2019精选教育第三章 章末复习课.doc

章末复习课
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核心归纳
1.本章涉及的概念比较多，要真正理解它们的实质，搞清它们的区别与联系.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，要进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别.
2.应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定事件彼此是否互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和.求较复杂的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(A－)(事件A与A－互为对立事件)求解.
3.对于古典概型概率的计算，关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基
本事件的个数m，再利用公式P(A)＝m
n求出概率.有时需要用列举法把基本事件一
一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏.
4.对于几何概型事件概率的计算，关键是求得事件A所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式求解.
5.学习本章的过程中，要重视教材的基础作用，重视过程的学习，重视基本数学思想和数学方法的形成和发展，注意培养分析问题和解决问题的能力.
要点一随机事件的概率
1.有关事件的概念
(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S的必然事件，简称必然事件.
(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件.
(3)确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件.
(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S的随机事件，简称随机事件.
(5)事件的表示方法：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，
C…表示.
2.对于概率的定义应注意以下几点
(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验.
(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫作事件A的概率.
(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小.
(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.
【例1】对一批U盘进行抽检，结果如下表：
(1)
(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？
解(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U 盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，
所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘.
【训练1】某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
(1)
(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
解(1)由题意得，击中靶心的频率分别为0.8,0.95，0.88，0.92,0.89,0.91，当射击次数越来越多时，击中靶心的频率在0.9附近摆动，故概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次).
(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化.后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定.
(4)不一定.
要点二古典概型及其应用
古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特点，即有限性和等可能性.另外，在求古典概型问题的概率时，往往需要我们将所有基本事件一一列举出来，以便确定基本事件总数及事件所包含的基本事件数.这就是我们常说的穷举法.在列举时应注意按一定的规律、标准，不重不漏.
【例2】海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
(1)求这6件样品中来自A
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.
解(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是
6
50＋150＋100
＝
1
50，
所以样本包含三个地区的个体数量分别是
50×1
50＝1,150×
1
50＝3,100×
1
50＝2.
所以这6件样品中来自A，B，C三个地区的数量分别为1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2，
则从这6件样品中抽取的2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个.
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.
记事件D“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个.
所以P(D)＝4 15，
即这2件商品来自相同地区的概率为4 15.
【训练2】甲、乙、丙3个盒中分别装有大小相等、形状相同的卡片若干张.甲盒中装有2张卡片，分别写有字母A和B；乙盒中装有3张卡片，分别写有字母C，D和E；丙盒中装有2张卡片，分别写有字母H和I.现要从3个盒中各随机取出1张卡片，求：
(1)取出的3张卡片中恰好有1张、2张、3张写有元音字母的概率各是多少？
(2)取出的3张卡片上全是辅音字母的概率.
解根据题意画出如图所示的树状图.
由树状图可以得到，所有可能出现的基本事件有12个，它们出现的可能性相等.
(1)只有1个元音字母的结果有5个，
所以P(1个元音字母)＝5 12；
有2个元音字母的结果有4个，
所以P(2个元音字母)＝4
12＝
1
3；
有3个元音字母的结果有1个，
所以P(3个元音字母)＝1 12.
(2)全是辅音字母的结果有2个，
所以P(3个辅音字母)＝2
12＝
1
6.
要点三互斥事件与对立事件
1.对互斥事件与对立事件的概念的理解
(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生.因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况.
(2)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，则两事件是互斥的，此时A＋B的概率就可用概率加法公式来求，即为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A∩B≠∅，则可考虑利用古典概型的定义来解决，不能直接利用概率加法公式.
(3)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，A＋B＝U，则两事件是对立的，此时A＋B就是必然事件，可由P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1来求解P(A)或P(B).
2.互斥事件概率的求法
(1)若A1，A2，…，A n互斥，则P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n).
(2)利用这一公式求概率的步骤：①要确定这些事件彼此互斥；②先求出这些事件分别发生的概率，再求和.值得注意的是：①是公式的使用条件，如不符合，是不能运用互斥事件的概率加法公式的.
3.对立事件概率的求法
P(Ω)＝P(A＋A－)＝P(A)＋P(A－)＝1，由公式可得P(A)＝1－P(A－)(这里A－是A的对立事件，Ω为必然事件).
4.互斥事件的概率加法公式是解决概率问题的重要公式，它能把复杂的概率问题转化为较为简单的概率或转化为其对立事件的概率求解.
【例3】某人在如图所示的直角边长为4 m的三角形地块的每个格点(指纵、
横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X (单位：株)之间的关系如下表所示：
这里， 1 m.
(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量，
(2)48 kg 的概率.
解 (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：
所种作物的平均年收获量为
51×2＋48×4＋45×6＋42×315＝102＋192＋270＋12615
＝69015＝46.
(2)由(1)，知P (Y ＝51)＝215，P (Y ＝48)＝415.故在所种作物中随机选取一株，它的
年收获量至少为48 kg 的概率为P (Y ≥48)＝P (Y ＝51)＋P (Y ＝48)＝215＋415＝25.
【训练3】 向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.2，炸中第二个军火库的概率为0.12，炸中第三个军火库的概率为0.28，三个军火库中，只要炸中一个另两个也会发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率.
解 设A 、B 、C 分别表示炸弹炸中第一、第二及第三个军火库这三个事件，事
件D 表示军火库爆炸，已知P (A )＝0.2，P (B )＝0.12，P (C )＝0.28.又因为只投掷了一枚炸弹，故不可能炸中两个及以上军火库，所以A 、B 、C 是互斥事件，且D ＝A ＋B ＋C ，所以P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.2＋0.12＋0.28＝0.6，即军火库发生爆炸的概率为0.6.
要点四 几何概型及其应用
若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特点，则
此试验为几何概型.由于其结果的无限性，概率就不能应用P (A )＝m n
求解，故需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解.
几何概型同古典概型一样，是概率中最具代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置.
【例4】 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4 s 内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4 s 为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2 s 的概率是( )
A.14
B.12
C.34
D.78
解析 设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则0≤x ≤4,0≤y ≤4，而事件A “它们第一次闪亮的时刻相差不超过2 s ”，即|x －y |≤2，其表示的区域为
如图所示的阴影部分.
由几何概型概率公式，得P (A )＝42－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×242＝34. 答案 C
【训练4】 如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角
形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为()
A.4
13 B.2 13
C.1
13 D.3 13
解析设阴影小正方形边长为x，则在直角三角形中有22＋(x＋2)2＝(13)2，解
得x＝1或x＝－5(舍)，∴阴影部分面积为1，∴飞镖落在阴影部分的概率为1 13.
答案C。