【辽南协作体二模】辽宁省辽南协作体高三第二次模拟考试 数学理答案

—下学期高三第二次模拟考试试题
数学理科参考答案
一、选择题
1.B
2.D
3.B
4.C
5.B
6.D
7.B
8.A
9.A 10.B 11.B 12.D 二、填空题
13. 25 14. 310101010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或 310101010⎛- ⎝⎭- 15.[,126k k ππππ⎫
-+⎪⎭ （k Z ∈） 16. 22
1395
x y x +=≠±（）
三、解答题
17.解：（Ⅰ）根据正弦定理，由sin 2sin C A =，得2c a =，又3a c +=，从而可得
1a =，2c =，又3b =2221
cos 22
a c
b B a
c +-=
=. 由于0πB <<，所以π
3
B =； ……………… 6分 （Ⅱ）由已知得
π
()2cos(2)2cos 223f x x x =+++3cos 2322x x =+
1323sin 2222x x ⎫=-+⎪⎪⎭
π23223x ⎛
⎫=--+ ⎪⎝⎭ 因为π
,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，所以2ππ5π2333x -≤≤
，于是，当π2π233x -=，即π
2x =时，()f x 取最小值1-；当π3π232x -
=，即11π
12x =时，()f x 取最大值223+因此函数()f x 在区间π
,π2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的值域为1,223⎡-+⎣. ……………… 12分
18.（Ⅰ）证明：易知AP ⊥BP ，由AA 1⊥平面PAB ，得AA 1⊥BP ，且AP ∩AA 1=A ，所以BP ⊥平面PAA 1，故BP ⊥A 1P ．……………… 5分
（Ⅱ）如图建系（以PB 为x 轴，PA 为y 轴.过P 点的母线所在直线为Z 轴）
由32121===AA OA V 知，柱π由6
3
2ππ=∠=∠PAB AOP ，知又2
π
=∠APB
从而BP=2，32=AP 因此()()()()
0,32,0,3,32,0,0,0,2,0,0,01A A B P
()1111,,z y x n B AA =的法向量为平面由
(
)
0,1,30
1111=⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅n AA n AB n 知
平面()2
2221,,z y x n B PA =的法向量为由()
2,3,00
2122=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅n PA n BP n 知…… 10分 由题意知二面角A B A P --1为锐二面角 1421
7
23cos cos 21==
=n n θ 因而所求二面角A B A P --1的余弦值为14
21
………………12分 19.(Ⅰ)由题意;
m
++++++=
90180210384480384
4805027解得：256=m ………… 2分 (Ⅱ)“其它渠道”中，男性抽取人数（人）418090
1806
=⨯+
女性抽取人数为6-4=2（人）
设“至少有一份是女性”为事件A 则()5
4
13634=-=C C A P ………………6分
(Ⅲ)由题可知：x 可能取值为2,3,4,5,6
而()()15
2
3,15123
61214222622======A C C A X P C C x P ()()()3
1
6,1545,5144
6331224=======X P X P A A C C X P ……………… 10分 X 2 3
4
5
6
P
15
1
15
2 5
1 15
4 3
1 ()3
=
∴X E ……………… 12分 20.解:（Ⅰ）
66,33
c e a =
∴= )0,(2c F 在PF 1的中垂线上,
222122||||,(2)(6)(22),F F RF c c ∴==+即 解得222,3, 1.c a b ===
2
2 1.3
x C y ∴+=椭圆的方程为 ……………… 4分
(Ⅱ)由(1)可知12(3,0),(3,0),(,)M M A A M x y -
设1PA 的方程为(3)y k x =（0k ≠），则P 坐标（3,3k --） 所以23PA k K =
， 所以2PA 方程为(3)3
k
y x = 由方程组22(3)3 1.3k y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去y,整理得 2222
(3)3390k x k x k +-+-= …8分
223(3)
33
M k x k -=+,
所以223(3)3M k x k -=+，2
23(3)33
M M k k
y x k -==+
因为1MA K =
3
M M x +，化简后1MA K =1
k -，
所以11MA NA ⊥，则三角形1MNA 为直角三角形，Q 为斜边中点， 所以1
2AQ MN = ……………… 12分 21. 解：（Ⅰ）由()f x 定义域为R ，知210x ax -+>恒成立，于是240a ∆=-<， 所以得22a -<<，所以实数a 的取值范围是()2,2-； ……………… 1分
当0a =时，2e ()1x
f x x =+，函数定义域为R ，()()
2
22e 1()01x
x f x x -'=+≥， 于是()f x 在R 上单调递增； 当(0,2)a ∈时，求导得()()()
2
2e 11()1x x x a f x x ax --+⎡⎤⎣⎦
'=
-+，因为240a ∆=-<，所以
210x ax -+>恒成立，函数定义域为R ，又11a +>，知()f x 在(),1-∞上单调递增，在
()1,1a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增. ……………… 4分
（Ⅱ）当0a =时，
[][]0,10,1a +=，又()f x 在[]0,1单调递增，(0)1f =于是
()f x x ≥1≥，即得()f x x ≥在[]0,1x a ∈+上成立. ……………… 6分
当(0,2)a ∈时，由（I ）知()f x 在[]0,1上递增，在[]1,1a +上递减.
当[]0,1x ∈时，由()f x x ≥1≥，即得()f x x ≥在[]0,1x ∈上成立；……………… 8分
当(1,1]x a ∈+时，有()()()112e e 1(1)112a a
f x f a a a a a +++==
+-+++≥.
下面证明：1
e (1)12
a f a a a ++=++≥.
令1x a =+，()()e 1x
h x x x =-+，则()e 21x
h x x '=--，且(1,3)x ∈.记
()x ϕ=()e 21x h x x '=--，则()e 2e 20x x ϕ'=->->，于是()()x h x ϕ'=在
[]1,3上单调递增.
又因为(1)0h '<，3
23e 402h ⎛
⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以存在唯一的031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
使得
000()e 210x h x x '=--=，从而00e 21x x =+.于是()h x 在0[1,)x 上单调递减，在0(,3]x 上
单调递增，此时()()0h x h x ≥0
200e x x x =--2
00021x x x =+--2
015024x ⎛⎫=--+> ⎪⎝
⎭.
从而 ()()010h a h x +>≥，即
1
e 12
a a a +++≥. 亦即 ()f x ≥()11f a a x ++≥≥. 因此不等式()f x x ≥在(1,1]a +上成立.
所以当(0,2)a ∈时，不等式()f x x ≥对于任意的[]0,1x a ∈+恒成立.
综上可得，当[0,2]a ∈时，对于任意的[]0,1x a ∈+不等式()f x x ≥恒成立.…12分
22. 解:（Ⅰ）连结OF ．∵DF 切⊙O 于F ，
∴∠OFD =90°．∴∠OFC +∠CFD =90°． ∵OC =OF ，∴∠OCF =∠OFC ．
∵CO ⊥AB 于O ，∴∠OCF +∠CEO =90°． ∴∠CFD =∠CEO =∠DEF ，∴DF =DE ． ∵DF 是⊙O 的切线,∴DF 2
=DB ·DA ．
∴DE 2
=DB ·DA ………… 5分 （Ⅱ）143
OE
OB ，CO =43，
22
8CE
CO OE ．
∵CE ·EF = AE ·EB = (4343， ∴EF =4． ……………… 10分
23．解：（Ⅰ）2
22
2
11(-)-2y t t x t
t ==+
=，所以C 1的普通方程为2
y x =
由sin()24
π
ρθ+
=22sin cos 222
ρθρθ+=2x y += … 5分 （Ⅱ）⎧⎪⎨⎪⎩
2
2y x x y =+= 得公共点为（１,１）、（４,-２）
所以公共点的极坐标为1
25,2arctan 4
2
π
π-（，）、（2）
……………… 10分 24. 解:（Ⅰ）令|1||21|y x x =-++，则
13,,212,1,23,1x x y x x x x ⎧
-≤-⎪⎪
⎪
=+-<<⎨⎪
≥⎪⎪⎩
……………… 5分
311y x <∴-<<
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 的最小值为
3
2
，所以只需31122a ≤-，所以51a a ≥≤-或
……………… 10分。