高中数学人教A版选择性必修第一册两条直线平行和垂直的判定完整版课件
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1.若l1∥l2，则k1＝k2.( × )
2.若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条
直线垂直.( × ) 3.若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行.( √ )
2 题型探究
PART TWO
一、两条直线平行的判定
例1 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)， 试判断四边形ABCD是否为平行四边形，并给出证明.
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6.若经过点(m，3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是 14
__5___. 解析 由题意可知 kl＝14，又因为 kl＝2m－－m3， 所以2m－－m3＝41，解得 m＝154.
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解 由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在. kAB＝－5－m－m0＋1＝－6m－m，kCD＝0－5－－34＝21， 由于AB∥CD，所以kAB＝kCD， 即－6m－m＝21，得 m＝－2. 经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.
二、两条直线垂直的判定
例2 已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角 形，求m的值.
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3.直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为
A.(3,0)
B.(－3,0)
C.(0，－3)
√D.(0,3)
解析 设 P(0，y)，因为 l1∥l2，所以0y－＋11＝2， 所以y＝3.即P(0,3).
解 k1＝－10，k2＝230－ －210＝110， k1k2＝－1，∴l1⊥l2.
(2)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40).
解 l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴； k2＝104－0－－4010＝0，则 l2∥x 轴， ∴l1⊥l2.
核心素养之逻辑推理与数学运算
解得ab＝＝6－. 1，
所以D(－1,6).
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(2)试判定▱ABCD是否为菱形？ 解 因为 kAC＝43－－21＝1，kBD＝－61－－05＝－1， 所以kAC·kBD＝－1， 所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形.
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4.(多选)若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别 为k1，k2，则下列命题正确的是
√A.若l1∥l2，则斜率k1＝k2 √B.若k1＝k2，则l1∥l2 √C.若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2 √D.若α1＝α2，则l1∥l2
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5.若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分 线的斜率为___－__1___. 解析 若a＝3－b，则P，Q两点重合，不合题意.故PQ斜率存在. 由 kPQ＝33－ －ab－ －ba＝1， 得线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
对应关系
l1⊥l2(两直线的斜率都存在) ⇔_k_1k_2_＝__－__1_
l1的斜率不存在，l2的斜率为0 ⇔__l1_⊥__l2__
思考 两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？ 答案 不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
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5.(多选)设点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四个结论正确的是
√ √ A.PQ∥SR
B.PQ⊥PS
C.PS∥QS
√D.PR⊥QS
解析 由斜率公式知， kPQ＝－64＋－42＝－35，kSR＝12－ 2－162＝－53，kPS＝122＋－42＝53， kQS＝122－＋64＝－4，kPR＝162－＋24＝41， ∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS， ∴PS与QS不平行，故ABD正确.
行，则m的值是
A.13
√B.－13
C.2
D.－2
解析 由 kPQ＝kMN，即3－2m－－2m＝4－－3－ －12，得 m＝－31. 经检验知，m＝－13符合题意.
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2.已知直线l1的斜率为a，l2⊥l1，则l2的斜不存在
解析 当 a≠0 时，由 k1·k2＝－1 知，k2＝－1a， 当a＝0时，l2的斜率不存在.
由斜率公式可得 kAB＝2－5－－34＝13，kCD＝－03－－36＝13， kAD＝－30－－3－4＝－3，kBC＝36－ －52＝－12.
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合， 所以AB∥CD.由kAD≠kBC， 所以AD与BC不平行. 又因为 kAB·kAD＝31×(－3)＝－1， 所以AB⊥AD， 故四边形ABCD为直角梯形.
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4.若直线 l 经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与斜率为－32的直线垂直，则实
数 a 的值为
√A.－32
B.－32
C.23
D.32
解析 易知a＝0不符合题意. 当 a≠0 时，直线 l 的斜率 k＝－a－22－a＋2＝－1a， 由－a1·－32＝－1，得 a＝－23，故选 A.
素养 提升
用代数运算解决几何图形问题 (1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法， 先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定. (2)明确运算对象，探究运算思路，是对逻辑推理与数学运算核心素养 的考查.
3 随堂演练
PART THREE
1.若过点P(3,2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平
7.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m ＝_－__2__，若l1∥l2，则m＝__2__. 解析 由一元二次方程根与系数的关系得 k1·k2＝m2 ， 若 l1⊥l2，则m2 ＝－1，∴m＝－2. 若l1∥l2，则k1＝k2，即关于k的二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根， ∴Δ＝(－4)2－4×2×m＝0，∴m＝2.
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9.当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线： (1)倾斜角为135°； 解 由 kAB＝m2－m23＝tan 135°＝－1， 解得 m＝－23或 m＝1.
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： 两直线平行或垂直的条件. 2.方法归纳：分类讨论，数形结合. 3.常见误区： 研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况.
4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是
反思 感悟
判断两条直线是否垂直 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等 于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平 行或重合时，这两条直线也垂直.
跟踪训练2 判断下列各题中l1与l2是否垂直. (1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
反思 感悟
判断两条不重合的直线是否平行的方法
跟踪训练1 (1)已知l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)， 判断直线l1与l2是否平行.
解 ∵l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合， ∴l1∥l2.
(2)试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5) 的直线平行.
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI YU SHU XUE YUN SUAN
垂直与平行的综合应用 典例 已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C， D四点，试判定图形ABCD的形状.
解 由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，
解 四边形ABCD是平行四边形，证明如下： AB 边所在直线的斜率 kAB＝－12，CD 边所在直线的斜率 kCD＝－12， BC 边所在直线的斜率 kBC＝23，DA 边所在直线的斜率 kDA＝32. 因为kAB＝kCD，kBC＝kDA，所以AB∥CD，BC∥DA. 因此四边形ABCD是平行四边形.
A.相交
√B.平行
C.重合
D.以上都不对
解析 斜率都为0且不重合，所以平行.
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2.已知过A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是
√A.－8
B.0
C.2
D.10
解析 由题意可知，kAB＝4m－＋m2＝－2，所以 m＝－8.
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3.已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的
位置关系是
A.平行
√B.垂直
C.可能重合
D.无法确定
解析 由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立. 故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在. 设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2，故选B.
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10.已知▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4). (1)求点D的坐标；
解 设D点坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，
所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，
50－－12＝ab－－34， 所以ba－ －21＝34－－50，
(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； 解 由 kAB＝m2－m23，且－07－－32＝3， 则m2－m23＝－31，解得 m＝32或 m＝－3.
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(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行. 解 令m2－m23＝－9＋ 4－32＝－2，解得 m＝34或 m＝－1. 经检验，当 m＝34或 m＝－1 时，均符合题意.
解 若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1， 即m2－＋51·11－ ＋51＝－1，解得 m＝－7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1， 即11＋－15·m2－－11＝－1，解得 m＝3； 若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1， 即m2－＋51·m2－－11＝－1，解得 m＝±2. 综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.
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8.已知点A(－3，－2)，B(6,1)，点P在y轴上，且∠BAP＝90°，则点P的坐标是 _(_0_，__－__1_1_)_. 解析 设P(0，y)，由∠BAP＝90°知， kAB·kAP＝61－－－－32×y＋3 2＝y＋9 2＝－1， 解得y＝－11. 所以点P的坐标是(0，－11).
综合运用
11.(多选)已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1，0)，且直线AB与
直线CD平行，则m的值为
A.－1
√B.0
√C.1
D.2
解析 当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时AB∥CD. 当 m≠0 时，kAB＝m2＋m－4－m 3，kCD＝m＋2－10－1， 则 kAB＝kCD，即m＋m 1＝m2 ，得 m＝1，∴m＝0 或 1.
内
知识梳理
容
题型探究
索
随堂演练
引
课时对点练
1
PART ONE
知识梳理
知识点一 两条直线(不重合)平行的判定
类型 前提条件 对应关系
斜率存在 α1＝α2≠90° l1∥l2⇔_k_1_＝__k_2_
斜率不存在 α1＝α2＝90° l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在
图示
知识点二 两条直线垂直的判定
图示
2.若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条
直线垂直.( × ) 3.若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行.( √ )
2 题型探究
PART TWO
一、两条直线平行的判定
例1 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)， 试判断四边形ABCD是否为平行四边形，并给出证明.
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6.若经过点(m，3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是 14
__5___. 解析 由题意可知 kl＝14，又因为 kl＝2m－－m3， 所以2m－－m3＝41，解得 m＝154.
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解 由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在. kAB＝－5－m－m0＋1＝－6m－m，kCD＝0－5－－34＝21， 由于AB∥CD，所以kAB＝kCD， 即－6m－m＝21，得 m＝－2. 经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.
二、两条直线垂直的判定
例2 已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角 形，求m的值.
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3.直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为
A.(3,0)
B.(－3,0)
C.(0，－3)
√D.(0,3)
解析 设 P(0，y)，因为 l1∥l2，所以0y－＋11＝2， 所以y＝3.即P(0,3).
解 k1＝－10，k2＝230－ －210＝110， k1k2＝－1，∴l1⊥l2.
(2)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40).
解 l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴； k2＝104－0－－4010＝0，则 l2∥x 轴， ∴l1⊥l2.
核心素养之逻辑推理与数学运算
解得ab＝＝6－. 1，
所以D(－1,6).
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(2)试判定▱ABCD是否为菱形？ 解 因为 kAC＝43－－21＝1，kBD＝－61－－05＝－1， 所以kAC·kBD＝－1， 所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形.
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4.(多选)若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别 为k1，k2，则下列命题正确的是
√A.若l1∥l2，则斜率k1＝k2 √B.若k1＝k2，则l1∥l2 √C.若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2 √D.若α1＝α2，则l1∥l2
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5.若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分 线的斜率为___－__1___. 解析 若a＝3－b，则P，Q两点重合，不合题意.故PQ斜率存在. 由 kPQ＝33－ －ab－ －ba＝1， 得线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
对应关系
l1⊥l2(两直线的斜率都存在) ⇔_k_1k_2_＝__－__1_
l1的斜率不存在，l2的斜率为0 ⇔__l1_⊥__l2__
思考 两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？ 答案 不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
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5.(多选)设点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四个结论正确的是
√ √ A.PQ∥SR
B.PQ⊥PS
C.PS∥QS
√D.PR⊥QS
解析 由斜率公式知， kPQ＝－64＋－42＝－35，kSR＝12－ 2－162＝－53，kPS＝122＋－42＝53， kQS＝122－＋64＝－4，kPR＝162－＋24＝41， ∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS， ∴PS与QS不平行，故ABD正确.
行，则m的值是
A.13
√B.－13
C.2
D.－2
解析 由 kPQ＝kMN，即3－2m－－2m＝4－－3－ －12，得 m＝－31. 经检验知，m＝－13符合题意.
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2.已知直线l1的斜率为a，l2⊥l1，则l2的斜不存在
解析 当 a≠0 时，由 k1·k2＝－1 知，k2＝－1a， 当a＝0时，l2的斜率不存在.
由斜率公式可得 kAB＝2－5－－34＝13，kCD＝－03－－36＝13， kAD＝－30－－3－4＝－3，kBC＝36－ －52＝－12.
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合， 所以AB∥CD.由kAD≠kBC， 所以AD与BC不平行. 又因为 kAB·kAD＝31×(－3)＝－1， 所以AB⊥AD， 故四边形ABCD为直角梯形.
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4.若直线 l 经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与斜率为－32的直线垂直，则实
数 a 的值为
√A.－32
B.－32
C.23
D.32
解析 易知a＝0不符合题意. 当 a≠0 时，直线 l 的斜率 k＝－a－22－a＋2＝－1a， 由－a1·－32＝－1，得 a＝－23，故选 A.
素养 提升
用代数运算解决几何图形问题 (1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法， 先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定. (2)明确运算对象，探究运算思路，是对逻辑推理与数学运算核心素养 的考查.
3 随堂演练
PART THREE
1.若过点P(3,2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平
7.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m ＝_－__2__，若l1∥l2，则m＝__2__. 解析 由一元二次方程根与系数的关系得 k1·k2＝m2 ， 若 l1⊥l2，则m2 ＝－1，∴m＝－2. 若l1∥l2，则k1＝k2，即关于k的二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根， ∴Δ＝(－4)2－4×2×m＝0，∴m＝2.
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9.当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线： (1)倾斜角为135°； 解 由 kAB＝m2－m23＝tan 135°＝－1， 解得 m＝－23或 m＝1.
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： 两直线平行或垂直的条件. 2.方法归纳：分类讨论，数形结合. 3.常见误区： 研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况.
4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是
反思 感悟
判断两条直线是否垂直 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等 于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平 行或重合时，这两条直线也垂直.
跟踪训练2 判断下列各题中l1与l2是否垂直. (1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
反思 感悟
判断两条不重合的直线是否平行的方法
跟踪训练1 (1)已知l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)， 判断直线l1与l2是否平行.
解 ∵l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合， ∴l1∥l2.
(2)试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5) 的直线平行.
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI YU SHU XUE YUN SUAN
垂直与平行的综合应用 典例 已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C， D四点，试判定图形ABCD的形状.
解 由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，
解 四边形ABCD是平行四边形，证明如下： AB 边所在直线的斜率 kAB＝－12，CD 边所在直线的斜率 kCD＝－12， BC 边所在直线的斜率 kBC＝23，DA 边所在直线的斜率 kDA＝32. 因为kAB＝kCD，kBC＝kDA，所以AB∥CD，BC∥DA. 因此四边形ABCD是平行四边形.
A.相交
√B.平行
C.重合
D.以上都不对
解析 斜率都为0且不重合，所以平行.
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2.已知过A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是
√A.－8
B.0
C.2
D.10
解析 由题意可知，kAB＝4m－＋m2＝－2，所以 m＝－8.
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3.已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的
位置关系是
A.平行
√B.垂直
C.可能重合
D.无法确定
解析 由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立. 故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在. 设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2，故选B.
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10.已知▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4). (1)求点D的坐标；
解 设D点坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，
所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，
50－－12＝ab－－34， 所以ba－ －21＝34－－50，
(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； 解 由 kAB＝m2－m23，且－07－－32＝3， 则m2－m23＝－31，解得 m＝32或 m＝－3.
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(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行. 解 令m2－m23＝－9＋ 4－32＝－2，解得 m＝34或 m＝－1. 经检验，当 m＝34或 m＝－1 时，均符合题意.
解 若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1， 即m2－＋51·11－ ＋51＝－1，解得 m＝－7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1， 即11＋－15·m2－－11＝－1，解得 m＝3； 若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1， 即m2－＋51·m2－－11＝－1，解得 m＝±2. 综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.
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8.已知点A(－3，－2)，B(6,1)，点P在y轴上，且∠BAP＝90°，则点P的坐标是 _(_0_，__－__1_1_)_. 解析 设P(0，y)，由∠BAP＝90°知， kAB·kAP＝61－－－－32×y＋3 2＝y＋9 2＝－1， 解得y＝－11. 所以点P的坐标是(0，－11).
综合运用
11.(多选)已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1，0)，且直线AB与
直线CD平行，则m的值为
A.－1
√B.0
√C.1
D.2
解析 当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时AB∥CD. 当 m≠0 时，kAB＝m2＋m－4－m 3，kCD＝m＋2－10－1， 则 kAB＝kCD，即m＋m 1＝m2 ，得 m＝1，∴m＝0 或 1.
内
知识梳理
容
题型探究
索
随堂演练
引
课时对点练
1
PART ONE
知识梳理
知识点一 两条直线(不重合)平行的判定
类型 前提条件 对应关系
斜率存在 α1＝α2≠90° l1∥l2⇔_k_1_＝__k_2_
斜率不存在 α1＝α2＝90° l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在
图示
知识点二 两条直线垂直的判定
图示