凸函数在证明不等式中的应用

摘要
凸性是一种重要的几何性质，凸函数在泛函分析，最优化理论，数理经济学等领域都有着广泛的应用.本文首先给出了凸函数的定义和判定定理，同时讨论了凸函数的几条常用性质，最后重点展示了凸函数在证明不等式中的应用.
关键词: 凸函数，凸性，判定定理，Jensen不等式
Abstract
Convexity is an important geometric property. Convex function have extensive applications in functional analysis, optimal theory and mathematical economy. This article first has given the definition of convex function and its decision theorem, meanwhile discussed convex function several commonly used nature，lastly has demonstrated the convex function in inequality proof application.
Keywords：convex function，convexity, decision theorem, Jensen inequality
1 引言
在数学思想方法中，函数思想是一种很重要的思想方法，其精髓在于利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证，进而寻求解决问题的途径.
凸函数是一类重要的函数，它的概念最早由Jensen 给出.它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具.应用研究方面，凸函数作为一类特殊函数，在现代优化学、运筹学、管理学和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用.在数理经济学中, 对风险厌恶的度量, 也可以表现为对效用函数凸性的选择，函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态，把握函数在区间上的整体性态，不仅可以更加科学、准确地描绘出函数的图象，而且有助于对函数的定性分析.
由于凸函数具有较好的几何和代数性质，一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出，对不等式的证明最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的凸性就显得十分必要了，同时利用凸函数的凸性证明不等式，很容易证明不等式的正确性.因此，正确理解凸函数的定义、性质及其它在证明不等式中的应用，更对有关学术问题进行推广研究起着举足轻重的作用.
2 凸函数的基本知识
2.1 凸函数的定义
大家都熟悉函数2()f x x =的图像，它的特点是：曲线2y x =上任意两点间的弧总在这两点连线的下方.我们可以下这样一个定义：设()f x 在[,]a b 上有定义，假设曲线()y f x =上任意两点间的弧总位于连接该两点的线段之下，则称函数()f x 是凸函数.
定义[1] 假设函数()f x 对于区间(,)a b 内的任意12,x x 以及任意实数(0,1)λ∈，恒有
[]1212(1)()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-， 〔1〕
则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数.
如果〔1〕中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数.
常见的凸函数有：① ()(0)k f x x k =≠,x x x f ln )(=均为(0,)+∞内的严格凸函数；
②()ln(1),()0)x f x e f x c =+=≠均为(,)-∞+∞内的严格凸函数.
2.2 凸函数的判定定理及其性质
引理[1] 假设()f x 为区间I 上的凸函数，则对I 上的任意1x <2x <3x ,有
()()()()()()
213132213132
f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤
--- 〔2〕 定理1[1] 设f 为区间I 上的可导函数，则以下论断互相等价：
1 f 为I 上凸函数；
2 'f 为I 上的增函数；
3 对I 上的任意两点12,x x ，有()()()()'21121f x f x f x x x ≥+-.
定理2[1] 设f 为区间I 上的二阶可导函数，则f 在I 上为凸函数的充要条件是
''()0f x ≥〔x I ∈〕.
用定义来直接判断一个函数是不是凸函数，往往是很困难的，但用定理2来判断一个光滑函数是否为凸函数，则是相当简便的.在实际应用中常常先用导数来肯定函数的凸性，再反过来利用凸性证明不等式.
性质1[2] 假设()f x 是区间I 上的凸函数，则对I 上的任一内点x ,单侧导数
(),()f x f x +-''皆存在，且()()f x f x -+''≤0()x I ∀∈，这里0I 表示I 的全体内点组成之集合.
证明 因x 为内点,故12,,x x I ∃∈使得12x x x <<,,因为()f x 是区间I 上的凸函数，故
1212()()()()f x f x f x f x x x x x --≤
--，当1x 递增时,11()()
f x f x x x
--也递增. 故由单调有界原理知,下极限存在且'f -(x)= 11212()()()()
lim
x x
f x f x f x f x x x x x
→--≤
--. 同理,在此式中，令2x x →时,也可知'()f x +存在,且''()()f x f x -+≤. 性质2[2] 假设()f x 在区间I 上为凸函数，则f 在任一内点x ∈0I 上连续. 证明 事实上由性质1知：f +'与f -'存在，所以f 在x 处左右都连续.
性质3[2] 设函数()f x 在区间I 上为凸函数，则()f x 在I 上的任一闭子区间上有界. 证明 设[,]a b I ⊂为任一闭子区间，于是有 ①[,],x a b ∀∈取[0,1],x a
b a
λ-=
∈-则(1)x b a λλ=+-，因()f x 为凸函数,所以 ()[(1)]()(1)()(1)f x f b a f b f a M M M λλλλλλ=+-≤+-≤+-=，
其中max{(),()}M f a f b =，故()f x 在[,]a b 上有上界M ；
②记2
a b
c +=为,a b 的中点，则[,]x a b ∀∈，有关于c 的对称点x '，因()f x 为凸函数，所以
'()()11
()()()2222
x x f x f x f c f f x M '++=≤≤+，
从而 ()2()f x f c M m ≥-≡，即m 为()f x 在[,]a b 上的下界.
综上，()f x 在I 上的任一闭子区间上有界.
3 凸函数在证明不等式中的应用
在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙，但关键是构造能够解决问题的凸函数，运用函数的凸性及几个等价论断，使不等式简化进而得以证明.
Jensen 不等式[1]
()f x 是区间I 上的凸函数，12,,...,n x x x I ∀∈，对于满足1
1n
i i λ==∑ 的任意
12,,...,0n λλλ> ，有：
1
1
()()n
n
i i i i i i f x f x λλ==≤∑∑ 〔3〕
凸函数在不等式证明中的应用很大程度上是由Jensen 不等式来表达的，每个凸函数都有一个Jensen 不等式，因而它在一些不等式证明中有着广泛的应用.利用它可以推出常用的一些重要公式，为证明不等式开辟了一条新路.
它还可以有如下两种形式：
〔1〕Jensen 总和不等式[2] 设()f x 是(,)a b 内的凸函数，则对(,)a b 内的任意一组值
12,,...,n x x x 及任意正数12,,...,n p p p 必有不等式：
112211221212...()()...()
(
)......n n n n n n
p x p x p x p f x p f x p f x f p p p p p p ++++++≤++++++ 〔4〕
当且仅当i x 都相等时等式成立.
〔2〕Jensen 积分不等式[2] 设(),()f x p x 为[,]a b 上的可积函数，而
(),()0,()0b
a
m f x M p x p x dx ≤≤≥>⎰，
则当()()t m t M ϕ≤≤为凸函数时有
()()()[()](
)()()b
b
a
a
b
b
a
a
p x f x dx
p x f x dx
p x dx
p x dx
ϕϕ≤
⎰⎰⎰
⎰
〔5〕
3.1 凸函数在证明一般不等式中的应用
一、利用凸函数的定义证明不等式
例1 求证：对任意实数,a b ，有()2
12
a b
a b
e
e e +≤
+。

证明 设()x f x e =，则()()0(,)f x x ''≥∈-∞+∞，故()x f x e =为(),-∞+∞上的凸函数，从而对121
,,2
x a x b λ===
，由〔1〕式有 ()12121
111(1)(1)()2
222f x x f x f x ⎡⎤+-≤+-⎢⎥⎣⎦，
即()2
12
a b
a b
e
e e +≤
+. 例2 设01,01x a <<<<，证明：()()1111a
a
x x x -+-<-。

证明 设()()
()111a
a
f x x x -=+- ()01x <<，那么
()()()
()()()11
1111a
a
a
a f x a x x x ax ---'=-+-++-
()()()()()()
()()()()1
11
12
111111111a a
a
a
a a a
a f x a a x x a a x x a a x x a a x x
--------''=--+---+--+--+
()()
()()()()1
2112111111a a a a a a a x x x x x x x x -----⎡⎤=--+-++++-+⎣⎦
()()
()()()()1
1
2
2
111111a a a a a a x x a a x x
------=--+-=-+-，
由01,01x a <<<<知()0f x ''>，故()f x 为严格凸函数. 令12,1,0x x x λ===，得
()()()()*11*0110f x x xf x f +-<+-⎡⎤⎣⎦，
又()1f =0，()0f =1，得
()1f x x <-，
即()
()1111a
a
x x x -+-<-.
二、利用凸函数的性质证明不等式
例3 设函数()f x 是区间[0,)+∞上的凸函数，对于12,,...(0,),n x x x ∀∈+∞求证：
1212()()...()(1)(0)+(...)n n f x f x f x n f f x x x +++<-+++.
证明 对120...i i n n x x x x x x <<+<+++,由引理，有
1212()(0)()()(...)()
0...i i n i n n i i n i n n
f x f f x x f x f x x x f x x x x x x x x x -+-+++-<<
-+-+++-，
即
12121
()(0)[(...)()] (i)
i n n n x f x f f x x x f x x x x --<
++-+++，
令1,21i n =-,对上式两边求和，有
1
1
2
1
[()(0)](...)()n i
n n i f x f f x x
x f x -=-<++-∑，
整理，得：1212()()...()(1)(0)(...)n n f x f x f x n f f x x x +++<-++++. 例4 设12n ααα，，，均为正数，且121n ααα++
+=求证：
2
222121
2
1
1
1
(1)
()()()n n n n
αααααα++
++
+
++≥.
证明 考虑函数()2,f x x =因为()20f x ''=>，所以()2f x x =是凸函数. 假设1111,
x αα=+
1
,n n n
x αα=+
，由〔3〕式，令1
i n
λ=
，则有 ()()()12121[+]n n x x x f x f x f x f n n +++⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭
……， 即
222121
2
1
1
1
()()()n n
αααααα+++
+
++
1221
2
1
1
1
(
)n n
n n
αααααα+
++
+
++
≥，
又121n ααα++
+=，则
222121
2
1
1
1
()()()n n αααααα+
++
+
++
212
1111
(1)n
n ααα≥++++
， ①
由柯西不等式：2
222
1
1
1
()()n
n
n
i i
i i i i i a b a b ===≥∑
∑∑，得 12
1
1
1
n
ααα+
++
()1212
1
1
1
(
)+n n
αααααα=
+
++
++
()(
)(
)2
2
2
22
2
1
2
=[++
][++
]n
n αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++
⎪ ⎪⎝⎭
11+
1n ≥++=， ②
综合①、②两式，可以得到：
2
2
2
2
121
2
1
1
1
(1)()()()n n n n
αααααα++
++
+
++≥.
3.2 凸函数在证明经典不等式中的应用
一、 利用凸函数证明平均值不等式
在初等数学中，我们知道调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值，其证明通常用到数学归纳法.其实，这些不等式可在凸函数框架下统一证明.
例5 设0,1,2,,i a i n >=… ，证明：
1212111
n
n
a a a n n
a a a +++≤≤
+++……。

证明 设()ln ,(0,)f x x x =-∀∈∞ ，有01
)(2''>=
x
x f ，从而，函数()ln f x x =-在(0,)∞是严格凸函数， 取121
(0,),,1,2,...,,...1i i i n x a i n n
λλλλ=∈∞==+++=，由〔3〕式，有
()1212...1ln ln ln ...ln n n a a a a a a n n
+++-≤-+++
11112(ln ln ...ln )n n n n
a a a =-+++=-即
12...n
a a a n
+++≤
,
同理取1211
(0,),,1,2,...,,...1i i n i x i n a n
λλλλ=
∈∞==+++=,有 1212111...1111ln ln ln ...ln
n n
a a a n n a a a +++⎛⎫
-≤-+++ ⎪⎝⎭
=
(
)121
ln ln ln n a a a n
++=…即
12111
...n
n a a a ≤+++,
于是，n N +∀∈,有
1212...111...n
n
a a a n n
a a a +++≤+++.
例6 证明12,,...,,1n x x x R p +
∀∈≥，有1
1212......()p p p p
n n x x x x x x n n
++++++≤.
上式称为算术平均值不大于(1)p p ≥ 次平均值，特别的，当2p =，得到算术平均值不大于平方平均值.
证明 考察函数()(1)p f x x p =≥ 由于''2()(1)00p f x p p x x -=-≥∀>（）
， 所以()(1)p
f x x p =≥为凸函数，从而对12121,,...,,,,...,(0,1),1n
n n i i x x x R λλλλ+
=∀∈∀∈=∑，有
11221122(...)...p p p p n n n n x x x x x x λλλλλλ+++≤+++，
在上式中，令121
...n n
λλλ====
，得： 1212......p
p p p n n x x x x x x n n ++++++⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
， 即
1
1212......()p p p p
n n x x x x x x n n
++++++≤.
二、 利用凸函数证明Young 不等式
例7 假设0,0,0,0,0a b p q ε>>>>>，且
11
1p q
+=，求证Young 不等式： p
q q p
a b ab p
q εε
≤
+
.
证明 从所求证的不等式的形式来看，不容易直接找到合适的凸函数，因此，我们要对它进行一定的变形。

不妨让不等式两边同取自然对数，则有
ln()ln(
)p
q q p
a b ab p
q εε
≤+
，
由此很容易找到合适的凸函数。

考察函数()ln (0)f x x x =->，因为01
)(2
''>=x x f ，由定理2知()f x 在0x >时为凸函数。

又11
0,0,
1p q p q
>>+=，由〔1〕式可知 1
1
1111ln(
)ln ln ln()ln()p
q q p p q
p p q q
p p
a b b a a b p
p q p q q εεεεε
ε
--+
≤--=-- 1
1ln()ln()ln()p
p
a b ab εε
-
=--=-
于是ln()(
)p
q q p
a b ab ln p
q εε
≤+
，即
p
q q p
a b ab p
q εε
≤
+
，
特别地，当1,2p q ε=== 时，此不等式就是前面例5的结果，即平均值不等式。

Young 不等式在泛函分析、偏微分方程中应用很广，其积分形式为
1()()()()q
b
b
b p
q
p a
a
a f x g x dx f x dx g x dx p q
ε
ε-≤
+⋅⎰
⎰⎰.
例8 设()f x 在[,]a b 上有一阶连续导数，证明当()0f x ≠ 时，对1p >有
11()(1)()
p p b
b
p
p
p
a
a
f x dx p p
f x dx b a --+-≥-⎰
⎰
.
证明 我们知道Young 不等式的积分形式为
1()()()()q
b
b
b p
q
p a
a
a f x g x dx f x dx g x dx p q
ε
ε-≤
+⋅⎰
⎰⎰，
令q p p p -=-=1,
ε,则111,1p q p
ε
+== ,且 11111()(1)q p
p p
p p p p p q p
ε----⋅==-， 则
11()(1)()
p p b
b
p
p
p
a
a
f x dx p p
f x dx --+-⎰
⎰
1()()q
b
b p
q
p a
a f x dx f x dx p q
ε
ε--=
+⋅⎰⎰
1
()()
b a
f x dx b a f x ≥⋅
=-⎰， 故得证.
三、 利用凸函数证明复杂的三角不等式 例9 设,[0,]i i p R x π+∈∈ ，证明：
112211221212...sin sin ...sin sin
......n n n n
n n
p x p x p x p x p x p x p p p p p p ++++++≥
++++++. 证明 取()sin f x x =-，由()"sin 0f x x =≥知f 是[0,]π上的凸函数，由〔4〕式得：
11221
1221212...sin sin ...sin sin
......n n n n
n n
p x p x p x p x p x p x p p p p p p ++++++-≤-++++++， 所以
112211221212...sin sin ...sin sin
......n n n n
n n
p x p x p x p x p x p x p p p p p p ++++++≥++++++.
特别的：〔1〕如果在这个不等式中，令1(1,2,...,)i p i n ==，则得到
1212 (i)
sin sin ...sin n
n x x x n x x x n
+++≥+++；
〔2〕如果对于三角形的三个内角,,αβγ，则有
sin sin sin 3sin
3
αβγ
αβγ++++≤=
.
例10 设(0,)2x π
∈，证明：1cos21cos2(sin )(cos )x x x x -++≥
证明 先将原不等式化为 2
2
2sin 2cos (sin )(cos )x x x x +≥ 因为()x f x x =(0x ≠)为(0,)+∞上的凸函数，故当0,0a b >>,1
2
λ=
时，由〔1〕式有 ()()
(
)22
a b f a f b f ++≤， 令22sin ,cos a x b x ==，则
1222sin cos 11()()()()2222a b x x f f f ++====
， 2
2
2sin 2cos
()()(sin )(cos )22
x x
f a f b x x ++=，
综合以上两式，得到2
2
2sin 2cos (sin )(cos )x x x x +1cos21cos2(sin )(cos )x x x x -++≥这道题目很难用初等知识证明，但通过构造凸函数()x f x x =(0x ≠)，巧妙地令
2sin ,a x =2cos b x =,便可很方便的证得. 四、 利用凸函数证明Hadamard 不等式
例11 设()x ϕ是[]b a ,上的连续凸函数，证明Hadamard 不等式：
()()()212b a dx x a b b a b a ϕϕϕϕ+≤-≤⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎰. 证明 由于()x ϕ是[]b a ,上的连续凸函数，由凸函数的定义〔1〕式，令=
b x
b a
λ--，则1=
x a
b a
λ---，得： ()()()()()()()()b a x a x b a b a b b a x a x b x ϕϕϕϕ-+--≤
⎪⎭
⎫
⎝⎛--+-=1， 两边积分可得：
()()()()()1
[]b
b b a a a x dx a b x dx b x a dx b a ϕϕϕ≤-+--⎰⎰⎰
=()()2222
221[]2222b a b a a b ab b ab a b a ϕϕ⎛⎫⎛⎫--++--+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ()()()2a b b a ϕϕ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，
因而
()()()2
1b a dx x a b b a ϕϕϕ+≤-⎰ ①
又()()()dx x dx x dx x b
a a
b
b a b
a
⎰
⎰⎰+++=22
ϕϕϕ，假设令t b a x -+=，得
()()()dt t b a dt t b a dx x b
b a b a b
b a a
⎰⎰
⎰
+++-+=-+-=2
22ϕϕϕ，
所以()()()[]dx x x b a dx x b
b a b
a
⎰⎰++-+=2
ϕϕϕ，又()x ϕ是[]b a ,上的连续凸函数，令1
2
λ=，由定义〔1〕式，得：
()()11222a b a b x x ϕϕϕ+⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭
， 即
()()⎪⎭
⎫
⎝⎛+≥+-+22b a x x b a ϕϕϕ， 故
()()⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=⎪⎭⎫
⎝⎛+≥⎰
⎰+2222
b a a b dx b a dx x b
a
b
b a ϕϕϕ， 即
()⎰⎪⎭
⎫
⎝⎛+≥-b a b a dx x a b 21ϕϕ ②
由①、②两式可得
()()()212b a dx x a b b a b a ϕϕϕϕ+≤-≤⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎰. 五、 利用凸函数证明积分不等式
例12 设()f x 在[,]a b 上可积，(),()m f x M t ϕ≤≤是[,]m M 上的凸函数，则
11(
())[()]b b
a a f x dx f x dx
b a b a
ϕϕ≤--⎰⎰.
证明 取1
,1,2,,i i n n
λ==…，由〔3〕式，有
11
11()()n n
k k k k t t n n ϕϕ==≤∑∑， 令()k b a
t f a k
n
-=+，则有 1111(())[()]n n k k b a b a b a b a
f a k f a k b a n n b a n n
ϕϕ==----+⋅≤+⋅--∑∑， 由于()f x 可积，()t ϕ为凸函数，故(())f x ϕ可积。

上式中令n →∞取极限，即得到
11(
())[()]b b
a a f x dx f x dx
b a b a
ϕϕ≤--⎰⎰. 六、 利用凸函数证明Holder 不等式
例13 证明：假设1
1
1,1,1αβα
β
>>+
=及0,0(1,2,...,)i i a b i n >>=，则有Holder 不等式
成立：
1
1
1
1
1
()()n n
n
i i
i
i
i i i a b a b αββα===≤∑∑∑，
当且仅当i a α与i b β成正比例时等号成立.
证明 取()f x =(1,0)x x αα><<+∞，因为2()(1)0f x x ααα-''=->，所以()f x x α=在
(0,)+∞上为凸函数,由〔4〕式得:
112211221212......()......n n n n n n
t x t x t x t x t x t x t t t t t t ααα
α+++++≤
++++++， 即
11
1
1
()()()n
n
n
i i i i i i i i t x t x t α
α
α-===≤∑∑∑，
亦即
1
1
1
1
1
()()
n
n
n
i i
i i i i i i t x
t x t ααα
α
-===≤∑∑∑，
其中0,0(1,2,,)i i t x i n >>=…， 令,1αβα=
-则有1111
1ααβαα
-+=+=，于是有
1
1
1
1
1
()()n n
n
i i
i i
i
i i i t x t x t αβα===≤∑∑∑，
令1
,i i i i i t b x t a β
α-
==，则有
1
1
1
1
1
()()n n
n
i i
i
i
i i i a b a b αββα===≤∑∑∑.
当i a α与i b β成正比例时，即i i a kb αβ=(k 为正常数，1,2
1,i n n =-)，有
1
111
1
1
1
1
1
1
1
1
()()()
n
n
n
n
n
n
i i i i i i
i i i i i i i i a b k b k b a b a b ββαβββ
β
αβ
α
α
α
α
+
-
==========∑∑∑∑∑∑，
当i a α与i b β不成正比例时，i t 不全相等，又因为()f x x α=在(0,)+∞为严格凸函数，故严格不等式成立.
综上，Holder 不等式1
1
1
1
1
()()n
n
n
i i i i i i i a b a b αββα===≤∑∑∑成立，当且仅当i a α与i b β成正比例时等
号成立.
例14 12...0(1,2,...),1,,n i n a a a a i p A n +++>=>=设证明：111
1m
m p
p n n n n n p A A a p -==<-∑∑. 证明 设00A =，由12...n
n a a a A n
+++=
知
111111
1[(1)]11m
m m
m p
p p
p n
n n n n n n n n n n p p A A a A A nA n A p p ---====-=-----∑∑∑∑ 111
11(1)11m
m m p
p
p n
n n n n n n p p A nA n A A p p --====-+---∑∑∑ (1)
1
1
1111(1)(1)11p m
m
p p
p
n n n n n pn p A n A n A p p --==⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+
--⎢⎥⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
∑∑ 由Holder 不等式，有
(1)
1
1
1111(1)(1)11p m
m
p p
p
n n n n n pn p A n A n A p p --==⎡⎤⎡⎤⎛⎫-+
--⎢⎥⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
∑∑ 11
(1)
111
11111(1)(1)11p p
p
p p
p
p m m m p p
p
n n n n n n pn p A n A n A p p ----===⎧⎫⎧⎫
⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎪⎪⎪⎪
≤-+
--⎢⎥⎢⎥⎨⎬⎨⎬ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎢
⎥⎪⎪⎪⎪⎣⎦
⎣⎦⎩⎭
⎩
⎭
∑∑∑
1111111(1)(1)11m
m m p
p p n
n n n n n pn p p A n A n A p p p p -===⎛⎫⎧⎫-≤-+-+-⎨⎬ ⎪
--⎝⎭⎩⎭
∑∑∑ 111
1(11)11m
m p
p
n
k n k pn A n kA p p -===-+-+--∑∑ 1
11(11)11m
m
p
p n
k n k pn A n kA p p ==≤-+-+--∑∑ 1
(11)011
m
p n n pn n
A n p p ==-
+-+=--∑， 所以
1
11
1m
m p p n n n n n p A A a p -==≤-∑∑. 由于Holder 不等式中等号成立的条件是
1
(1,2,...,)n n
A n m A -=均为常数,而00A =，这实际上是不可能的，所以上式中的等号不成立，即 1
11
1m
m p p n
n n n n p A A a p -==<-∑∑. 总之，对于以上题目很难用初等知识证明，利用凸函数的凸性来研究不等式，比传统方法更简洁，其中关键是巧妙地构造凸函数，假设不能直接找出，则可以对不等式进行适当的变形，从而到达证明不等式的目的.同样，对于数学分析，泛函分析中的一些重要不等式，利用凸函数也可以建立统一框架，简捷方便地进行证明.反之，则很难到达同样的效果.
结束语
从上述对凸函数的定义、性质的讨论和在一些不等式证明中的应用可知, 凸函数具有一些非常好的性质, 在数学各个领域中都有着广泛的应用.但由于凸函数理论的广泛性, 因此对凸函数理论的研究成果还需进一步的深入和推广.
参考文献
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