工程力学13应力状态分析.ppt

t

sx
s y
2
sin 2
tx
cos 2
n
Ox
t
图2
§13–3 平面应力状态分析——图解法
sy
一、应力圆（ Stress Circle）
sx

s

sx
s y
2
sx
s y
2
cos 2
t x
sin 2
y
tx

t

sx
s y
2
sin 2
tx
cos 2
Ox
sx
主平面上的正应力。
s1
主应力排列规定：按代数值大小，
s 1s 2 s 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
第十三章 应力状态分析
§13–1 应力状态的概念 §13–2 平面应力状态分析——解析法 §13–3 平面应力状态分析——图解法 §13–4 三向应力状态简介 §13–5 复杂应力状态下的应力--应变关系（广义虎克定律）
§13–１ 应力状态的概念
一、引言
1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
P1
P2
q
1
2 3 4
5
sx ty tx
解：由梁弯曲应力公式：
s
x

My Iz
tx

QS
z
b Iz
s s
1 3

sx
2

（s x
2
）2

t
2 x
s2 0
1
s3 s3
0 s1
s3
3 –45°
s1 s3
0 s1 5 s1
t
D1 A2
A1 D2
CO
s
D1
t
A2
20
A1
CO
s
D1 t
D2
(2) 0 s i s j
s 1 0;s 2 s i ;s 3 s j
(3) s i 0;s j 0 s 1 s i ;s 2 0;s 3 s j
sy
s3
t0 0极值正应力就是主应力 ！
y
主 单元体
sx
tx s10
Ox
四、最大剪应力
t t
max min
§13–2 平面应力状态分析——解析法
y
sy
sy
tx sx
等价 y
sx
tx
x z
Ox
sy
一、任意斜截面上的应力
sx 规定：s 截面外法线同向为正；
y
ty
t 绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。
Ox
图1
s

sx
y
sy
tty
Ox 图2
设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：
Fn 0


z
1 E
s
z

s
x
s
y

xy
tx
G


yz

ty
G

zx

tz
G

1 E
s
x

s
y
s
z
)
主应力 --- 主应变关系
1
1 E
s
1
s
2
s
3
)

2

1 E
s
2

s
3
s
1
)

3

1 E
s
3

s
2
s
1
)
四、平面状态下的应力---应变关系:
n s dAs xdAcos2 t xdAcos sin t s ydAsin2 t ydAsin cos 0
sy
考虑剪应力互等和三角变换，得：
y O
sx
y
sx
txy
x
图1
s

sy
ttx y
s
sx
s y
2
sx
s y
2
cos 2
t x sin 2
同理：
y
sy
s

ttx y
Ox
对上述方程消去参数（2），得：
n

s


s
x
s
2
y
2

t
2

s
x
s
2
y
2
t
2 x
此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，
t 由德国工程师：Otto Mohr引入）
sy
n 二、应力圆的画法
s

sx
t tx
y
Ox
t n D( s , t)
ty
C tx
s x s y 0
tx
t

Mn WP
求主应力及最大剪应力
s s
max min
sx
s y
2

（s x
2
s
y
）2
பைடு நூலகம்
t
2 x
Ox

t
2 x
t
s 1 t ;s 2 0;s 3 t
t g 0
s x s1 tx
10
45
t max
2
C O
B(sy ,ty)
x
A(sx ,tx) s
建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺）
在坐标系内画出点A(s x，tx)和 B(sy，ty)
AB与s 轴的交点C便是圆心。
以C为圆心，以AC为半径画 圆——应力圆；
sy
n 三、单元体与应力圆的对应关系
s

sx
t tx
面上的应力(s ，t ) 应力圆上一点(s ，t )
x

1 E
sx
s y
y

1 E
sy
s x

xy

tx
G
sz ty tz 0
s
x
E
1
2
x
y
s
y
E
1
2
y
x
t x G xy
例7 已知应力状态如图a所示，试求45°方向的正应变。已知材料
的弹性模量E，泊松比μ 。
解：45°及-45°斜截面上的正应力分别为：
s 45

sx
2
sx
2
cos 90
t x sin 90

s 45

sx
2
sx
2
cos(90 ) t x
sin(90 )
sx 45 t x
45

1 E
s 45
s 45
y
sy
ty
sz
z
tx sx
x
单元体的性质 a、平行面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。
六、主单元体、主平面、主应力：
sy
y
主单元体(Principal bidy)：
sx
各侧面上剪应力均为零的单元体。
sz
z
s2
s3
主平面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。
整个单元体内的最大剪应力为：
t
max
s
1
s
2
3
例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）
y
B AC
40 50
t（MPa ）
B
t max
建立应力坐标系如 图，画应力圆和
点s1′,得:
30 x
z
解：由单元
s3
体图知：y
z面为主面
s150
低
碳
铸
钢
铁
扭
拉
转
伸
铸
P
铸
铁 扭
铁
转
压
缩
二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，
称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。
三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。
sx
s y
2

（s x
2
s
y
）2

t
2 x
B(sy ,ty)
方位角
t m in
tg 2 0


s
2t x x s
y
t g 0

sx
tx s min
tx s max s y
三、主应力大小及方向
(1) s i s j 0
s1 s i ;s 2 s j ;s 3 0
D1
CO
20= –90°
s
D2
t
D2 A2
A1 D1
OC
s
t
A2
20
O
D1 A1
C
s
D2
§13–4 三向应力状态简介
1、空间应力状态
y
s1
t
s2
s3
z
x
s3
s2
s
s1
2、三向应力分析
t
y
s1
t max
s2
s3
s3
s2
x
z 图a
s
s1
图b
弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应
解：主应力坐标系如图
在坐标系内画出点
A(95,25 3)
25 3
s2
45 B 95
A
150° 0 25 3
s1
B(45,25 3)
AB的垂直平分线与
s 轴的交点C便是
圆心，以C为圆心， 以AC为半径画 圆——应力圆
t (MPa)
B
s3
O
s2
A
2s0
C
20MPa
s1
s
(MPa)
主应力及主平面如图
y
面的法线 应力圆的半径
Ox
t n D( s , t)
2
C
x
A(sx ,tx) s
两面夹角 两半径夹角2 ；
且转向一致。
O
B(sy ,ty)
四、在应力圆上标出极值正应力
t
t max
x
s max s min
OC

R半径

21
A(sx ,tx)
OC
s3 s2
20 s1 s
s 1 120 s 220 s 30 0 30
25 3
s2
45 B 95
A
150° 0 25 3
s1
t (MPa)
B
s3
O
s2
A
2s0
C
20MPa
s1
s
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
s s
1 2

sx
s y
2

（s x
2
s
y
）2

t
2 x
150°
25 3
s y 45MPa t y 25 3MPa t x
y Ox
s x ?
s 6095MPa t 6025 3MPa
t

sx
s y
2
sin 2
tx
cos 2
例4 如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），某截面上M、 Q>0，试确定此截面上各点主应力大小及主平面位置。
s1 s3
2
t
tg21
sx s y 2t x
01
0
s3
破坏分析
t 主
单元体 x
ty s10
低碳钢:s s 240 MPa;t s 200 MPa
低碳钢
灰口铸铁:s Lb 98~280MPa s yb640~960MPa;tb198~300MPa
铸铁
例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)

R半径

s max
s min
2

（s
x
s
2
y
）2 t
2 x
sy
s3
主 单元体
sx
y
txy s 1
t t
' max
' min

s max
s min
2
Ox
0
1


4
, 即极值剪应力面与主平面成450
例2 分析受扭构件的破坏规律。
C y
M
txy tyx
解：确定危险点并画单元体
s2
A
10
s
s1 (M Pa)
s 1 58 s 2 50 s 327 t max44
§13–5 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 ——（广义虎克定律）
一、单拉下的应力--应变关系
y
sx

x
s x
E

y

s
E
x

z

s
E
x
ij 0 (i,jx,y,z )
z
x
y
二、纯剪的应力--应变关系

xy

tx
G
i 0 (ix,y,z)
yz zx 0
tx
z
x
三、复杂状态下的应力 --- 应变关系
sy
)

x

1 E
s
x

s
y
s
z
y
sx
sz
tx
z
x
依叠加原理,得:

x
s x
E

sy
E

sz
E



y

1 E
s
y
s
z
s
x
)
)