§2.2 函数的基本性质(1)

C.是奇函数,且在R上是减函数
D.是偶函数,且在R上是减函数
答案 A 本题考查指数函数的奇偶性和单调性.
易知函数f(x)的定义域关于原点对称.
∵f(-x)=3-x-
1 3
x
=
1 3
x
-3x=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
又∵y=3x在R上是增函数,y=-
1 3
x
在R上是增函数,
∴f(x)=3x-
∴f(x)的最小正周期为4. 由于f(1-x)=f(1+x), f(1)=2, 故令x=1,得f(0)=f(2)=0, 令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2, 令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0, 故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0, 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=0+2+0=2.故选C.
+
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。11:25:0711:25:0711:259/13/2021 11:25:07 AM
+
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1311:25:0711:25Sep-2113-Sep-21
方法总结 若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有 (1)f(x+a)=-f(x)(a≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期. (2)f(x+a)= 1 (a≠0, f(x)≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.
f (x)
(3)f(x+a)=- 1 (a≠0, f(x)≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.
∴f(x1)-f(x2)<0, f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A.
评析 本题考查函数的单调性与奇偶性的判定以及对数运算法则等基础知识,属容易题.
3.(2014课标Ⅱ,15,5分,0.409)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值 范围是 . 答案 (-1,3)
+
16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年9月13日星期一11时25分7秒11:25:0713 September 2021
+
17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。上午11时25分7秒上午11时25分11:25:0721.9.13
(1 x2 )(1 x1)
1 x1x2 x1 x2 .
1 x1x2 x2 x1
∵(1-x1x2+x1-x2)-(1-x1x2+x2-x1)=2(x1-x2)<0, 且(1+x1)·(1-x2)>0,(1+x2)(1-x1)>0, ∴0<1 x1x2 x1 x2 <1,
1 x1x2 x2 x1
+
12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。11:25:0711:25:0711:25Monday, September 13, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.9.1321.9.1311:25:0711:25:07September 13, 2021
答案 C 本题主要考查函数的奇偶性和周期性. ∵f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,∴f(0)=0, f(-x)=-f(x),① 又∵f(1-x)=f(1+x),∴f(-x)=f(2+x),② 由①②得f(2+x)=-f(x),③ 用2+x代替x得f(4+x)=-f(2+x).④ 由③④得f(x)=f(x+4),
.
答案 f(x)=sin x,x∈[0,2](答案不唯一)
解析 本题主要考查函数的单调性及最值. 根据函数单调性的概念,只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数,满足在定义域内有唯一的
0, x 0,
最小值点,且f(x)min=f(0)即可,除所给答案外,还可以举出f(x)=
1 x
,
0
x
等.
2
考点三 函数性质的综合应用
1.(2017天津,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则 a,b,c的大小关系为( ) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 答案 C 本题考查函数的奇偶性、单调性的应用,对数值大小的比较. 奇函数f(x)在R上是增函数,当x>0时, f(x)>f(0)=0,当x1>x2>0时, f(x1)>f(x2)>0,∴x1 f(x1)>x2 f(x2),∴g (x)在(0,+∞)上单调递增,且g(x)=xf(x)是偶函数,∴a=g(-log25.1)=g(log25.1).2<log25.1<3,1<20.8<2, 由g(x)在(0,+∞)上单调递增,得g(20.8)<g(log25.1)<g(3),∴b<a<c,故选C.
x
<
1 2
y
,即
1 2
x
-
1 2
y
<0,故C正
确;函数y= 1 在(0,+∞)上为减函数,∴由x>y>0⇒ 1< 1⇒ 1- 1<0,故A错误;函数y=sin x在(0,+∞)
x
x y xy
上不单调,当x>y>0时,不能比较sin x与sin y的大小,故B错误;当x>0且y>0时,ln x+ln y>0⇔ln(xy)>
3.(2014大纲全国,12,5分)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)= () A.-2 B.-1 C.0 D.1 答案 D 由f(x+2)是偶函数可得f(-x+2)=f(x+2),又由f(x)是奇函数得f(-x+2)=-f(x-2),所以f(x+2) =-f(x-2), f(x+4)=-f(x), f(x+8)=f(x),故f(x)是以8为周期的周期函数,所以f(9)=f(8+1)=f(1)=1,又因为 f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(8)=f(0)=0,故f(8)+f(9)=1,故选D.
0⇔xy>1,而x>y>0⇒ /xy>1,故D错误.
一题多解 解决这个问题可用特殊值法,如取x=1,y= 1 可排除A、D;取x=π,y= 知B错误.故选
10
2
C.
4.(2018北京,13,5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为
假命题的一个函数是
f (x)
2.(2014课标Ⅰ,3,5分,0.82)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下 列结论中正确的是 ( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
答案 C 由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇 函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误; 对于选项C, f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f (x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C.
所以y= x 1 在(0,+∞)上为增函数,故选A.
思路分析 利用基本函数的性质和复合函数的关系,依次将四个选项中的函数分解成两个简 单函数,根据同增异减来判断单调性.
2.(2017北京,5,5分)已知函数f(x)=3x-
1 3
x
,则f(x)
(R上是增函数
当x∈(0,1)时,
f(x)=ln 1
1
x x
=ln
2
(1 1
x
x)
=ln
1
2
x
1
.
∵y= 2 (x∈(0,1))是增函数,y=ln x也是增函数,
1 x
∴f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A.
解法三:同解法一知f(x)是奇函数.
任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2, f(x1)-f(x2)=ln(1+x1)-ln(1-x1)-ln(1+x2)+ln(1-x2)=ln (1 x1)(1 x2 ) =ln
+
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
+
2.(2015湖南,5,5分)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是 ( ) A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数
解析 ∵f(2)=0, f(x-1)>0, ∴f(x-1)>f(2), 又∵f(x)是偶函数且在[0,+∞)上单调递减, ∴f(|x-1|)>f(2), ∴|x-1|<2,∴-2<x-1<2, ∴-1<x<3,∴x∈(-1,3).
考点二 函数的奇偶性与周期性
1.(2018课标全国Ⅱ,11,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2, 则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= ( ) A.-50 B.0 C.2 D.50
4.(2015课标Ⅰ,13,5分,0.593)若函数f(x)=xln(x+ a x2 )为偶函数,则a=
.
答案 1
解析 由已知得f(-x)=f(x),即-xln( a x2 -x)=xln(x+ a x2 ),则ln(x+ a x2 )+ln( a x2 -x)=0, ∴ln[( a x2 )2-x2]=0,得ln a=0,∴a=1.
答案 A 解法一:函数f(x)的定义域为(-1,1),
任取x∈(-1,1), f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),
则f(x)是奇函数.
又∵当x∈(0,1)时,
f
'(x)= 1
1
x
+1
1
x
=
1
2 x2
>0,
∴f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A.
解法二:同解法一知f(x)是奇函数.
答案 D 本题考查利用函数的性质求解不等式. 已知函数f(x)在(-∞,+∞)上为单调递减函数,且为奇函数,则 f(-1)=-f(1)=1,所以原不等式可化为f (1)≤f(x-2)≤f(-1),则-1≤x-2≤1,即1≤x≤3,故选D.
+
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.1321.9.13Monday, September 13, 2021
A.y= x 1 B.y=(x-1)2
C.y=2-x
D.y=log0.5(x+1)
答案 A y=(x-1)2仅在[1,+∞)上为增函数,排除B;
y=2-x=
1 2
x
为减函数,排除C;
因为y=log0.5t为减函数,t=x+1为增函数,
所以y=log0.5(x+1)为减函数,排除D;
因为y= t 和t=x+1均为增函数,
名师点睛 函数的单调性是对一个区间上的任意两个变量而言的.根据题意,本题只要找到一 个定义域为[0,2]的不单调函数,满足在[0,2]上有唯一的最小值点,而且f(x)min=f(0)即可.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 函数的单调性
1.(2017课标全国Ⅰ,5,5分)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2) ≤1的x的取值范围是 ( ) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3]
+
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月13日星期一上午11时25分7秒11:25:0721.9.13
+
15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月上午11时25分21.9.1311:25September 13, 2021
1 3
x
在R上是增函数.故选A.
3.(2016北京,5,5分)已知x,y∈R,且x>y>0,则 ( )
A. 1 - 1 >0
xy
B.sin x-sin y>0
C.
1 2
x
-
1 2
y
<0
D.ln x+ln y>0
答案
C
函数y=
1 2
x
在(0,+∞)上为减函数,∴当x>y>0时,
1 2
根据函数单调性的概念只要找到一个定义域为02的不单调函数满足在定义域内有唯一的最小值点且fxminf0即可除所给答案外还可以举出fx?名师点睛函数的单调性是对一个区间上的任意两个变量而言的
§2.2 函数的基本性质
五年高考
A组 自主命题·北京卷题组
1.(2014北京,2,5分,0.82)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是 ( )