第4节 整函数与亚纯函数
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解 因为f ( z) sin 2 z在z平面上解析, 故f ( z)为整函数; n 1 2 n 1 (1) 2 1 2 z 2 n (0 z ) 而 sin z (1 cos 2 z ) 2 (2n)! n 1 在点的主要部分有无限项,所以是它的本质奇点;
则 (1) 当m n时, z 必为f ( z )的m n阶极点;
(2) 当m n时, z 必为f ( z)的可去奇点,只要置 P( z ) f () lim , z 就是f ( z )的解析点. z Q( z )
(3) Q( z)的零点必为f ( z)的极点.
即sin 2 z为超越整函数. 3 2 因为g ( z ) z 2 z 1 在z平面仅以z 0为极点, z 所以g ( z)为亚纯函数, 且g ( z)在扩充z平面上以为二阶极点, 故g( z)为有理函数.
例3 试证f ( z)是单叶整函数的充要条件是
f ( z ) az b (a 0).
e , sin z , cos z 都是超越整函数.
注1 整函注2 定理5.10(1)与刘维尔定理一致.
二 亚纯函数的概念及其与有理函数的关系
1 定义5.6 在z平面上除极点外无其它类型奇 点的单值解析函数,称为亚纯函数.
e 如f ( z ) z 1 为亚纯函数.
f ( z ) cn z n ,0 z
n 0
(5.14)
f ( z ) c0 c1 z
cn z n
, 0 z
(5.14)
2 定理5.10 若f ( z)为整函数, 则 (1) z 为f ( z )的可去奇点 f ( z ) 常数c0 ; ( f ( z)在z 的主要部分为零,即无正幂)
故f ( z)的奇点zk (2k 1) i (k 0, 1, )为极点; 因为(e 1) e 0, 故zk为f ( z)的一阶极点;
z ' z
因为zk ,
故是f ( z)的非孤立奇点,
即f ( z)为超越亚纯函数.
3 例2 考察函数f ( z ) sin z, g ( z ) z 2 z 1 的类型. z
(2) f ( z) c0 c1z cn z n ,(0 z ) 它的惟一奇点是本质奇点z , 由Picard定理,
对每个A ,除掉可能一个值A A0外,
必有趋于的无限点列{zn }, 使f ( zn ) A(n 1, 2, ),
这与函数的单叶性假设相矛盾.
z
整函数更一般函数族
2 定理5.11 一函数f ( z )为有理函数的充要条件是 : f ( z )在扩充z平面上除极点外没有其它类型的奇点.
P( z ) , 证明 “ 必 要 性 设有理函数 f ( z ) Q( z ) ” 其中P( z)与Q( z)分别为z的m次与n次多项式, 且彼此互质.
至多以z 为极点, 而在z平面解析; 故g ( z)必为多项式(或常数), 从而为f ( z)有理函数.
注 亚纯函数可表成两个整函数的商,也可表成部分 分式.
3 定义5.7 非有理函数的亚纯函数称为超越亚纯函数. 例1 考察函数f ( z ) z 1 的类型. e 1 解 ez 1 的零点为f ( z)的奇点,
本节结束
谢谢！
Complex Function Theory
Department of Mathematics
(3) f ( z)为一多项式,
f ( z) c0 c1z
cn z ,
n
对每个A , 由代数学基本定理, f ( z) A有且仅有n个根, 由f ( z)的单叶性, n 1,
故必有 f ( z) c0 c1z, c1 0.
作业
• P220 • P223 9, 10 14,
“ 充 分 性若f ( z)在z平面除极点外无其它类型的奇点, ” 则这些极点的个数只能是有限个, 若不然,这些极点在
扩充z平面上的聚点就是f ( z)的非孤立奇点, 矛盾.
令f ( z)在z平面上的极点为z1, z2 , , zk ; 其阶为1 , 2 , , k ;
k 1 g ( z ) ( z z ) ( z z ) f ( z), 则函数 1 k
证明 “ 充 分 性 由于函数 w f ( z ) az b 1 ” 1 及其反函数 z f ( w) ( w b) 都是单值函数, a 所以f ( z) az b (a 0)为单叶整函数.
则f ( z)可分为三类, “ 必 要 性 设f ( z)为单叶整函数, ” (1) f ( z ) 常数c, 这与假设相矛盾.
(2) z 为f ( z)的m阶极点 f ( z)是一个m次多项式, m 即f ( z ) c0 c1 z cm z , (cm 0); ( f ( z )在z 的主要部分为c1 z cm z m , cm 0);
(3) z 为f ( z)的本质奇点 展开式(5.14)有无限项. 此时f(z)称为超越整函数. ( f ( z)在z 的主要部分有无穷多项正幂不等于零).
第四节 整函数与亚纯函数
Department of Mathematics
一 整函数的概念及其分类
1 整函数 在整个z平面上解析的函数.
显然每一个整函数f ( z )都以z 为唯一孤立奇点, 故它在无穷远点的去心邻域0 z 内Laurent展式, 就是它在原点邻域0 z 内的Taylor展式, 即可设
解 因为f ( z) sin 2 z在z平面上解析, 故f ( z)为整函数; n 1 2 n 1 (1) 2 1 2 z 2 n (0 z ) 而 sin z (1 cos 2 z ) 2 (2n)! n 1 在点的主要部分有无限项,所以是它的本质奇点;
则 (1) 当m n时, z 必为f ( z )的m n阶极点;
(2) 当m n时, z 必为f ( z)的可去奇点,只要置 P( z ) f () lim , z 就是f ( z )的解析点. z Q( z )
(3) Q( z)的零点必为f ( z)的极点.
即sin 2 z为超越整函数. 3 2 因为g ( z ) z 2 z 1 在z平面仅以z 0为极点, z 所以g ( z)为亚纯函数, 且g ( z)在扩充z平面上以为二阶极点, 故g( z)为有理函数.
例3 试证f ( z)是单叶整函数的充要条件是
f ( z ) az b (a 0).
e , sin z , cos z 都是超越整函数.
注1 整函注2 定理5.10(1)与刘维尔定理一致.
二 亚纯函数的概念及其与有理函数的关系
1 定义5.6 在z平面上除极点外无其它类型奇 点的单值解析函数,称为亚纯函数.
e 如f ( z ) z 1 为亚纯函数.
f ( z ) cn z n ,0 z
n 0
(5.14)
f ( z ) c0 c1 z
cn z n
, 0 z
(5.14)
2 定理5.10 若f ( z)为整函数, 则 (1) z 为f ( z )的可去奇点 f ( z ) 常数c0 ; ( f ( z)在z 的主要部分为零,即无正幂)
故f ( z)的奇点zk (2k 1) i (k 0, 1, )为极点; 因为(e 1) e 0, 故zk为f ( z)的一阶极点;
z ' z
因为zk ,
故是f ( z)的非孤立奇点,
即f ( z)为超越亚纯函数.
3 例2 考察函数f ( z ) sin z, g ( z ) z 2 z 1 的类型. z
(2) f ( z) c0 c1z cn z n ,(0 z ) 它的惟一奇点是本质奇点z , 由Picard定理,
对每个A ,除掉可能一个值A A0外,
必有趋于的无限点列{zn }, 使f ( zn ) A(n 1, 2, ),
这与函数的单叶性假设相矛盾.
z
整函数更一般函数族
2 定理5.11 一函数f ( z )为有理函数的充要条件是 : f ( z )在扩充z平面上除极点外没有其它类型的奇点.
P( z ) , 证明 “ 必 要 性 设有理函数 f ( z ) Q( z ) ” 其中P( z)与Q( z)分别为z的m次与n次多项式, 且彼此互质.
至多以z 为极点, 而在z平面解析; 故g ( z)必为多项式(或常数), 从而为f ( z)有理函数.
注 亚纯函数可表成两个整函数的商,也可表成部分 分式.
3 定义5.7 非有理函数的亚纯函数称为超越亚纯函数. 例1 考察函数f ( z ) z 1 的类型. e 1 解 ez 1 的零点为f ( z)的奇点,
本节结束
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Complex Function Theory
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(3) f ( z)为一多项式,
f ( z) c0 c1z
cn z ,
n
对每个A , 由代数学基本定理, f ( z) A有且仅有n个根, 由f ( z)的单叶性, n 1,
故必有 f ( z) c0 c1z, c1 0.
作业
• P220 • P223 9, 10 14,
“ 充 分 性若f ( z)在z平面除极点外无其它类型的奇点, ” 则这些极点的个数只能是有限个, 若不然,这些极点在
扩充z平面上的聚点就是f ( z)的非孤立奇点, 矛盾.
令f ( z)在z平面上的极点为z1, z2 , , zk ; 其阶为1 , 2 , , k ;
k 1 g ( z ) ( z z ) ( z z ) f ( z), 则函数 1 k
证明 “ 充 分 性 由于函数 w f ( z ) az b 1 ” 1 及其反函数 z f ( w) ( w b) 都是单值函数, a 所以f ( z) az b (a 0)为单叶整函数.
则f ( z)可分为三类, “ 必 要 性 设f ( z)为单叶整函数, ” (1) f ( z ) 常数c, 这与假设相矛盾.
(2) z 为f ( z)的m阶极点 f ( z)是一个m次多项式, m 即f ( z ) c0 c1 z cm z , (cm 0); ( f ( z )在z 的主要部分为c1 z cm z m , cm 0);
(3) z 为f ( z)的本质奇点 展开式(5.14)有无限项. 此时f(z)称为超越整函数. ( f ( z)在z 的主要部分有无穷多项正幂不等于零).
第四节 整函数与亚纯函数
Department of Mathematics
一 整函数的概念及其分类
1 整函数 在整个z平面上解析的函数.
显然每一个整函数f ( z )都以z 为唯一孤立奇点, 故它在无穷远点的去心邻域0 z 内Laurent展式, 就是它在原点邻域0 z 内的Taylor展式, 即可设