专题06 静电场中的点电荷模型-高考物理模型系列之对象模型(原卷版)

模型界定
点电荷是一种理想化模型，主要特征是带电体的形状与大小可以忽略．本模型中涉及到的问题有点电荷的平衡、点电荷的场强与电势、电场的迭加、带电粒子在点电荷电场中的运动等．
模型破解
1.点电荷之间的相互作用力
(i)库仑定律
真空中两个静止点电荷的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用的方向在它们的连线上.
(ii)适用条件
(I)真空中，(II)点电荷.
①点电荷在空气中发生相互作用，也可用库仑定律来处理.
②对于均匀带电的绝缘球体，可视为电荷集中了球心的点电荷，r为球心的距离.
③对于带电金属球，由于球内的自由电荷可以自由移，要考虑静电力对电荷分布的影响，在距离不大时，等效电荷中心与球心不重合，r是等效电荷中心间的距离，而非球心的间距.
④库仑力在r=10-15~10-11 m的范围内均有效，所以不要根据公式推出错误的结论：当r→0时，F→∞，其实，在这样的条件下，两个带电体也已经不能再看做点电荷.
(iii)电荷分配
接触带电体分享后的电荷分配与带电体的形状与大小有关．对于大小相同的球体将总电荷量平分．例１.三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径。

球1的带电量为q，球2的带电量为nq，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F。

现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此时1、2之间作用力的大小仍为F，方向不变。

由此可知
A．n=3 B．n=4 C．n=5 D．n=6
例２.有两个半径为r的带电金属球，球心相距l(l=4r），对于它们之间的静电作用力的说法正确的是（设每次各球所带电荷量的绝对值均相等）
A.在带同种电荷时大于带异种电荷时的作用力
B.在带异种电荷时大于带同种电荷时的作用力
C.在都带负电荷时大于都带正电荷时的作用力
D.大小与带电性质无关，只取决于所带电荷量
模型演练
１.两个分别带有电荷量Q -和+3Q 的相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为r 的两处，它们间库仑力的大小为F 。

两小球相互接触后将其固定距离变为
2r ，则两球间库仑力的大小为 A ．112F B ．34F C ．43
F D ．12F ２.点电荷的平衡与运动
解决平衡与运动问题的基本思路仍是通过受力分析利用平衡条件或牛顿运动定律进行分析计算． (i)受力分析时除了重力、弹力、摩擦力外，还需注意静电力与电场力．
（ii ）处理连接体、动态平衡等问题时与力学问题思路相同，通常需整体法与隔离法结合使用;分析点电荷的运动性质时仍需注意点电荷所受外力与初速度．
（iii ）注意对称性的应用，如同一圆周上均匀分布的点电荷对位于圆心处的点电荷总作用力为零． (iv)同一直线上三个点电荷在静电力作用下的平衡
①处理技巧：
研究任意两点电荷之间的电荷量关系、电性关系、到第三个电荷的距离关系时，对第三个点电荷应用平衡条件．
②规律
（I ）三个点电荷的位置关系是“同性在两边，异性在中间”.
如果三个点电荷只在库仑力的作用下在同一条直线上能够处于平衡状态，则这三个电荷一定有两个是同种电荷，一个是异种电荷，且两个同性电荷分别在异性电荷的两边.
（II ）中间的点电荷所带电荷量是三个点电荷中电荷量最小的；两边同性电荷中电荷量小距中间点电荷
近.2122132233211:1:1::r r r q q q =。

（III ）三个点电荷的电荷量满足
322131q q q q q q +=
例３.如图所示，在光滑绝缘的水平桌面上有四个小球，带电量分虽为-q 、Q 、-q 、Q 。

四个小球构成一个菱形，-q 、-q 的连线与-q 、Q 的连线之间的夹角为α。

若此系统处于平衡状态，则正确的关系式可能是
A ．3cos 8q Q
α= B ．2
3
2cos q Q α= C ．3sin 8Q q
α= D ．2
3
2sin Q q α= 例 4.水平放置的光滑绝缘环上套有三个带电小球，小球可在环上自由移动．如图所示，是小球平衡后的可能位置图．甲图中三个小球构成一个钝角三角形，A 点是钝角三角形的顶点．乙图中小球构成一个锐角三角形，其中三角形边长DE>DF>EF ．可以判断正确的是
A ．甲图中A 、
B 两小球可能带异种电荷
B ．甲图中三个小球一定带等量电荷
C ．乙图中三个小球一定带同种电荷
D ．乙图中三个小球带电荷量的大小为Q D >Q F >Q
E 例5.三个质量相同的带电小球，置于光滑绝缘的水平桌面上的一个边长为L 的正三角形的三个顶点上，如图所示，已知a 、b 两球皆带正电荷q ，现给c 球一个恒定的拉力，使三个小球恰好在相对位置不变的情况下以相同的加速度一起做匀加速运动，问：
（1）c 球带什么性质的电荷，电荷量为多少？
（2）恒力F 应该为多大？
模型演练
2.（07重庆16.）如图，悬挂在O 点的一根不可伸长的绝缘细线下端有一个带电量不变的小球A . 在两次实验中，均缓慢移动另一带同种电荷的小球B .当B 到达悬点O 的正下方并与A 在同一水平线上，A 处于受力平衡时，悬线偏离竖直方向的角度为θ，若两次实验中B 的电量分别为q 1和q 2, θ分别为30°和45°.则q 2/q 1为
A.2
B.3
C.23
D.33
3.在光滑绝缘的水平地面上放置着四个相同的金属小球，小球A 、B 、C 位于等边三角形的三个顶点上，小球D 位于三角形的中心，如图所示。

现让小球A 、B 、C 带等量的正电荷Q ，让小球D 带负电荷q ，使四个小球均处于静止状态，则Q 与q 的比值为（ ）
A.13
C.3
D.
３．点电荷的场
（i ）单一点电荷的场
①场源电荷电荷量相同时，离场源电荷越近场强越强；距场源电荷距离相同时，场源电荷电荷量越大，场强越强．场强公式为2r
kQ E ． ②场强方向沿该点与场源电荷连线，场源电荷为正时背离场源电荷、场源电荷为负
时指向场源电荷．
③点电荷电场中无场强相同的点：大小相同处方向不同，方向相同处大小不等．
④场源电荷为正时场中各点电势为正，在场源电荷电荷量相同时离场源电荷越近的点电势越高，在离场源电荷距离相等时场源电荷电荷量越大，电势越高．
场源电荷为负时场中各点电势为负，在场源电荷电荷量相同时离场源电荷越近的点电势越低，在离场
源电荷距离相等时场源电荷电荷量绝对值越大，电势越低．（电势公式为r
kQ =ϕ） ⑤距场源电荷距离相等处电势相等，即点电荷的等势面是以点电荷为中心的球面．
⑥由于场强等于电势随空间变化的最大变化率，故沿场源电荷向外的直线上，离场源电荷越远，相等长度上的电势差越小．
（ii ）多个场源电荷的场
①场强的迭加
空间存在多个场源电荷时，某一点的场强等于每个场源电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和． ②电势的迭加
空间存在多个场源电荷时，某一点的电势等于每个场源电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和． ③若干个带有等量电荷量的点电荷均匀分布在同一圆周上时，圆心处场强必为零．
④不等量两个点电荷Ｑ１与Ｑ２（设Ｑ１＞Ｑ２），可等效为两个等量点电荷Ｑ２与处于Ｑ１处的一个点电荷（Ｑ１－Ｑ２）的迭加．
两不等量异种电荷的电场中,场强为零的点出现在连线的延长线上,且在电荷量较小的场源电荷Q2的外侧.在该点与Q2之间的连线上各点,场强方向与Q2在该点产生的场强方向相同;在连线的其它各点上场强方向与Q1产生的场强方向相同.
两不等量同种电荷产生的电场中,场强为零的点出现在连线上,位置靠近电荷量较小的场源电荷Q2. ⑤几种常见点电荷的电场线或等势线分布示意图
○a甲图中是两等量异种点电荷的电场线与等势线分布
○b乙图中是两等量同种正电荷的电场线与等势线分布
○c丙图中是两不等量异种点电荷的电场线分布
○d丁图中是两不等量同种点电荷的等势线分布
○e戊图中是一正三负三个点电荷的电场线分布
○f己图中是两正两负四个点电荷的等势线分布
○g电场线与等势面是正交的，由电场线可确定等势线，反之亦然．
例6.如图所示，在某一点电荷Q产生的电场中，有a、b两点。

其中a点的场强大小为E a，方向与ab 连线成120°角；b点的场强大小为E b，方向与ab连线成150°角。

则关于a、b两点场强大小及电势高低说法正确的是
A．E a=3E b
b
a
ϕ
ϕ>B．
3
b
a
E
E=b
a
ϕ
ϕ>
C．
3
b
a
E
E=b
a
ϕ
ϕ<D．E a=3E b
b
a
ϕ
ϕ<
例7．如图所示，三个同心圆是同一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径之比为1：2：3 。

A、B、C依次为这三个等势面上的点（图中未标出），且这三点在同一条电场线上。

A、C两点的电势依次为φA=10V和φC=2V，则B点的电势是（B ）
A.一定等于6V
B.一定低于6V
C.一定高于6V
D.无法确定
例8.如图所示，A ，B ，C ，D ，E 是半径为r 的圆周上等间距的五个点，在这些点上各固定一个点电荷，除A 点处的电量为－q 外，其余各点处的电量均为+q ，则圆心O 处
A ．场强大小为
2kq r
，方向沿OA 方向 B ．场强大小为2kq r
，方向沿AO 方向 C ．场强大小为22kq r
，方向沿OA 方向 D ．场强大小为22kq r ，方向沿AO 方向
模型演练
4.图中a 、b 是两个点电荷，它们的电量分别为Q 1、Q 2，MN 是ab 连线的中垂线，P 是中垂线上的一点。

下列哪中情况能使P 点场强方向指向MN 的左侧
A
．Q 1、Q 2都是正电荷，且Q 1<Q 2
B ．Q 1是正电荷，Q 2是负电荷，且Q 1>|Q 2|
C ．Q 1是负电荷，Q 2是正电荷，且|Q 1|<Q 2
D ．Q 1、Q 2都是负电荷，且|Q 1|>|Q 2|
5如图所示，在正六边形的a 、c 两个顶点上各放一带正电的点电荷，电荷量的大小都是q 1，在b 、d 两个顶点上，各放一带负电的点电荷，电荷量的大小都是q 2，q 1>q 2.已知六边形中心O 点处的场强可用图中的四条有向线段中的一条来表示，它是哪一条( )
A ．E 1
B ．E 2
C ．E 3
D ．
E 4
6如图所示的真空空间中，仅在正方体中的黑点处存在着电荷量大小相等的点电荷，则图中a 、b 两点电场强度和电势均相同的是
c
7.水平面上有一边长为L 的正方形，其a 、b 、c 三个顶点上分别固定了三个等量的正点电荷Q ，将一个电量为+q 的点电荷分别放在正方形中心点O 点和正方形的另一个顶点d 点处，两处相比，下列说法正确的是 （ ）
A ．q 在d 点所受的电场力较大
B ．q 在d 点所具有的电势能较大
C ．d 点的电势高于O 点的电势
D ．q 在两点所受的电场力方向相同
8．图中甲，MN 为很大的薄金属板（可理解为无限大），金属板原来不带电。

在金属板的右侧，距金属板距离为d 的位置上放入一个带正电、电荷量为q 的点电荷，由于静电感应产生了如图甲所示的电场分布。

P 是点电荷右侧，与点电荷之间的距离也为d 的一个点，几位同学想求出P 点的电场强度大小，但发现问题很难。

几位同学经过仔细研究，从图乙所示的电场得到了一些启示，经过查阅资料他们知道：图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的。

图乙中两异号点电荷量的大小均为q ，它们之间的距离为2d ，虚线是两点电荷加线的中垂线。

由此他们分别求出了P 点的电场强度大小，一共有以下四个不同的答案（答案中k 为静电力常量），其中正确的是
A ．298d kq
B ．2d kq
C ．2
43d kq D ．2910d kq 9.如图所示，点电荷+4Q 与+Q 分别固定在A 、B 两点，C 、D 两点将AB 连线三等分。

现使一个带负电的检验电荷，从C 点开始以某一初速度向右运动，不计检验电荷的重力．则关于该电荷在CD 之间的运动，下列说法中可能正确的是 （ ）
A ．一直做减速运动，且加速度逐渐变小
B ．做先减速后加速的运动
C ．一直做加速运动，且加速度逐渐变小
D ．做先加速后减速的运动
４.点电荷在电场中的电势能大小的判定
（i ）由定义ϕq E P =判断
正电荷在电势高的地方电势能大，而负电荷在电势高的地方电势能小.
（ii ）由电场线判断
①正电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大. ②负电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小. （iii ）由场源电荷判断
①场源电荷为正电荷时，离场源电荷越近，正电荷的电势能越大，负电荷的电势能越小.
②场源电荷为负电荷时，离场源电荷越近，正电荷的电势能越小，负电荷的电势能越大.
（iv ）由电场力做功判断
电场力做正功，点电荷（无论是正电荷还是负电荷）从电势能较大的地方移向电势能较小的地方，反之，如果电荷克服电场力做功，那么电荷将从电势能较小的地方移向电势能较大的地方
.
练8图
（v ）由x E P
-图线判断 在x E P -图象中,各点纵坐标表示电势能的大小,图线斜率表示电场力的大小与方向,也可间接反映场强的大小与方向.
（iv ）由能量守恒判断
电荷在运动中只受到电场力时,动能与电势能之和不变,则在动能大处电势能小,反之亦然.
例9.如图所示，在光滑绝缘水平面上，两个带等量正电荷的点电荷M 、N 分别固定在A 、B 两点，O 为AB 连线的中点，CD 为AB 的垂直平分线．在CD 之间的F 点由静止释放一个带负电荷的小球P (设不改变原来的电场分布)，在以后的一段时间内，P 在CD 连线上做往复运动，则下列说法正确的是 ( )
A ．若小球P 所带电荷量缓慢减小，则它往复运动过程中每次经过O 点时的速率不断减小
B ．若小球P 所带电荷量缓慢减小，则它往复运动过程中的振幅不断减小
C ．若点电荷M 、N 所带电荷量同时等量地缓慢增大，则小球P 往复运动过程中周期不断减小
D ．若点电荷M 、N 所带电荷量同时等量地缓慢增大，则小球P 往复运动过程中振幅不断减小
例10.如图所示，正点电荷2Q 、Q 分别置于 M 、N 两点，O 点为MN 连线的中点。

点a 、b 在MN 连线上，点c 、d 在MN 中垂线上，它们都关于O 点对称。

下列说法正确的是
A ．O 点的电势高于c 点的电势
B ．a 、b 两点的电场强度相同
C ．电子在a 点的电势能大于在b 点的电势能
D ．将电子沿直线从c 点移到d 点，电场力对电子先做负功后做正功
例11.四个等量异种点电荷分别放置于正方形的顶点上,a 、b 分别为所在边的中点,如图所示.一点电荷从图中a 点沿直线移到b 点的过程中,下列说法正确的是
A.静电力对电荷做正功,电荷的电势能减小
B.静电力对电荷做负功,电荷的电势能增加
C.电荷所受的静电力先增加后减小
D.电荷所受的静电力先减小后增加
例12.两个点电荷Q1、Q2固定于x 轴上,将一带正电的试探电荷从足够远沿x 轴负方向移近Q2(位于坐标原点O).在移动过程中,试探电荷的电势能随位置的变化关系如图所示.则下列判断正确的是
M 点电势为零,N 点场强为零
M 点场强为零,N 点电势为零
Q1带负电,Q2带正电,且Q2电荷量较小
Q1带正电,Q2带负电,且Q2电荷量较小
三模型演练
10.如图所示，在x 轴上关于原点O 对称的两点固定放置等量异种点电荷＋Q 和－Q ，x 轴上的P 点位于－Q 的右侧．下列判断正确的是
A ．在x 轴上还有一点与P 点电场强度相同
B ．在x 轴上还有两点与P 点电场强度相同
C ．若将一试探电荷＋q 从P 点移至O 点，电势能增大
D ．若将一试探电荷＋q 从P 点移至O 点，电势能减小
11.如图所示，在一真空区域中，AB 、CD 是圆O 的两条直径，在A 、B 两点上各放置一个电荷量为+ Q 的点电荷,关于C 、D 两点的电场强度和电势，下列说法正确的是
(A) 场强相同，电势相等
(B) 场强不相同，电势相等
(C )将一正电荷从C 点移到D 点，电场力不做功
(D )将一正电荷从C 点移到D 点，电场力做正功
12.如图所示，经过AoB 三点的直线上有两个等量的正点电荷，经过aod 三点的直线是两点电荷连线的垂直平分线，已知ab=bo=co=cd ．下列说法正确的是 （ ）
A ．把一正试探电荷沿直线从a 移到b ，再把它从b 移到o ，此过程中电场力做的功一定相等
B ．把一正试探电荷沿直线从a 移到o ，再把它从o 移到d ，电场力做的总功等于零
C ．把一正试探电荷从o 点开始沿直线oba 匀速移动到无限远处的过程中，电场力做功的功率先减小后增大
D ．把一正试探电荷从o 点开始沿直线oba 匀速移动到无限远处的过程中，电场力做的总功等于零
13.如图所示，直角坐标系xOy ，在x 轴上固定着关于O 点对称的等量异号与点电荷+Q 和-Q ，C 、D 、E 三点的坐标分别为C （O ，a ），D （b ，0）和E （b 、a ）。

将一个点电荷+q 从O 移动到D ，电场力对它做功为W 1，将这个点电荷从C 移动到E ，电场力对它做功为W 2。

下列判断正确的是（ ）
A ．两次移动电荷电场力都做正功，并且W 1=W 2
B ．两次移动电荷电场力都做正功，并且W 1>W 2
C ．两次移动电荷电场力都做负功，并且W 1= W 2
D ．两次移动电荷电场力都做负功，并且W 1>W 2
14.在真空中A 、B 两点分别放置等量异种电荷，在电场中通过A 、B 两点的竖直平面内对称位置取一个矩形路径abcd ，如图10所示，现将一电子沿abcd 移动一周，则下列判断正确的是 ( )
A ．由a →b 电场力做正功，电子的电势能减小
B ．由b →c 电场对电子先做负功，后做正功，总功为零
C ．由c →d 电子的电势能一直增加
D ．由d →a 电子的电势能先减小后增加，电势能总增加量为零
15.位于A 、B 处的两个带有不等量负电的点电荷在平面内电势分布如图所示，图中实线表示等势线，则
A ．a 点和b 点的电场强度相同
B ．正电荷从c 点移到d 点，电场力做正功
C ．负电荷从a 点移到c 点，电场力做正功
D ．正电荷从e 点沿图中虚线移到f 点，电势能先减小后增大
16.真空中，两个相距L 的固定点电荷E 、F 所带电荷量大小分别是Q E 和Q F ，在它们共同形成的电场中，有一条电场线如图中实线所示，实线上的箭头表示电场线的方向．电场线上标出了M 、N 两点，其中N 点的切线与EF 连线平行，且∠NEF>∠NFE ．则
A ．E 带正电，F 带负电，且F E Q Q <
B ．在M 点由静止释放一带正电的检验电荷，检验电荷将沿电场线运动到N 点
C ．过N 点的等势面与过N 点的切线垂直
D ．负检验电荷在M 点的电势能大于在N 点的电势能
17.如图所示，在y 轴上关于O 点对称的A 、B 两点有等量同种点电荷+Q ，在x 轴上C 点有点电荷-Q ，且CO=OD ，∠ADO=600。

下列判断正确的是
A.O 点电场强度为零
B.D 点电场强度为零
C.若将点电荷+q 从O 移向C ，电势能增大
D.若将点电荷-q 从O 移向C ，电势能增大
18.如图所示，点电荷A 、B 均带负电，点C 与A 、B 构成一等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，O 为AB 连线的中点，D 为AB 连线上的一点，已知C 点的场强方向与A 、B 连线垂直，下列分析正确的是（ ）
A．O点的场强为0
B．C、D两点电势
C D
ϕϕ
<
C．D点的场强方向沿AO连线指向O
D．将一正电荷从C点移到O点，电荷的电势能增大
19.如图所示，Q1、Q2为两个被固定的正负点电荷，在它们的连线的延长线上有a、b、c三点，a是bc 的中点，其中a点的电场强度恰好为零。

现有一正检验电荷q以一定的初速度沿直线从b点运动到c点（q 只受电场力作用），则
A．电荷q的电势能先增加后减少
B．电荷q的动能先增加后减少
C．电荷q在b、c两点的加速度方向相反
D．电场中a点电势高于c点电势
20.现有两个边长不等的正方形ABCD和abcd，如图所示，且Aa、Bb、Cc、Dd间距相等。

在AB、AC、CD、DB的中点分别放等量的正点电荷或负点电荷。

则下列说法中正确的是
A.O点的电场强度和电势均为零
B.把一负点电荷沿着b→d→c的路径移动时，电场力做功为零
C.同一点电荷在a、d两点所受电场力相同
D.将一正点电荷由a点移到b点电势能减小
21.如图，带正电的点电荷固定于Q 点，电子在库仑力作用下，做以O 为焦点的椭圆运动。

M 、P 、N 为椭圆上的三点，P 点是轨道上离Q 最近的点。

电子在从M 到达N 点的过程中
A ．速率先增大后减小
B ．速率先减小后增大
C.电势能先减小后增大
D ．电势能先增大后减小
22.光滑的绝缘水平面上，有一个正方形abcd ，顶点a 、c 处分别固定一个正点电荷，电荷量相等，如图所示。

若将一个带负电的粒子置于b 点，自由释放，经过bd 中点O ，粒子将沿着对角线bd 往复运动。

则
A ．粒子从b 点运动到d 点的过程中，先作加速运动，后作减速运动
B ．粒子从b 点运动到d 点的过程中。

电势能与机械能之和先增大，后减小
C ．若粒子在运动过程中带电量缓慢减小，则它往复运动过程中振幅不断减小
D ．若粒子在运动过程中带电量缓慢减小，则它往复运动过程中每次经过O 点时的速率不断减小
23.如图所示匀强电场E 的区域内，在O 点处放置一点电荷＋Q ，a 、b 、c 、d 、e 、f 为以O 点为球心的球面上的点，aecf 平面与电场线平行，bedf 平面与电场线垂直，则下列说法中正确的是
A ．b 、d 两点的电场强度相同
B ．a 点的电势等于f 点的电势
C ．点电荷＋q 在球面上任意两点之间移动时，电场力一定做功
练21图
D．将点电荷＋q在球面上任意两点之间移动，从球面上a点移动到c点的电势能变化量最大。