解析函数的定义
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以上定理的证明, 可利用求导法则.
根据定理可知: (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.
P(z) ( 2) 任何一个有理分式函数 在不含分母为 Q( z ) 零的点的区域内是解析 的, 使分母为零的点是 它的奇点.
• §2 函数解析的充要条件
• 2. 1 回顾解析函数 • 2.1.1 如果函数 f ( z ) 不仅在点 z 0 处可导， 而且在点 z0 的某邻域内的每一点都可导，则 称 f ( z ) 在点 z0 处解析，并称点 z0是函数的解 析点；如果函数 f ( z )在区域 D 内每一点都解 析，则称 f ( z )在区域 D 内解析或称 f ( z )为区 域 D 内的解析函数，区域 D 称为的 f ( z ) 解析 区域.
例5
2 研究函数 f ( z ) z , g ( z ) x 2 yi 和 2
h( z ) z 的解析性 . 解 由本节知识可知:
f ( z ) z 2 在复平面内是解析的 ;
g( z ) x 2 yi 处处不解析;
下面讨论 h( z ) z 的解析性 ,
h( z0 z ) h( z0 ) z0 z z0 z z
• 例1 求函数 • 解 因为
f ( z) z
n
的导数（ n 为正整数）.
n
k k ( z z )n Cn z (z )nk
(z) C (z)
n 1 n
n1
z C (z)
2 n
k 0
n 2
z C (z)
2 n n
n n
z
n
所以，由导数定义有
z 0
小, f ( z0 ) z 是函数 w f ( z ) 的改变量 w 的 线性部分. f ( z0 ) z 称为函数 w f ( z )在点 z0 的微分,
记作
dw f ( z0 ) z .
如果函数在 z0 的微分存在, 则称函数 f ( z ) 在 z0 可微.
由于 k 的任意性,
z 1 ki 不趋于一个确定的值 . z 1 ki
h( z0 z ) h( z0 ) lim 不存在. z 0 z
因此 h( z ) z 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都 不可导, 根据定义, 它在复平面内处处不解 析.
2
1 例6 研究函数 w 的解析性. z
所以f ( z ) x 2 yi的导数 不存在.
o
x 0
y
z
y 0
x
• 1.1.2 可导与连续的关系 • 若函数 w f ( z)在点 z 0 处可导，则 f ( z )在 点 z 0 处必连续. 当w为常数时,连续函数可导. • 证 因为
f ( z) f ( z0 ) lim f ( z ) f ( z 0 ) lim ( z z 0 ) z z0 z z0 z z0
(1 z ) • （2） f ( z ) 2 z
• 解 （1）
2 4
( z 0)
f ( z) 5(2z 2 i) 4 4 z 20z(2 z 2 i) 4
4(1 z ) 2 z 2 z (1 z ) （2） f ( z ) 4 z
2 3 3
2 4
2 2 3 2 3 (1 z ) (3 z 1) z
f f ( z z ) f ( z ) lim lim z 0 z z 0 z ( x x ) 2( y y )i x 2 yi lim z 0 z y
x 2yi lim z 0 x yi
z
o
y 0
• 若极限
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim z 0 z
•
（或
f ( z ) f ( z0 ) lim ） z z0 z z0
（2.1）
• 存在，则称 f ( z )在点 z 0 处可导，
• 此极限值称为 f ( z ) 在点 z 0 处的导数，记作 f ( z 0 )
n1 ( 2) ( z ) nz , 其中n为正整数.
n
( 3) (4)
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z )
f ( z ) g( z ).
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ).
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ) f ( z ) ( 5) . ( g ( z ) 0) 2 g (z) g( z )
dw 或 ，即 dz z z0
f ( z0 z ) f ( z0 ) dw lim f ( z0 ) dz z z0 z 0 z
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内每一点都可导， 则称 f ( z ) 在 D 内可导. • 如果函数 f ( z ) 在曲线 L上每一点都可导， 则称 f ( z )在 L上可导.
故 f ( z ) z Re( z ) 在 z 0 处可导.
( 2 ) z 0,
f ( z z ) f ( z ) ( z z ) Re( z z ) z Re( z ) z z
z [Re( z z ) Re( z )] Re( z z ) z
f ( z z ) f ( z ) 所以 lim 不存在. z 0 z
即当 z 0 时, f ( z ) 不可导,
因此 f ( z ) 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都不 可导, 根据定义, 它在复平面内处处不解 析.
1 课堂练习 研究函数 w 的解析性. z
答案
如果函数 f ( z )在 区域 D内处处可微, 则称 f ( z )在 区域 D内可微.
1. 2 解析函数的概念 1.2.1 解析函数的定义
如果函数 f ( z ) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可 导, 那末称 f ( z ) 在 z0 解析.
如果函数 f ( z )在 区域 D内每一点解析, 则称 f ( z )在 区域 D内解析. 或称 f ( z )是 区域 D 内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数).
处处不可导,处处不解析.
定理
(1) 在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与 g( z ) 的 和、差、积、商(除去分母为零的点)在 D 内解析.
( 2) 设函数 h g( z ) 在 z 平面上的区域 D 内解析, 函数 w f ( h) 在 h 平面上的区域 G 内解析. 如果 对 D 内的每一个点 z , 函数 g( z ) 的对应值 h 都属 于 G , 那末复合函数 w f [ g( z )] 在 D 内解析.
n n ( z z ) z f ( z) ( z n ) lim z 0 z
lim[( z )
z 0
n 1
C (z )
1 n
n2
z C
n 1 n
z
n 1
]
nz n 1
例2 问f ( z ) x 2 yi是否可导？ 解
解
1 因为 w 在复平面内除 z 0 处处可导, z dw 1 且 2, dz z
所以 w在复平面内除 z 0 外处处解析,
z 0 为它的奇点 .
. 例7 研究函数 f ( z ) z Re( z ) 的可导性与解析性
解
(1) z 0,
f ( 0 z ) f ( 0 ) z Re(z ) lim lim 0, z 0 z 0 z z
第2章 解析函数
By 付小宁
§1 解析函数的概念
• 1.1.1复变函数的导数 • 定义1 设函数f ( z ) 在包含 z 0的某区域 D 内有定义，当 变量 z 在点 z 0 处取得增量 z ( z 0 z D) 时，相应地， 函数 f ( z ) 取得增量
w f ( z0 z) f ( z0 )
(6) f [ g( z )] f ( w ) g( z ). 其中 w g( z )
1 (7) f ( z ) , 其中 w f ( z )与z ( w )是 ( w ) 两个互为反函数的单值 函数, 且 ( w ) 0
• 例3 求下列函数的导数. • （1） f ( z) (2 z 2 i) 5
令 z x iy ,
x f ( z z ) f ( z ) z x x , x iy z
f ( z z ) f ( z ) 因为 lim x, x 0 z y 0
f ( z z ) f ( z ) lim z x, y 0 z x 0
4 20i
•1.1.4 复变函数的微分
复变函数微分的概念在形式上与一元实变 函数的微分概念完全一致. 定义2 设函数 w f ( z )在 z0 可导, 则 w f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) z ( z )z ,
式中 lim ( z ) 0, ( z )z 是 z 的高阶无穷
1.2.2 奇点的定义
如果函数 f ( z ) 在 z0 不解析, 那末称 z0 为 f ( z ) 的奇点.
根据定义可知:
函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.
但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等 价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点 处解析. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高 得多.
x
设z z沿着平行于 x 轴的直线趋向于z，
x x 2yi lim 1, lim x 0 x z 0 x yi
设z z沿着平行于 y 轴的直线趋向于z，
x 2yi 2yi lim lim 2, z 0 x yi y 0 yi
• 例4 设 f ( z ) ( z 2 2 z 4) 2 , 求f (i) . • 解 因为
f ( z) 2( z 2 2z 4) (2z 2)
• 所以
f (i) 2[(i) 2(i) 4] [2 (i) 2]
2
4(3 2i)(1 i)
特别地,
当 f ( z ) z 时,
dw dz f ( z0 ) z z ,
dw dw f ( z0 ) z f ( z0 ) dz , 即 f ( z0 ) dz z z 0
函数 w f ( z )在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
f ( z) f ( z0 ) lim ( z z 0 ) lim z z0 z z0 z z0
0 f ( z0 ) 0
f ( z ) f ( z 0 )，故 • 知 zlim z
0
f ( z )在点 z 0 处连续.
•1.1.3 导数运算法则
由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则: (1) (c ) 0, 其中c为复常数.
2 2
2
z ( z0 z )( z0 z ) z0 z0 z0 z z0 , z z h( z0 z ) h( z0 ) lim 0. (1) z0 0, z 0 z
( 2) z0 0,
令 z0 z 沿直线 y y0 k ( x x0 ) 趋于 z0 , y 1 i 1 ik z x i y x z x iy 1 i y 1 ik x
根据定理可知: (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.
P(z) ( 2) 任何一个有理分式函数 在不含分母为 Q( z ) 零的点的区域内是解析 的, 使分母为零的点是 它的奇点.
• §2 函数解析的充要条件
• 2. 1 回顾解析函数 • 2.1.1 如果函数 f ( z ) 不仅在点 z 0 处可导， 而且在点 z0 的某邻域内的每一点都可导，则 称 f ( z ) 在点 z0 处解析，并称点 z0是函数的解 析点；如果函数 f ( z )在区域 D 内每一点都解 析，则称 f ( z )在区域 D 内解析或称 f ( z )为区 域 D 内的解析函数，区域 D 称为的 f ( z ) 解析 区域.
例5
2 研究函数 f ( z ) z , g ( z ) x 2 yi 和 2
h( z ) z 的解析性 . 解 由本节知识可知:
f ( z ) z 2 在复平面内是解析的 ;
g( z ) x 2 yi 处处不解析;
下面讨论 h( z ) z 的解析性 ,
h( z0 z ) h( z0 ) z0 z z0 z z
• 例1 求函数 • 解 因为
f ( z) z
n
的导数（ n 为正整数）.
n
k k ( z z )n Cn z (z )nk
(z) C (z)
n 1 n
n1
z C (z)
2 n
k 0
n 2
z C (z)
2 n n
n n
z
n
所以，由导数定义有
z 0
小, f ( z0 ) z 是函数 w f ( z ) 的改变量 w 的 线性部分. f ( z0 ) z 称为函数 w f ( z )在点 z0 的微分,
记作
dw f ( z0 ) z .
如果函数在 z0 的微分存在, 则称函数 f ( z ) 在 z0 可微.
由于 k 的任意性,
z 1 ki 不趋于一个确定的值 . z 1 ki
h( z0 z ) h( z0 ) lim 不存在. z 0 z
因此 h( z ) z 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都 不可导, 根据定义, 它在复平面内处处不解 析.
2
1 例6 研究函数 w 的解析性. z
所以f ( z ) x 2 yi的导数 不存在.
o
x 0
y
z
y 0
x
• 1.1.2 可导与连续的关系 • 若函数 w f ( z)在点 z 0 处可导，则 f ( z )在 点 z 0 处必连续. 当w为常数时,连续函数可导. • 证 因为
f ( z) f ( z0 ) lim f ( z ) f ( z 0 ) lim ( z z 0 ) z z0 z z0 z z0
(1 z ) • （2） f ( z ) 2 z
• 解 （1）
2 4
( z 0)
f ( z) 5(2z 2 i) 4 4 z 20z(2 z 2 i) 4
4(1 z ) 2 z 2 z (1 z ) （2） f ( z ) 4 z
2 3 3
2 4
2 2 3 2 3 (1 z ) (3 z 1) z
f f ( z z ) f ( z ) lim lim z 0 z z 0 z ( x x ) 2( y y )i x 2 yi lim z 0 z y
x 2yi lim z 0 x yi
z
o
y 0
• 若极限
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim z 0 z
•
（或
f ( z ) f ( z0 ) lim ） z z0 z z0
（2.1）
• 存在，则称 f ( z )在点 z 0 处可导，
• 此极限值称为 f ( z ) 在点 z 0 处的导数，记作 f ( z 0 )
n1 ( 2) ( z ) nz , 其中n为正整数.
n
( 3) (4)
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z )
f ( z ) g( z ).
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ).
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ) f ( z ) ( 5) . ( g ( z ) 0) 2 g (z) g( z )
dw 或 ，即 dz z z0
f ( z0 z ) f ( z0 ) dw lim f ( z0 ) dz z z0 z 0 z
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内每一点都可导， 则称 f ( z ) 在 D 内可导. • 如果函数 f ( z ) 在曲线 L上每一点都可导， 则称 f ( z )在 L上可导.
故 f ( z ) z Re( z ) 在 z 0 处可导.
( 2 ) z 0,
f ( z z ) f ( z ) ( z z ) Re( z z ) z Re( z ) z z
z [Re( z z ) Re( z )] Re( z z ) z
f ( z z ) f ( z ) 所以 lim 不存在. z 0 z
即当 z 0 时, f ( z ) 不可导,
因此 f ( z ) 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都不 可导, 根据定义, 它在复平面内处处不解 析.
1 课堂练习 研究函数 w 的解析性. z
答案
如果函数 f ( z )在 区域 D内处处可微, 则称 f ( z )在 区域 D内可微.
1. 2 解析函数的概念 1.2.1 解析函数的定义
如果函数 f ( z ) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可 导, 那末称 f ( z ) 在 z0 解析.
如果函数 f ( z )在 区域 D内每一点解析, 则称 f ( z )在 区域 D内解析. 或称 f ( z )是 区域 D 内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数).
处处不可导,处处不解析.
定理
(1) 在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与 g( z ) 的 和、差、积、商(除去分母为零的点)在 D 内解析.
( 2) 设函数 h g( z ) 在 z 平面上的区域 D 内解析, 函数 w f ( h) 在 h 平面上的区域 G 内解析. 如果 对 D 内的每一个点 z , 函数 g( z ) 的对应值 h 都属 于 G , 那末复合函数 w f [ g( z )] 在 D 内解析.
n n ( z z ) z f ( z) ( z n ) lim z 0 z
lim[( z )
z 0
n 1
C (z )
1 n
n2
z C
n 1 n
z
n 1
]
nz n 1
例2 问f ( z ) x 2 yi是否可导？ 解
解
1 因为 w 在复平面内除 z 0 处处可导, z dw 1 且 2, dz z
所以 w在复平面内除 z 0 外处处解析,
z 0 为它的奇点 .
. 例7 研究函数 f ( z ) z Re( z ) 的可导性与解析性
解
(1) z 0,
f ( 0 z ) f ( 0 ) z Re(z ) lim lim 0, z 0 z 0 z z
第2章 解析函数
By 付小宁
§1 解析函数的概念
• 1.1.1复变函数的导数 • 定义1 设函数f ( z ) 在包含 z 0的某区域 D 内有定义，当 变量 z 在点 z 0 处取得增量 z ( z 0 z D) 时，相应地， 函数 f ( z ) 取得增量
w f ( z0 z) f ( z0 )
(6) f [ g( z )] f ( w ) g( z ). 其中 w g( z )
1 (7) f ( z ) , 其中 w f ( z )与z ( w )是 ( w ) 两个互为反函数的单值 函数, 且 ( w ) 0
• 例3 求下列函数的导数. • （1） f ( z) (2 z 2 i) 5
令 z x iy ,
x f ( z z ) f ( z ) z x x , x iy z
f ( z z ) f ( z ) 因为 lim x, x 0 z y 0
f ( z z ) f ( z ) lim z x, y 0 z x 0
4 20i
•1.1.4 复变函数的微分
复变函数微分的概念在形式上与一元实变 函数的微分概念完全一致. 定义2 设函数 w f ( z )在 z0 可导, 则 w f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) z ( z )z ,
式中 lim ( z ) 0, ( z )z 是 z 的高阶无穷
1.2.2 奇点的定义
如果函数 f ( z ) 在 z0 不解析, 那末称 z0 为 f ( z ) 的奇点.
根据定义可知:
函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.
但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等 价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点 处解析. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高 得多.
x
设z z沿着平行于 x 轴的直线趋向于z，
x x 2yi lim 1, lim x 0 x z 0 x yi
设z z沿着平行于 y 轴的直线趋向于z，
x 2yi 2yi lim lim 2, z 0 x yi y 0 yi
• 例4 设 f ( z ) ( z 2 2 z 4) 2 , 求f (i) . • 解 因为
f ( z) 2( z 2 2z 4) (2z 2)
• 所以
f (i) 2[(i) 2(i) 4] [2 (i) 2]
2
4(3 2i)(1 i)
特别地,
当 f ( z ) z 时,
dw dz f ( z0 ) z z ,
dw dw f ( z0 ) z f ( z0 ) dz , 即 f ( z0 ) dz z z 0
函数 w f ( z )在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
f ( z) f ( z0 ) lim ( z z 0 ) lim z z0 z z0 z z0
0 f ( z0 ) 0
f ( z ) f ( z 0 )，故 • 知 zlim z
0
f ( z )在点 z 0 处连续.
•1.1.3 导数运算法则
由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则: (1) (c ) 0, 其中c为复常数.
2 2
2
z ( z0 z )( z0 z ) z0 z0 z0 z z0 , z z h( z0 z ) h( z0 ) lim 0. (1) z0 0, z 0 z
( 2) z0 0,
令 z0 z 沿直线 y y0 k ( x x0 ) 趋于 z0 , y 1 i 1 ik z x i y x z x iy 1 i y 1 ik x