湘教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第1章 集合与逻辑 1.1.1 第1课时 集合与元素

若-3=2a-1,则a=-1,
此时集合A含有两个元素-4,-3,符合要求.
综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.
知识点三
名称
符号
自然数集
N
常见数集及其表示
整数集
Z
有理数集
Q
实数集
R
过关自诊
用符号“∈”或“∉”填空.
(1)1 ∈ N+;(2)-3 ∉
1
N;(3)3
∈ Q;(4) 3 ∉
1
Q;(5)-2
且5∉B,求a的值.
解 ∵5∈A,∴a2+2a-3=5,解得a=2或a=-4.
当a=2时,|a+3|=5;当a=-4时,|a+3|=1.
又5∉B,∴a=-4.
2.确定性:集合中的元素是确定的.
3.无序性:集合中的元素没有顺序.
名师点睛
对集合中元素的基本属性的理解
(1)确定性是集合中元素的基本特征,没有确定性就不能成子”,其中“难题”“聪明”因界定的标准模糊,故都不能
组成集合.
(2)互异性是判断能否组成集合的另一标准,也是最容易被忽视的属性.
解 由题意可知,x-2=-3或2x2+5x=-3.当x-2=-3时,x=-1,把x=-1代入2x2+5x,
得集合的三个元素分别为-3,-3,12,不满足集合中元素的互异性,故x≠-1;
当 2x +5x=-3
2
3
时,x=- 或
2
x=-1(舍去),
当
3
7
x=- 时,集合的三个元素分别为- ,-3,12,满足集合中元素的互异性,
综上可知,实数a的值为0.
变式探究
(1)本例若去掉条件“a∈A”,其他条件不变,求实数a满足的条件.
(2)已知集合A含有两个元素a和a2,若1∈A,求实数a的值.
解 (1)由集合中元素的互异性可知a2≠1,即a≠±1.
(2)若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1.当a=1时,集合A有重复元素,所以a≠1;
中元素个数为0,即为空集.
重难探究·能力素养速提升
探究点一
集合中元素的确定性
【例1】判断下列各组对象能否构成一个集合:
(1)2023年9月召开的某校秋季运动会所有的男队员;
(2)方程x2-1=0的所有实根;
(3) 的近似值的全体;
2
(4)大于0的所有整数.
解 (1)能,因为男队员是确定的.
(2)能,因为x2-1=0的所有实根为-1,1,满足集合中元素的确定性.
课 标 要 求
1.通过实例,理解集合的含义,理解元素与集合的归属关系.
2.理解集合基本属性.
3.在具体情境中,理解空集的含义.
4.掌握集合的分类,熟练记忆常用数集的符号.
目 录 索 引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
基础落实·必备知识一遍过
知识点一
集合与元素
当a=-1时,集合A含有两个元素1,-1,满足集合中元素的互异性,所以a=-1.
规律方法
集合中元素的互异性
同一集合中的元素是互不相同的,即集合中的任何两个元素都是不同的对
象,相同的对象归入同一个集合时,只能写一次,算作集合中的一个元素.
探究点三
元素与集合的关系
【例3】 已知-3是由x-2,2x2+5x,12三个元素构成的集合中的元素,求x的值.
A. 5∈M
B.0∉M
C.1∈M

D.- ∈M
2
2.设集合M表示“1~10之间的所有质数”.请问3和8与集合M之间有何关系?
提示 3是集合M中的元素,即3属于集合M,记作3∈M;8不是集合M中的元素,
即8不属于集合M,记作8∉M.
知识点二
集合中元素的基本属性
1.互异性:同一集合中的元素是互不相同的.
2
2
故
3
x=- .
2
规律方法 解决元素与集合的关系问题的通法:根据元素的确定性建立分
类讨论的标准,求得参数的值,然后将参数值代入,检验是否满足集合中元
素的互异性.
变式训练2
用符号“∈”和“∉”填空.
(1) 2-1
2
(2)3
(3)-4
∈
∉
∈ R.
Q.
N.
学以致用·随堂检测促达标
1 2 3 4
1.已知1,x,x2三个实数构成一个集合,则x满足的条件是( D )
所以 1+ 2 < 11.所以依次应填∉,∈.
(3)由于n是正整数,所以n2+1≠3.
而当n=2时,n2+1=5,所以依次应填∉,∈.
(4)由于集合D中的元素是有序实数对(x,y),
而-1是数,所以-1∉D.
又(-1)2=1,所以依次应填∉,∈.
1 2 3 4
3.下列对象构成的集合是空集的是
③
.(填序号)
1.集合的概念
在数学语言中,把一些对象放在一起考虑时,就说这些对象组成了一个集合
或者集.给这些对象的总的名称,就是这个集合的名字.这些对象中的每一
个,都叫作这个集合的一个元素.
2.元素与集合的关系
知识点 关系
概念
元素
与集
合的
归属
关系
S是一个集合,a是
S的一个元素
属于
不属于 a不是S的元素
记法
读法
a∈S
①小于1的自然数;②2米高的人;③方程x2-x+1=0在实数范围内的解集.
解析 因为方程x2-x+1=0的判别式Δ=1-4<0,所以方程无解,即解集为空集.
而小于1的自然数为0,2米高的人也存在,所以①②都不是空集.
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4.设A表示由a2+2a-3,2,3构成的集合,B表示由2,|a+3|构成的集合,已知5∈A,
模棱两可的,则不能构成一个集合.
变式训练1
下列各组对象不能构成集合的是( B )
A.某教室内的全部桌子
B.2024年高考数学难题
C.所有有理数
D.小于π的正整数
解析 “某教室内的全部桌子”属于确定的概念,故能构成集合;
由于“难题”属于不确定的概念,因此“2024年高考数学难题”不能构成集合;
由于任意给一个数都能判断是否为有理数,故能构成集合;小于π的正整数
过关自诊
1.判断下列各组对象能否构成一个集合:
(1)不超过36的非负数;
(2)方程x2-10=0在实数范围内的解;
(3)某校2023年在校的所有成绩好的同学;
(4)π的近似值的全体.
解 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过36的非负数”,所以能构成集
合.
(2)能构成集合.
(3)“成绩好”无明确的标准,因此不能构成一个集合.
(4)“π的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“3”是不是
它的近似值,所以不能构成集合.
2.已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,若-3是集合A中的元素,试求实数a的
值.
解 因为-3是集合A中的元素,
所以-3=a-3或-3=2a-1.
若-3=a-3,则a=0,
此时集合A含有两个元素-3,-1,符合要求;
∈ R.
知识点四
1.有限集:元素个数
2.无限集:元素
集合的分类
有限
的集合.
无限多 的集合.
3.空集:没有元素的集合叫空集,记作 ⌀ ;空集也是有限集.
过关自诊
方程5x2+2=0在实数范围内的解能构成集合吗?若能构成集合,集合中元素
个数为多少?
提示 该方程的实数解能构成一个集合,该集合中不含任何元素,因此集合
分别为1,2,3,能够组成集合.故选B.
探究点二
集合中元素的互异性
【例2】 已知集合A含有两个元素1和a2,若a∈A,求实数a的值.
解 由题意可知,a=1或a2=a,
(1)若a=1,则a2=1,这与a2≠1相矛盾,故a≠1.
(2)若a2=a,则a=0或a=1(舍去),
又当a=0时,A中含有元素1和0,满足集合中元素的互异性,符合题意.
A.x≠0
B.x≠1
C.x≠±1 D.x≠0且x≠±1
1 ≠ ,
解析 根据集合中元素的互异性,得 ≠ 2 ,解得 x≠0 且 x≠±1.
2 ≠ 1,
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2.用符号∈或∉填空.
(1)设集合 A 是正整数构成的集合,则 0
∉
A, 2
∉
A,1 ∈
A;
(2)设集合 B 是小于 11的所有实数构成的集合,则 2 3 ∉ B,1+ 2 ∈
(3)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x构成的集合,则
3 ∉ C,5 ∈ C;
(4)设集合D是满足方程y=x2的有序实数对(x,y)构成的集合,则-1
(-1,1)
∈
D.
∉
D,
B;
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解析 (1)依次应填∉,∉,∈.
(2)2 3 = 12 > 11.
因为(1+ 2)2=3+2 2<11,
(3)不能,“近似值”无明确标准,故构不成集合.
(4)能,因为大于0的整数是确定的.
规律方法
集合的判定方法
集合中的元素是确定的,即对任何一个对象,我们都能判断它是或不是某个
集合中的元素,并且两者必居其一,因此它是判断一组对象能否构成集合的
一个标准.若这组对象是明确的、具体的,则它们可以构成一个集合;若是
a属于S
a∉S
(或a S,a⋷S)
a不属于S
名师点睛
集合概念的理解
(1)整体性:集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象
一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.
(2)广泛性:组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式,也可以是人或
物等,即对象形式多样.
过关自诊
1.集合M是由大于-2,且小于1的实数构成的,则下列关系式正确的是( D )