<b 2<b 3<b 4<b 5<b 6<b 7<b 8；
第三组 c 1<c 2<c 3<c 4<c 5<c 6<c 7<c 8；
第四组 d 1<d 2<d 3<d 4<d 5<d 6<d 7<d 8；
第五组e1<e2<e3<e4<e5<e6<e7<e8.
如果按照李立的抽样方法，比如在第一组抽取了8号，也就是a8，那么所抽取的样本为a8，b8，c8，d8，e8所对应的学生的身高．显然，这样的样本不具有代表性，他们代表的身高偏高．。