北师大版高中数学必修3模块综合测试卷A

模块综合评估(一)
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的为()
①从无限多个个体中抽取80个个体作样本；
②盒子里有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；
③从8台电脑中不放回地随机抽取2台进行质量检验(假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取)．
A．①③B．②③
C．②D．③
2．在数学考试中，小明的成绩在90分及以上的概率是0.12，在80～89分的概率为0.55，在70～79分的概率为0.15，在60～69分的概率为0.08，则小明在数学考试中取得80分及以上成绩的概率与考试不及格(低于60分)的概率分别是()
A．0.90,0.10 B．0.67,0.33
C．0.67,0.10 D．0.70,0.10
3．在如图所示的茎叶图表示的数据中，众数和中位数分别是()
A.23与26 B．31与26
C．24与30 D．26与30
4．某地区共有10万户居民，该地区城市住户与农村住户之比为4∶6，根据分层抽样方法，调查了该地区1 000户居民冰箱拥有情况，调查结果如下表所示，那么可以估计该地区农村住户中无冰箱的总户数约为()
A.1.6万户 B ．4.4万户 C ．1.76万户
D ．0.27万户
5．下图是一个算法的算法框图，该算法输出n 的结果是( ) A.32 B.23 C.296
D.45
6．设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )
A ．1＋a,4
B ．1＋a,4＋a
C ．1,4
D ．1,4＋a
7．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任意取点，则该点落在四棱锥B 1－ABCD 内部的概率为( )
A.12
B.13
C.14
D.16
答案
1．D 注意到简单随机抽样是一种从有限个个体中，逐个不放回的抽样，只有③属于简单随机抽样．
2．C 取得80分及以上成绩的概率为0.12＋0.55＝0.67；不及格的概率为1－0.67－0.15－0.08＝0.10.
3．B 由众数、中位数的定义知众数是31，中位数是26.
4．A ∵在1 000户住户中，农村住户无冰箱的有160户，∴在所有居民中农村无冰箱的住户约占1601 000，∴估计该地区农村住户中无冰箱的总户数为160
1 000×100 000＝16 000(户)．
5．C ∵循环限制条件为i <4，∴输出的n 值为0＋21＋32＋43＝29
6.
6．A∵x1，x2，…，x10的均值x＝1，方差s21＝4，且y i＝x i＋a(i＝1,2，…，10)，∴y1，y2，…，
y10的均值y＝1
10(y1
＋y2＋…＋y10)＝1
10(x1
＋x2＋…＋x10＋10a)＝1
10(x1
＋x2＋…＋x10)＋a＝x＋a＝1
＋a，其方差s22＝1
10[(y1－y)2＋(y2－y)2＋…＋(y10－y)2]＝1
10[(x1
－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]
＝s21＝4.故选A.
7．B∵V
B1－ABCD ＝
1
3V长方体
，故点落在四棱锥B1－ABCD内部的概率为1
3.
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8．200辆汽车通过某一段公路时，速度的频率分布直方图如图所示，则速度在[50,70)的汽车大约有()
A．60辆B．80辆C．70辆D．140辆
9．为了在运行完下面的程序之后输出y＝16，输入的x应该是()
输入x
If x<0Then
y＝(x＋1)*(x＋1)
Else
y＝(x－1)*(x－1)
End If
输入y
End
A．3或－3B．－5
C．－5或5 D．5或－3
10．在样本的频率分布直方图中，一共有n个小矩形．若中间一个小矩形的面积等于其余(n
－1)个小矩形面积和的1
4
，且样本容量为160，则中间一组的频数是()
A．32 B．20
C．40 D．25
11．如图所示，程序输出的结果s＝132，则判断框中应填()
A．i≥10 B．i≥11
C．i≤11 D．i≥12
12．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是() A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．下图是某次数学考试成绩(均为整数)的频率分布直方图，已知从左到右的4个小矩形的面积分别为0.05、0.15、0.35、0.30，那么在这次考试中，优秀率约为________．(80分及80分以上可评为优秀)
14．如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．
15．甲盒子里装有分别标有数字1,2,4,7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1,4的2张卡片．若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是________．16．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝30°，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是________．
答案
8.D 观察题图可知[50,70)的汽车大约有200×[(0.03＋0.04)×10]＝140(辆)． 9．C 本程序含义为： 输入x
如果x <0，执行y ＝(x ＋1)2，否则，执行y ＝(x －1)2.因为输出y ＝16， 由y ＝(x ＋1)2可得x ＝－5； 由y ＝(x －1)2可得x ＝5， 故x ＝5或－5. 故选C.
10．A 设中间一组的频率为P ，则由P ＝14(1－P )得P ＝15.所以中间一组的频数为1
5×160＝32. 11．B 由题意知，当i ＝12时，s ＝1；当i ＝11时，s ＝12；当i ＝10时，s ＝132，此时应输出s ，则判断框中应填i ≥11.
12．C 当取出的小球标注的数字之和为3时，只有{1,2}一种取法；当取出的小球标注的数字之和为6时，有{1,5}，{2,4}两种取法，所以符合条件的取法有3种，而所有的取法有10种，故所求的概率为3
10＝0.3.
13．45%
解析：小矩形的面积为对应小组的频率，故最后一组的频率为1－0.05－0.15－0.35－0.30＝0.15，所以在这次考试中，优秀率约为0.30＋0.15＝0.45＝45%.
14．6.8
解析：依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为
8＋9＋10＋13＋15
5＝11.
由方差公式得s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝1
5(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.
15.1 2
解析：数字之和为奇数的有(1,4)，(2,1)，(4,1)，(7,4)，共4种情况，而从两个盒子中各抽取一
张卡片共有8种情况，所以所求概率为1
2.
16．1－
3 2
解析：观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为3－1，面
积为4－23，故飞镖落在阴影区域的概率为4－23
4
＝1－3
2.
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三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(本题满分10分)求函数y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＋1(x <－2)，
x (－2≤x ≤2)，
x 2－1(x >2)
的函数值，画出算法框图，并写出算法语
句．
18．(本题满分12分)某次会议有6名代表参加，A 、B 两名代表来自甲单位，C 、D 两名代表来自乙单位，E 、F 两名代表来自丙单位，现随机选出两名代表发言，问：
(1)代表A 被选中的概率是多少？
(2)选出的两名代表“恰有1名来自乙单位或两名都来自丙单位”的概率是多少？
19．(本题满分12分)为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组情况如下：
[10.75,10.85)，3；[10.85,10.95)，9；[10.95,11.05)，13；[11.05,11.15)，16；[11.15,11.25)，26；[11.25,11.35)，20；[11.35,11.45)，7；[11.45,11.55)，4；[11.55,11.65]，2.
(1)列出频率分布表(含累计频率)；
(2)据(1)中分布表，估计数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是百分之几？ (3)数据小于11.20的可能性是百分之几？
20．(本题满分12分)某连锁经营公司下属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
(1)画出销售额和利润额的散点图；
(2)若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法求利润额y 对销售额x 的线性回归方程．
答案
17．解：算法框图如下． 算法语句如下：
输入x
If x<－2Then
y＝x2＋1
Else
If x>2 Then
y＝x2－1
Else
y＝x
End If
End If
输出y
18．解：(1)从这6名代表中随机选出2名，共有15种不同的选法，分别为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)．
其中代表A被选中的选法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，共5种，则代表A被
选中的概率为5
15＝1 3.
(2)解法一：随机选出的两名代表“恰有1名来自乙单位或两名都来自丙单位”的结果有9种，分别为(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)．
则“恰有1名来自乙单位或两名都来自丙单位”这一事件的概率为9
15＝3 5.
解法二：随机选出的两名代表“恰有1名来自乙单位”的结果有8种，概率为8
15
；
随机选出的两名代表“都来自丙单位”的结果有1种，概率为1
15.
所以“恰有1名来自乙单位或两名都来自丙单位”这一事件的概率为8
15＋1
5
＝3
5.
19．解：(1)频率分布表如下：
(2)由上述分布表可知数据落在[10.95,11.35)范围内的频率为0.87－0.12＝0.75＝75%，即数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是75%.
(3)数据小于11.20的可能性即数据小于11.20的概率，也就是数据在11.20处的累计频率，设为x ，则(x －0.41)÷(11.20－11.15)＝(0.67－0.41)÷(11.25－11.15)，
所以x －0.41＝0.13，x ＝0.54，从而估计数据小于11.20的可能性是54%. 20．解：(1)散点图如图所示．
(2)经计算得x －＝6，y －＝3.4，Σ5i ＝1x 2i ＝200，Σ5i ＝1x i y i
＝112，b ＝112－5×6×3.4200－5×6
2＝0.5，a ＝3.4－0.5×6＝0.4，所以线性回归方程为y ＝0.5x ＋0.4.
21.(本题满分12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差；
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．
22．(本题满分12分)对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图：
(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；
(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；
(3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率．
答案
21.解：(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于162 cm ～179 cm 之间，而乙班身高集中于170 cm ～179 cm 之间．因此乙班平均身高高于甲班．
(2)x －甲＝ ＝170(cm)．
甲班的样本方差
s2甲＝1
10[(158－170)
2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋
(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2(cm2)．
(3)设“身高为176 cm的同学被抽中”为事件A，从乙班10名同学中抽两名身高不低于173 cm 的同学有(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A含4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，
∴P(A)＝4
10＝2 5.
22．解：(1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，10
M
＝0.25，所以M＝40.
因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，m＝4.
p＝m
M
＝4
40
＝0.10.
因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，
所以a＝24
40×5
＝0.12.
(2)因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．
(3)这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m＋2＝6人，设在区间[20,25)内的人为{a1，a2，a3，a4}，在区间[25,30)内的人为{b1，b2}，则任选2人共有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15种情况，而两人都在[25,30)内只能是(b1，b2)一种，所以所求概率为P＝1
－1 15＝14 15.。