最新-2018届高三数学一轮复习 专题四 解析几何第一讲 直线与圆 精品

专题四 解析几何第一讲 直线与圆
一、选择题
1．已知直线l 1的方向向量a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量b ＝(－1，k )．若直线l 2经过点 (0,5)且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为 ( )
A ．x ＋3y －5＝0
B ．x ＋3y －15＝0
C ．x －3y ＋5＝0
D ．x －3y ＋15＝0
解析：∵l 1⊥l 2，∴a ·b ＝0.
∴－1＋3k ＝0，∴k ＝13，∴b ＝⎝
⎛⎭⎪⎫－1，13. ∴l 2方程为y ＝－13
x ＋5， 即x ＋3y －15＝0.
答案：B
2．若直线x a ＋y b ＝1通过点M (cos α，sin α)，则 ( )
A ．a 2＋b 2≤1
B ．a 2＋b 2≥1
C.1a 2＋1b 2≤1
D.1a 2＋1b 2≥1 解析：直线x a ＋y b ＝1通过点M (cos α，sin α)，我们知道点M 在单位圆上，此问题可 转化为直线x a ＋y b ＝1和圆x 2＋y 2＝1有公共点，圆心坐标为(0,0)，由点到直线的距离 公式有|－1|1a 2＋1b
2≤1⇒1a 2＋1b 2≥1，故选D. 答案：D
3．(2018·福建)以抛物线y 2
＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 ( )
A ．x 2＋y 2＋2x ＝0
B ．x 2＋y 2＋x ＝0
C ．x 2＋y 2－x ＝0
D ．x 2＋y 2－2x ＝0
解析：∵抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，∴满足题意的圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，整 理得x 2＋y 2－2x ＝0，故选D.
答案：D
4．(2018·江西)直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23， 则k 的取值范围是 ( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪[0，＋∞)
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33
D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 解析：圆心(3,2)到直线的距离d ＝|3k ＋1|k 2＋1
， 则|MN |＝2
4－⎝ ⎛⎭
⎪⎫|3k ＋1|k 2＋12 ＝2－5k 2－6k ＋3k 2＋1≥23，解得－34≤k ≤0，故选A. 答案：A
5．(2018·湖北)若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2
有公共点，则b 的取值范围是
( )
A ．[1－22，1＋22]
B ．[1－2，3]
C ．[－1,1＋22]
D ．[1－22，3]
解析：y ＝3－4x －x 2变形为(x －2)2＋(y －3)2＝4(0≤x ≤4，1≤y ≤3)，表示以(2,3) 为圆心，2为半径的下半圆，如图所示．
若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2
有公共点，只需直线y ＝x ＋b 在图中两直线之 间(包括图中两条直线)，y ＝x ＋b 与下半圆相切时，圆心到直线y ＝x ＋b 的距离为2， 即|2－3＋b |2＝2，解得b ＝1－22或b ＝1＋22(舍去)，∴b 的取值范围为1－2 2 ≤b ≤3.故选D.
答案：D
二、填空题
6．(2018·全国Ⅰ)若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段
的长为22，则m 的倾斜角可以是：
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)．
解析：两直线x －y ＋1＝0与x －y ＋3＝0之间的距离为|3－1|2
＝2，又动直线l 1与l 2
所截的线段长为22，故动直线与两线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合．
答案：①⑤
7．(2018·四川理)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2
＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点， 且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．
解析：
如图所示，在Rt △OAO 1中，
OA ＝5，O 1A ＝25，∴OO 1＝5，
∴AC ＝5×255
＝2， ∴AB ＝4.
答案：4
8．(2018·课标全国)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方
程为________．
解析：由已知k AB ＝0，所以AB 的中垂线方程为x ＝3.①
过B 点且垂直于直线x －y －1＝0的直线方程为
y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0，②
联立①②解得⎩⎪⎨⎪
⎧ x ＝3，y ＝0，
所以圆心坐标为(3,0)，
半径r ＝4－32＋1－0
2＝2， 所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.
答案：(x －3)2＋y 2＝2
9．(2018·山东)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C
所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为
______________________________________________________________________．
解析：设圆心A (x 0,0)，x 0>0，r ＝|AC |＝x 0－1，|BC |＝2，由直线l 方程可知∠BCA。