灵璧县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

灵璧县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 函数f （x ）＝kx ＋b
x ＋1，关于点（－1，2）对称，且f （－2）＝3，则b 的值为（ ）
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．4
2． 若动点A ，B 分别在直线l 1：x+y ﹣7=0和l 2：x+y ﹣5=0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值
为（ ） A ．
3
B ．
2
C ．
3
D ．
4
3． 函数y=a 1﹣x （a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny ﹣1=0（mn ＞0
）上，则的最小
值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
4． 在△ABC 中，已知A=30°，C=45°，a=2，则△ABC 的面积等于（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
5． 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．3πa 2 B ．6πa 2 C ．12πa 2D ．24πa 2 6．
在区域内任意取一点P （x ，y ），则x 2+y 2
＜1的概率是（ ）
A ．0
B
． C
． D
．
7． 已知函数()x e f x x
=，关于x 的方程2
()2()10f x af x a -+-=（a R Î）有3个相异的实数根，则a 的
取值范围是（ ）
A ．21(,)21e e -+?-
B ．21(,)21e e --?-
C ．21(0,)21e e --
D ．2121e e 禳-镲
睚
-镲铪
【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力．
8． 6
2
)21(x x -
的展开式中，常数项是（ ） A ．45- B ．45 C ．16
15- D ．1615
9． 设等比数列{a n }的公比q=2，前n 项和为S n
，则=（ ）
A ．2
B ．4
C
．
D
．
10
．
=（ ）
A ．﹣i
B ．i
C ．1+i
D ．1﹣i
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
11．已知函数sin(2)y x ϕ=+在6
x π
=处取得最大值，则函数cos(2)y x ϕ=+的图象（ ）
A ．关于点(
0)6π
,对称 B ．关于点(0)3
π
,对称 C ．关于直线6
x π
=
对称 D ．关于直线3
x π
=
对称
12．已知函数f （x ）=2ax 3﹣3x 2+1，若 f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（0，1） C ．（﹣1，0）
D ．（﹣∞，﹣1）
二、填空题
13．若正方形P 1P 2P 3P 4的边长为1，集合M={x|x=且i ，j ∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题：
①当i=1，j=3时，x=2； ②当i=3，j=1时，x=0；
③当x=1时，（i ，j ）有4种不同取值； ④当x=﹣1时，（i ，j ）有2种不同取值； ⑤M 中的元素之和为0．
其中正确的结论序号为 ．（填上所有正确结论的序号）
14．已知函数f （x ）是定义在R 上的单调函数，且满足对任意的实数x 都有f[f （x ）﹣2x ]=6，则f （x ）+f （﹣x ）的最小值等于 ．
15．要使关于x 的不等式2
064x ax ≤++≤恰好只有一个解，则a =_________. 【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力.
16．如图：直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA ′和CC ′上，AP=C ′Q ，则四棱锥B ﹣APQC 的体积为 ．
17．若tan θ+
=4，则sin2θ= ．
18．在各项为正数的等比数列{a n }中，若a 6=a 5+2a 4，则公比q= ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：
员工编号
1 2 3 4 5 6
7
8
9
10
年薪（万元）
3
3．5
4 5
5．5 6．5
7
7．5
8 50
（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；
（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；
（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、5.4万元、6.5万元、2.7万元，预测该员工第五年的年薪为多少？
附：线性回归方程a x b y
ˆˆˆ+=中系数计算公式分别为： 1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=
-∑∑，x b y a
ˆˆ-=
，其中x 、y 为样本均值．
20．已知a ，b ，
c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c=asinC ﹣ccosA ．
（1）求A ；
（2）若a=2，△ABC 的面积为，求b ，c ．
21．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛， （1）男、女同学各2名，有多少种不同选法？
（2）男、女同学分别至少有1名，且男同学甲与女同学乙不能同时选出，有多少种不同选法？
22．本小题满分12分 设函数()ln x
f x e a x =- Ⅰ讨论()f x 的导函数'()f x 零点个数; Ⅱ证明:当0a >时,()2ln f x a a a ≥-
23．已知抛物线C ：x 2=2y 的焦点为F ．
（Ⅰ）设抛物线上任一点P （m ，n ）．求证：以P 为切点与抛物线相切的方程是mx=y+n ；
（Ⅱ）若过动点M （x 0，0）（x 0≠0）的直线l 与抛物线C 相切，试判断直线MF 与直线l 的位置关系，并予以证明．
24．（本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，(1,2
P 是椭圆上
1122|,||PF F F PF 成等差数列．
（1）求椭圆C 的标准方程；、
（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A B 、两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得7
16
QA QB ⋅=-恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
灵璧县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】
【解析】解析：选B.设点P （m ，n ）是函数图象上任一点，P 关于（－1，2）的对称点为Q （－2－m ，4－n ），
则⎩
⎪⎨⎪⎧n ＝
km ＋b m ＋1
4－n ＝k （－2－m ）＋b －1－m ，恒成立．
由方程组得4m ＋4＝2km ＋2k 恒成立， ∴4＝2k ，即k ＝2，
∴f （x ）＝2x ＋b x ＋1，又f （－2）＝－4＋b －1＝3，
∴b ＝1，故选B. 2． 【答案】A
【解析】解：∵l 1：x+y ﹣7=0和l 2：x+y ﹣5=0是平行直线， ∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M 到原点的距离的最小值
∵直线l 1：x+y ﹣7=0和l 2：x+y ﹣5=0， ∴
两直线的距离为
=
，
∴AB 的中点M
到原点的距离的最小值为
+
=3
，
故选：A
【点评】本题考查了两点距离公式，直线的方程，属于中档题．
3． 【答案】B
【解析】解：函数y=a 1﹣x
（a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A （1，1）， ∵点A 在直线mx+ny ﹣1=0（mn ＞0）上， ∴m+n=1．
则
=（m+n
）
=2+
=4，当且仅当
m=n=时取等号．
故选：B ．
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、指数函数的性质，属于基础题．
4． 【答案】B
【解析】解：因为△ABC 中，已知A=30°，C=45°，所以B=180°﹣30°﹣45°=105°．
因为a=2，也由正弦定理，c===2．
所以△ABC的面积，
S==
=2
=2（）=1+．
故选：B．
【点评】本题考查三角形中正弦定理的应用，三角形的面积的求法，两角和正弦函数的应用，考查计算能力．
5．【答案】B
【解析】解：根据题意球的半径R满足
（2R）2=6a2，
所以S球=4πR2=6πa2．
故选B
6．【答案】C
【解析】解：根据题意，如图，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），
分析可得区域表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；
x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为=，
由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x2+y2＜1的概率是=；
故选C．
【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算．
7． 【答案】
D
第Ⅱ卷（共90分）
8． 【答案】D
【解析】2612316611()()()22
r
r r r r r
r T C x C x
x --+=-
=-， 令1230r -=，解得4r
=．
∴常数项为44
61
15()216
C -=
． 9． 【答案】C
【解析】解：由于q=2， ∴
∴
；
故选：C ．
10．【答案】 B
【解析】解： =
=
=i ．
故选：B ．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．
11．【答案】A 【解析】∵22,6
2
k k Z π
π
ϕπ⨯
+=+
∈，∴2,6
k k Z π
ϕπ=+
∈，
∴cos(2)cos(22)cos(2)66
y x x k x π
π
ϕπ=+=++=+， 当6
x π
=
时，cos(2)066
y π
π
=⨯
+=，故选A ．
12．【答案】D
【解析】解：若a=0，则函数f （x ）=﹣3x 2
+1，有两个零点，不满足条件．
若a ≠0，函数的f （x ）的导数f ′（x ）=6ax 2
﹣6x=6ax （x ﹣），
若 f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，
若a ＞0，由f ′（x ）＞0得x ＞或x ＜0，此时函数单调递增，
由f ′（x ）＜0得0＜x ＜，此时函数单调递减，
故函数在x=0处取得极大值f （0）=1＞0，在x=处取得极小值f （），若x 0＞0，此时还存在一个小于0的零点，此时函数有两个零点，不满足条件．
若a ＜0，由f ′（x ）＞0得＜x ＜0，此时函数递增，
由f ′（x ）＜0得x ＜或x ＞0，此时函数单调递减，
即函数在x=0处取得极大值f （0）=1＞0，在x=处取得极小值f （）， 若存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，
则f （）＞0，即2a （）3﹣3（）2
+1＞0，
（）2
＜1，即﹣1＜＜0，
解得a ＜﹣1， 故选：D
【点评】本题主要考查函数零点的应用，求函数的导数，利用导数和极值之间的关系是解决本题的关键．注意分类讨论．
二、填空题
13．【答案】①③⑤
【解析】解：建立直角坐标系如图：
则P1（0，1），P2（0，0），P3（1，0），P4（1，1）．
∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，
对于①，当i=1，j=3时，x==（1，﹣1）•（1，﹣1）=1+1=2，故①正确；
对于②，当i=3，j=1时，x==（1，﹣1）•（﹣1，1）=﹣2，故②错误；
对于③，∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，
∴=（1，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0），
∴•=1；•=1；•=1；•=1；
∴当x=1时，（i，j）有4种不同取值，故③正确；
④同理可得，当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，故④错误；
⑤由以上分析，可知，当x=1时，（i，j）有4种不同取值；当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，当i=1，j=3时，x=2时，当i=3，j=1时，x=﹣2；
当i=2，j=4，或i=4，j=2时，x=0，
∴M中的元素之和为0，故⑤正确．
综上所述，正确的序号为：①③⑤，
故答案为：①③⑤．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的坐标运算，建立直角坐标系，求得=（1，
﹣1），==（0，﹣1），==（1，0）是关键，考查分析、化归与运算求解能力，属于难题．
14．【答案】6．
【解析】解：根据题意可知：f（x）﹣2x是一个固定的数，记为a，则f（a）=6，
∴f（x）﹣2x=a，即f（x）=a+2x，
∴当x=a时，
又∵a+2a=6，∴a=2，
∴f（x）=2+2x，
∴f（x）+f（﹣x）=2+2x+2+2﹣x=2x+2﹣x+4
≥2+4=6，当且仅当x=0时成立，
∴f（x）+f（﹣x）的最小值等于6，
故答案为：6．
【点评】本题考查函数的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
±.
15．【答案】22
【解析】分析题意得，问题等价于264
++≤只有一解，
x ax
x ax
++≤只有一解，即220
∴28022
∆=-=⇒=±，故填：22
a a
±.
16．【答案】V
【解析】
【分析】四棱锥B﹣APQC的体积，底面面积是侧面ACC′A′的一半，B到侧面的距离是常数，求解即可．【解答】解：由于四棱锥B﹣APQC的底面面积是侧面ACC′A′的一半，不妨把P移到A′，Q移到C，
所求四棱锥B﹣APQC的体积，转化为三棱锥A′﹣ABC体积，就是：
故答案为：
17．【答案】．
【解析】解：若tanθ+=4，则
sin2θ=2sinθcosθ=====，
故答案为．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．
18．【答案】2．
【解析】解：由a 6=a 5+2a 4得，a 4q 2=a 4q+2a 4，
即q 2
﹣q ﹣2=0，解得q=2或q=﹣1， 又各项为正数，则q=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意公比的符号，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）平均值为10万元，中位数为6万元．
（2）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；
ξ取值为0，1，2．
152)0(21024===C C P ξ，158)1(2101614===C C C P ξ，3
1)2(21026===C C P ξ， ∴ξ的分布列为
∴()012151535
E ξ=⨯+⨯+⨯=． （3）设)4,3,2,1(,=i y x i i 分别表示工作年限及相应年薪，则5,5.2==y x ，
21
() 2.250.250.25 2.255n i
i x x =-=+++=∑， 41()() 1.5(2)(0.5)(0.8)0.50.6 1.5 2.27i
i i x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑，
1
21()()7 1.45
()n i i
i n i
i x x y y b x x ==--===-∑
∑，
ˆˆ5 1.4 2.5 1.5a y b x =
-=-⨯=， 由线性回归方程为 1.4 1.5y x =+．可预测该员工年后的年薪收入为8.5
万元．
20．【答案】
【解析】解：（1
）c=
asinC ﹣ccosA ，由正弦定理有：
sinAsinC ﹣sinCcosA ﹣sinC=0，即sinC •
（
sinA ﹣cosA ﹣1）=0， 又，sinC ≠0，
所以sinA ﹣cosA ﹣1=0，即2sin （A ﹣
）=1， 所以A=；
（2）S △ABC =bcsinA=
，所以bc=4，
a=2，由余弦定理得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，即4=b 2+c 2﹣bc ， 即有，
解得b=c=2．
21．【答案】
【解析】解：（1）男、女同学各2名的选法有C 42×C 52=6×10=60种；
（2）“男、女同学分别至少有1名”包括有“一男三女”，“二男二女”，“三男一女”，
故选人种数为C 41×C 53+C 42×C 52+C 43×C 51=40+60+20=120．
男同学甲与女同学乙同时选出的种数，由于已有两人，故再选两人即可，此两人可能是两男，一男一女，两女，
故总的选法有C 32+C 41×C 31+C 42=21，
故有120﹣21=99．
22．【答案】
【解析】：Ⅰ'()x a f x e x
=-，因为定义域为(0,)+∞， '()0x a f x e x
=⇒=
有解 即x xe a =有解. 令()x h x xe =，'()(1)x h x e x =+， 当0,'()0,(0)0()0x h x h h x >>=∴> 所以，当0a ≤时，'()0,f x >无零点； 当0a >时，有唯一零点.
Ⅱ由Ⅰ可知，当0a >时，设'()f x 在(0,)+∞上唯一零点为0x ，
当0(,),'()0x x f x ∈+∞>，()f x 在0(,)x +∞为增函数；
当0(0,)x x ∈，'()0,f x <()f x 在0(0,)x 为减函数.0000
x x a e e x a x =
∴= 000000000()ln ln (ln )ln 2ln x x a a a a f x e a x a a a x ax a a a a a x e x x ∴=-=-=--=+-≥- 23．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）由抛物线C ：x 2=2y 得，y=x 2，则y ′=x ，
∴在点P （m ，n ）切线的斜率k=m ，
∴切线方程是y ﹣n=m （x ﹣m ），即y ﹣n=mx ﹣m 2
， 又点P （m ，n ）是抛物线上一点，
∴m 2=2n ，
∴切线方程是mx ﹣2n=y ﹣n ，即mx=y+n …
（Ⅱ）直线MF 与直线l 位置关系是垂直．
由（Ⅰ）得，设切点为P （m ，n ），则切线l 方程为mx=y+n ，
∴切线l 的斜率k=m ，点M （，0），
又点F （0，），
此时，k MF ==== …
∴k •k MF =m ×（）=﹣1，
∴直线MF ⊥直线l …
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，直线垂直的条件等，属于中档题．
24．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识，意在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力，以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用．
下面证明54m =时，716QA QB ⋅=-恒成立． 当直线l 的斜率为0时，结论成立；
当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
由1x ty =+及2
212
x y +=，得22(2)210t y ty ++-=， 所以0∆>，∴12122221,22
t y y y y t t +=-=-++．
111x ty =+，221x ty =+， ∴112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -⋅-=--+=2(1)t +121211()416
y y t y y -++＝ 22222211212217(1)242162(2)1616
t t t t t t t t --+-++⋅+=+=-+++． 综上所述，在x 轴上存在点5(,0)4Q 使得716
QA QB ⋅=-恒成立．。