简单的几何不等式定理

3.模型三
过直线AB 外一点P 作射线PA 、PB 、PC 、PD ，其中C 、D 是AB 上的点，
（1）C 、D 调和分割AB ⇔任一射线的任一平行线被其他三条射线截得的线段相等；比如，GH PD ，则FG FH =.
（2）作任一直线对应交四条射线分别于A '、B '、C '、D '，则C '、D '调和分割A B ''⇔C 、D 调和分割AB .
4.常见的调和分割
（1）三角形的角平分线被其内心和相应的旁心调和分割.
（2）梯形两腰延长线的交点、对角线的交点调和分割两底边中点的连线.
（3）不相等且外离的两圆的连心线被两圆外公切线的交点与两圆内公切线的交点调和分割.
（4）若C 、D 调和分割圆的直径AB ，则圆周上任意点到C 、D 的距离之比为定值.
七、简单的几何不等式定理
1.定理
两点之间线段最短.2.定理三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边.
推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
3.定理三角形中，大角对大边，反之，大边对大角；即A B a b >⇔>.
4.结论
三角形中线长度小于夹它的两边的长度和的一半.如图，AM 是ABC ∆的中线，则2
AB AC AM +<.
5.结论凸多边形内部的线段，或者不超过凸多边形的最大边长，或者不超过凸多边形的最大对角线长.
6.结论圆中最长的弦是直径.
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7.结论
过圆内一定点最短的弦是垂直于过该点的直径的弦.8.定理
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.9.结论
平面上定点到圆上一动点的所有线段中，过圆心或延长线过圆心的线段最长或最短.
10.结论直线与圆相离，则直线上一动点与圆上一动点的连线段中，垂直于直线且延长线过圆心的线段最短.
直线与圆相离，则过直线上一动点作圆的切线，在所有切线段中，以圆心在直线上的射影点所作的切线段最短.
11.结论两圆相离，则两圆上的点的连线段中，两圆的连心线与两圆的交点形成的线段最短，两圆的连心线的延长线与两圆的交点形成的线段最长.
12.结论周长为定值的封闭图形中，圆面积最大；反之，面积为定值的封闭图形中，圆的周长最小.
可推广：表面积一定的简单几何体，体积最大的是球.反之，体积一定的简单几何体，表面积最小的是球.
13.结论周长为定值的凸多边形中，正凸多边形面积最大；反之，面积为定值的凸多边形中，正凸多边形周长最小.
特别地，周长为定值的三角形中，正三角形面积最大；反之，面积为定值的三角形中，正三角形周长最小.周长为定值的四边形中，正方形形面积最大；反之，面积为定值的四边形中，正方形周长最小.
推广：表面积一定，体积最大的三棱锥是正三棱锥.体积一定，表面积最小的三棱锥是正三棱锥.表面积一定，体积最大的长方体是正方体.体积一定，表面积最小的长方体是正方体.
14.结论周长一定的三角形中，各边的样本方差越小，该三角形的面积越大.比如，周长为20的三个三角形，第一个三边为7、7、6，第二个三边为6、8、6，第三个三边为7、8、5，则三边为7、7、6的三角形的面积最大.可以推广到多边形.
15.结论周长为定值的直角三角形中，等腰直角三角形面积最大；反之，面积为定值的直角三角形中，等腰直角三角形周长最小.
16.米勒定理如图，已知点,A B 是MON ∠的边ON 上的两个定点，点C 是边OM 上的一动点，则当且仅当ABC ∆的外接圆与边OM 相切于点C 时，ACB ∠最大.
17.结论到四边形四个顶点的距离之和最小的点是四边形对角线的交点.
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