高中数学苏教版必修四课下能力提升六诱导公式五～六-含答案

课下能力提升(六) 诱导公式五～六
一、填空题
1．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52π＋α·sin(α
－π)·cos(2π－α)的结果为________．
2．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
＋θ－π－θ
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ
＝________.
3．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－α＝________.
4．若f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋α＋1，且f (2 013)＝2，则f (2 015)＝________.
5．f (cos x )＝cos 2x ，则f (sin 15°)的值为________．
二、解答题
6．若sin(180°＋α)＝－10
10(0°<α<90°)，
求－α＋－90°－α
－α＋－270°－α的值．
7．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α为第三象限角，求
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π
2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π
2－α·tan 2π－απ－α
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
2－α·cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α的值．
8．已知sin(α＋β)＝1，求tan(2α＋β)＋tan β的值．
答 案
1．解析：原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝
⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos(－α) ＝sin α
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
＋α·(－sin α)·cos α＝sin αcos α·(－sin α)·cos α ＝－sin 2α.
答案：－sin 2
α
2．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θ
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
－θ－π－θ＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2
＝－2. 答案：－2
3．解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－2π3＋α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋α＝－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－α＝－a . 答案：－a
4．解析：∵f (2 013)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
×2 013＋α＋1 ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1 006π＋π2＋α＋1 ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＋1＝cos α＋1＝2， ∴cos α＝1.
∴f (2 015)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
×2 015＋α＋1 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π＋π2＋α＋1＝－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＋1 ＝－cos α＋1＝0.
答案：0
5．解析：∵sin 15°＝cos 75°，
∴f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝－
32. 答案：－32
6．解：由sin(180°＋α)＝－
1010(0°<α<90°)， 得sin α＝
1010，cos α＝31010，
∴原式＝－sin α－＋α
＋180°－α＋c ＋α
＝－sin α－cos α－cos α＋sin α＝－
1010－31010－31010＋1010＝2. 7．解：∵5x 2－7x －6＝0的两根x ＝2或x ＝－35
， ∴sin α＝－35.又∵α为第三象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－
45.∴tan α
＝34
. ∴原式＝－cos α－cos α2α
－tan αsin α－sin α
＝tan α＝34
. 8．解：∵sin(α＋β)＝1，
∴α＋β＝π2＋2k π，k ∈Z ，即α＝2k π＋π2
－β，k ∈Z. ∴tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β ＝tan(4k π＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0.。