人教中考数学—锐角三角函数的综合压轴题专题复习及详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90°， AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5） ，解答下列问题：
（1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？
（2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形23
15688
t t =-++ ，(05)t <<；（3）52t =时，PEGO S 四边形取得最大值；（4）165
t =
时，OE OQ ⊥. 【解析】
【分析】 （1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题．
（2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可．
（4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出
EC GQ OC OG
=，由此构建方程即可解决问题．
【详解】
（1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，
∴22108-=6（cm ），
∵OD 垂直平分线段AC ，
∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°，
∵CD ∥AB ，
∴∠BAC=∠DCO ，
∵∠DOC=∠ACB ，
∴△DOC ∽△BCA ， ∴AC AB BC OC CD OD ==， ∴61083CD OD
==， ∴CD=5（cm ），OD=4（cm ），
∵PB=t ，PE ⊥AB ， 易知：PE=34
t ，BE=54t ， 当点E 在∠BAC 的平分线上时，
∵EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，
∴PE=EC ，
∴
34
t=8-54t ， ∴t=4． ∴当t 为4秒时，点E 在∠BAC 的平分线上．
（2）如图，连接OE ，PC ．
S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）
=1414153154338838252
524524t t t t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+⨯⨯-+⨯-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣ =28
1516(05)33
t t t -+
+<<． （3）存在． ∵2
8568(05)323S t t ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭， ∴t=
52
时，四边形OPEG 的面积最大，最大值为683． （4）存在．如图，连接OQ ．
∵OE ⊥OQ ，
∴∠EOC+∠QOC=90°，∵∠QOC+∠QOG=90°，∴∠EOC=∠QOG，
∴tan∠EOC=tan∠QOG，∴EC GQ
OC OG
=，
∴
3
5
8
5
4
4
34
5
t
t
t
-
=
-
，
整理得：5t2-66t+160=0，
解得
16
5
t=或10（舍弃）
∴当16
5
t=秒时，OE⊥OQ．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.
2．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：
（1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为；
（2）如图2，若k=3，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数．
（3）如图3，若k=3，且D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．
【答案】（1）45°；（2）（1）中结论不成立，理由见解析；（3）（2）中结论成立，理由见解析.
【解析】
分析：（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出
△FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；
（2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出
△FAE ∽△ACD ，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；
（3）先判断出四边形ADBF 是平行四边形，得出BD=AF ，BF=AD ，进而判断出
△ACD ∽△HEA ，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；
详解：（1）如图1，过点A 作AF ∥CB ，过点B 作BF ∥AD 相交于F ，连接EF ，
∴∠FBE=∠APE ，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF 是平行四边形，
∴BD=AF ，BF=AD ．
∵AC=BD ，CD=AE ，
∴AF=AC ．
∵∠FAC=∠C=90°，
∴△FAE ≌△ACD ，
∴EF=AD=BF ，∠FEA=∠ADC ．
∵∠ADC+∠CAD=90°，
∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD ．
∵AD ∥BF ，
∴∠EFB=90°．
∵EF=BF ，
∴∠FBE=45°，
∴∠APE=45°．
（2）（1）中结论不成立，理由如下：
如图2，过点A 作AF ∥CB ，过点B 作BF ∥AD 相交于F ，连接EF ，
∴∠FBE=∠APE ，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF 是平行四边形，
∴BD=AF ，BF=AD ．
∵3BD ，3AE ， ∴
3AC CD BD AE
==． ∵BD=AF ，
∴3AC CD AF AE ==． ∵∠FAC=∠C=90°，
∴△FAE ∽△ACD ， ∴
3AC AD BF AF EF EF
===，∠FEA=∠ADC ． ∵∠ADC+∠CAD=90°，
∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD ．
∵AD ∥BF ，
∴∠EFB=90°． 在Rt △EFB 中，tan ∠FBE=
3EF BF =， ∴∠FBE=30°，
∴∠APE=30°，
（3）（2）中结论成立，如图3，作EH ∥CD ，DH ∥BE ，EH ，DH 相交于H ，连接AH ，
∴∠APE=∠ADH ，∠HEC=∠C=90°，四边形EBDH 是平行四边形，
∴BE=DH ，EH=BD ．
∵3BD ，3AE ，
∴
3AC CD BD AE
==． ∵∠HEA=∠C=90°，
∴△ACD ∽△HEA ， ∴
3AD AC AH EH
==∠ADC=∠HAE ． ∵∠CAD+∠ADC=90°，
∴∠HAE+∠CAD=90°，
∴∠HAD=90°． 在Rt △DAH 中，tan ∠ADH=
3AH AD
= ∴∠ADH=30°，
∴∠APE=30°．
点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和
性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．
3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．
（1）求证：∠AEC=90°；
（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；
（3）若DC=2，求DH的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）四边形AOCD为菱形；
（3）DH=2．
【解析】
试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得
，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出
∠AEC=90°；
（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由
DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．
试题解析：（1）连接OC，
∵EC与⊙O切点C，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE=90°，
∵点CD是半圆O的三等分点，
∴，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）
∴∠AEC+∠OCE=180°，
∴∠AEC=90°；
（2）四边形AOCD为菱形．理由是：
∵，
∴∠DCA=∠CAB，
∴CD∥OA，
又∵AE∥OC，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∵OA=OC，
∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
（3）连接OD．
∵四边形AOCD为菱形，
∴OA=AD=DC=2，
∵OA=OD，
∴OA=OD=AD=2，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∵DH⊥AB于点F，AB为直径，
∴DH=2DF，
在Rt△OFD中，sin∠AOD=，
∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=，
∴DH=2DF=2．
考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．
4．如图，矩形OABC 中，A(6，0)、C(0，
23)、D(0，33)，射线l 过点D
且与x 轴平行，点P 、Q 分别是l 和x 轴的正半轴上的动点，满足∠PQO ＝60º．
(1)点B 的坐标是 ，∠CAO ＝ º，当点Q 与点A 重合时，点P 的坐标
为 ；
(2)设点P 的横坐标为x ，△OPQ 与矩形OABC 重叠部分的面积为S ，试求S 与x 的函数关系式和相应的自变量x 的取值范围．
【答案】（1）（6，23）． 30．（3，33）（2）
()()()()243x 430x 33
31333x x 3x 5S {23x 1235x 93
543x 9+≤≤-+-<≤=-+<≤> 【解析】
解：（1）（6，23）． 30．（3，33）．
（2）当0≤x≤3时，
如图1，
OI=x ，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x ；
由题意可知直线l ∥BC ∥OA ，
可得
EF PE DC31
==
OQ PO DO3
33
==，∴EF=
1
3
（3+x），
此时重叠部分是梯形，其面积为：
EFQO
14343
S S EF OQ OC3x x43 233
==+⋅=+=+梯形
（）（）
当3＜x≤5时，如图2，
()
HAQ
EFQO EFQO
22
1
S S S S AH AQ
2
43331333
x43x3=x x
32232
∆
=-=-⋅⋅
=+---+-
梯形梯形。

当5＜x≤9时，如图3，
12
S BE OA OC312x
23
23
=x123
3
=+⋅=-
-+
（）（）。

当x＞9时，如图4，
11183543
S OA AH6
22
=⋅=⋅．
综上所述，S与x的函数关系式为：
(
)()()()243x 430x 33
31333x x 3x 5S {23x 1235x 9543x 9+≤≤-+-<≤=-+<≤>． （1）①由四边形OABC 是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B 的坐标：
∵四边形OABC 是矩形，∴AB=OC ，OA=BC ，
∵A （6，0）、C （0，23），∴点B 的坐标为：（6，23）．
②由正切函数，即可求得∠CAO 的度数：
∵OC 233tan CAO ==OA 63
∠=，∴∠CAO=30°． ③由三角函数的性质，即可求得点P 的坐标；如图：当点Q 与点A 重合时，过点P 作PE ⊥OA 于E ，
∵∠PQO=60°，D （0，3∴3
∴0PE
AE 3tan 60==．
∴OE=OA ﹣AE=6﹣3=3，∴点P 的坐标为（3，3）．
（2）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x ＞9时去分析求解即可求得答案．
5．如图，MN 为一电视塔，AB 是坡角为30°的小山坡(电视塔的底部N 与山坡的坡脚A 在同一水平线上，被一个人工湖隔开)，某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度．在坡脚A 处测得塔顶M 的仰角为45°；沿着山坡向上行走40m 到达C 处，此时测得塔顶M 的仰角为30°，请求出电视塔MN 的高度．(2≈1.413≈1.73，结果保留整数)
【答案】95m
【解析】
【分析】过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F．在△ACE中，求AE＝203m，在RT△MFC中，设MN＝x m，则AN＝xm．FC＝3xm，可得x＋203＝3 ( x－20)，解方程可得答案..
【详解】解：过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F．
在△ACE中，AC＝40m，∠CAE＝30°
∴CE＝FN＝20m，AE＝203m
设MN＝x m，则AN＝xm．FC＝3xm，
在RT△MFC中
MF＝MN－FN＝MN－CE＝x－20
FC＝NE＝NA＋AE＝x＋203
∵∠MCF＝30°
∴FC＝3MF，
即x＋203＝3 ( x－20)
解得：x＝403 31
＝60＋203≈95m
答：电视塔MN的高度约为95m．
【点睛】本题考核知识点：解直角三角形.解题关键点：熟记解直角三角形相关知识，包括含特殊角的直角三角形性质.
6．兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°，拉索AB的长为
152米，主塔处桥面距地面7.9米（CD的长），试求出主塔BD的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
【答案】主塔BD的高约为86.9米．
【解析】
【分析】
根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度，再由BD=BC+CD可得出.
【详解】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
sin BC
A
AB
=．
∴sin152sin311520.5279.04
BC AB A︒
=⨯=⨯=⨯=．
79.047.986.9486.9
BD BC CD
=+=+=≈（米）
答：主塔BD的高约为86.9米．
【点睛】
本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键.
7．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
（2）连接FC，观察并直接写出∠FCN的度数（不要写出解答过程）
（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请求出tan∠FCN的值．若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．
【答案】（1）见解析；（2）∠FCN＝45°，理由见解析；（3）当点E由B向C运动时，
∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN
＝4
3
．理由见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据三角形判定方法进行证明即可．
（2）作FH ⊥MN 于H ．先证△ABE ≌△EHF ，得到对应边相等，从而推出△CHF 是等腰直角三角形，∠FCH 的度数就可以求得了．
（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论． 【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形， ∴AB ＝AD ，AE ＝AG ＝EF ，∠BAD ＝∠EAG ＝∠ADC ＝90°， ∴∠BAE +∠EAD ＝∠DAG +∠EAD ，∠ADG ＝90°＝∠ABE ， ∴∠BAE ＝∠DAG ， 在△ADG 和△ABE 中，
ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ADG ≌△ABE （AAS ）． （2）解：∠FCN ＝45°，理由如下： 作FH ⊥MN 于H ，如图1所示：
则∠EHF ＝90°＝∠ABE ， ∵∠AEF ＝∠ABE ＝90°，
∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∠FEH +∠AEB ＝90°， ∴∠FEH ＝∠BAE ，在△EFH 和△ABE 中，
EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△EFH ≌△ABE （AAS ）， ∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ， ∴CH ＝BE ＝FH ， ∵∠FHC ＝90°，
∴∠FCN＝45°．
（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，理由如下：作FH⊥MN于H，如图2所示：
由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90°，
结合（1）（2）得：△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，
∴EH＝AD＝BC＝8，
∴CH＝BE，
∴EH FH FH
AB BE CH
==；
在Rt△FEH中，tan∠FCN＝
84
63 FH EH
CH AB
===，
∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝4
3
．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．
8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．
（1）如图1，求证：KE＝GE；
（2）如图2，连接CABG，若∠FGB＝1
2
∠ACH，求证：CA∥FE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sin E＝3
5
，AK＝10，求CN
的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）△EAD 是等腰三角形．证明见解析；（3）20
1013
. 【解析】 试题分析：
（1）连接OG ，则由已知易得∠OGE=∠AHK=90°，由OG=OA 可得∠AGO=∠OAG ，从而可得∠KGE=∠AKH=∠EKG ，这样即可得到KE=GE ；
（2）设∠FGB=α，由AB 是直径可得∠AGB=90°，从而可得∠KGE=90°-α，结合GE=KE 可得∠EKG=90°-α，这样在△GKE 中可得∠E=2α，由∠FGB=1
2
∠ACH 可得∠ACH=2α，这样可得∠E=∠ACH ，由此即可得到CA ∥EF ； （3）如下图2，作NP ⊥AC 于P ，
由（2）可知∠ACH=∠E ，由此可得sinE=sin ∠ACH=3
5
AH AC =，设AH=3a ，可得AC=5a ，CH=4a ，则tan ∠CAH=
4
3
CH AH =，由（2）中结论易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC ，从而可得CK=AC=5a ，由此可得HK=a ，tan ∠AKH=
3AH
HK
=，AK=10a ，结合AK=10可得a=1，则AC=5；在四边形BGKH 中，由∠BHK=∠BKG=90°，可得∠ABG+∠HKG=180°，结合∠AKH+∠GKG=180°，∠ACG=∠ABG 可得∠ACG=∠AKH ， 在Rt △APN 中，由tan ∠CAH=43PN AP
=，可设PN=12b ，AP=9b ，由tan ∠ACG=
PN CP =tan ∠AKH=3可得CP=4b ，由此可得AC=AP+CP=13b =5，则可得b=5
13
，由此即可在Rt △CPN 中由勾股定理解出CN 的长. 试题解析：
（1）如图1，连接OG ．
∵EF 切⊙O 于G ， ∴OG ⊥EF ，
∴∠AGO+∠AGE=90°， ∵CD ⊥AB 于H ， ∴∠AHD=90°， ∴∠OAG=∠AKH=90°， ∵OA=OG ， ∴∠AGO=∠OAG ，
∴∠AGE=∠AKH ， ∵∠EKG=∠AKH ， ∴∠EKG=∠AGE ， ∴KE=GE ． （2）设∠FGB=α， ∵AB 是直径， ∴∠AGB=90°，
∴∠AGE =∠EKG=90°﹣α， ∴∠E=180°﹣∠AGE ﹣∠EKG=2α，
∵∠FGB=
1
2
∠ACH ， ∴∠ACH=2α， ∴∠ACH=∠E ， ∴CA ∥FE ．
（3）作NP ⊥AC 于P ． ∵∠ACH=∠E ， ∴sin ∠E=sin ∠ACH=3
5
AH AC =，设AH=3a ，AC=5a ， 则2
2
4AC CH a -=，tan ∠CAH=
4
3
CH AH =， ∵CA ∥FE ， ∴∠CAK=∠AGE ， ∵∠AGE=∠AKH ， ∴∠CAK=∠AKH ，
∴AC=CK=5a ，HK=CK ﹣CH=4a ，tan ∠AKH=AH
HK
=3，2210AH HK a +=， ∵10 ∴
1010a =
∴a=1．AC=5， ∵∠BHD=∠AGB=90°， ∴∠BHD+∠AGB=180°，
在四边形BGKH 中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°， ∴∠ABG+∠HKG=180°， ∵∠AKH+∠HKG=180°， ∴∠AKH=∠ABG ， ∵∠ACN=∠ABG ， ∴∠AKH=∠ACN ， ∴tan ∠AKH=tan ∠ACN=3， ∵NP ⊥AC 于P ，
∴∠APN=∠CPN=90°，
在Rt△APN中，tan∠CAH=
4
3
PN
AP
=，设PN=12b，则AP=9b，
在Rt△CPN中，tan∠ACN=PN
CP
=3，
∴CP=4b，
∴AC=AP+CP=13b，∵AC=5，
∴13b=5，
∴b=5
13
，
∴CN=22
PN CP
+=410b⋅=20
10 13
．
9．如图，某次中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°．位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7）
【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米
【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，用锐角三角函数分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，利用
BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解．
试题解析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°，
设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，
在Rt△ACD中，CD=
tan AD ACD
∠ =
tan30
x
3x
在Rt △BCD 中，BD=CD •tan68°， ∴325+x= 3x •tan68° 解得：x ≈100米，
∴潜艇C 离开海平面的下潜深度为100米．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解．
视频
10．已知：如图，在Rt △ABO 中，∠B =90°，∠OAB =30°，OA =3．以点O 为原点，斜边OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，以点P （4，0）为圆心，PA 长为半径画圆，⊙P 与x 轴的另一交点为N ，点M 在⊙P 上，且满足∠MPN =60°．⊙P 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向左运动，设运动时间为ts ，解答下列问题： （发现）（1）MN 的长度为多少；
（2）当t =2s 时，求扇形MPN （阴影部分）与Rt △ABO 重叠部分的面积． （探究）当⊙P 和△ABO 的边所在的直线相切时，求点P 的坐标．
（拓展）当MN 与Rt △ABO 的边有两个交点时，请你直接写出t 的取值范围．
【答案】【发现】（1）MN 的长度为π3；（23
P 的坐标为10（，）；或3
03（）或23
03
-（）；【拓展】t 的取值范围是23t ≤＜或45t ≤＜，理由见解析．
【解析】 【分析】
发现：（1）先确定出扇形半径，进而用弧长公式即可得出结论；
（2）先求出PA =1，进而求出PQ ，即可用面积公式得出结论； 探究：分圆和直线AB 和直线OB 相切，利用三角函数即可得出结论；
拓展：先找出MN 和直角三角形的两边有两个交点时的分界点，即可得出结论． 【详解】 [发现]
（1）∵P （4，0），∴OP =4． ∵OA =3，∴AP =1，∴MN 的长度为6011803
ππ
⨯=． 故答案为
3
π
； （2）设⊙P 半径为r ，则有r =4﹣3=1，当t =2时，如图1，点N 与点A 重合，∴PA =r =1，设MP 与AB 相交于点Q ．在Rt △ABO 中，∵∠OAB =30°，∠MPN =60°． ∵∠PQA =90°，∴PQ 12=PA 12=，∴AQ =AP ×cos30°3=，∴S 重叠部分=S △APQ 12=
PQ ×AQ 3
=． 即重叠部分的面积为3
8
． [探究]
①如图2，当⊙P 与直线AB 相切于点C 时，连接PC ，则有PC ⊥AB ，PC =r =1． ∵∠OAB =30°，∴AP =2，∴OP =OA ﹣AP =3﹣2=1； ∴点P 的坐标为（1，0）；
②如图3，当⊙P 与直线OB 相切于点D 时，连接PD ，则有PD ⊥OB ，PD =r =1，∴PD ∥AB ，∴∠OPD =∠OAB =30°，∴cos ∠OPD PD OP =，∴OP 123
30cos ==︒∴点P 的坐标为（
23
3
，0）； ③如图4，当⊙P 与直线OB 相切于点E 时，连接PE ，则有PE ⊥OB ，同②可得：OP 23
=
； ∴点P 的坐标为（23
3
-
，0）；
[拓展]
t的取值范围是2＜t≤3，4≤t＜5，理由：
如图5，当点N运动到与点A重合时，MN与Rt△ABO的边有一个公共点，此时t=2；
当t＞2，直到⊙P运动到与AB相切时，由探究①得：OP=1，∴t
41
1
-
==3，MN与
Rt△ABO的边有两个公共点，∴2＜t≤3．
如图6，当⊙P运动到PM与OB重合时，MN与Rt△ABO的边有两个公共点，此时t=4；直到⊙P运动到点N与点O重合时，MN与Rt△ABO的边有一个公共点，此时t=5；
∴4≤t＜5，即：t的取值范围是2＜t≤3，4≤t＜5．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，切线的性质，锐角三角函数，三角形面积公式，作出图形是解答本题的关键．。