河北省冀州中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(

试卷类型：A 卷 河北冀州中学
2016-2017学年度下学期期中 高二年级文科数学试题
（ 考试时间：120分钟 分值：150分）
第Ⅰ卷（选择题 共52分）
一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集2I {|9Z}x x x =<∈，，{12}A =，，{2,1,2}B =--，则 I ()A B = ð（ ） A ．{1} B ．{1,2} C ．{2} D ．{0,1,2}
2. 已知z 是z 的共轭复数，若1i z =+（i 是虚数单位），则2
z
= （ ）
A. 1i -
B. 1i +
C.i 1-+
D. i 1--
3. 已知R λ∈,向量()()3,,1,2a b λλ==- ，则“3
5λ=”是
“a b ⊥
”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4. 已知输入的x 值为1，执行如右图所示的程序框图， 则输出的结果为 （ ） A ．1 B ．3 C ．7 D ．15 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若B=30°，b=2，c=2，则角C= （ ） A ．60°或120° B ．60° C ．30°或150° D ．30°
6. 已知1x >，1y >，且lg x ，2，lg y 成等差数列，则x y
+有 （ ）
A ．最小值20
B ．最小值200
C ．最大值20
D ．最大值200 7．将函数f （x ）=sin （x+）的图象向左平移
个单位，所得函数g （x ）图象的一
个对称中心可以是 （ ）
A ．（
，0） B ．（﹣
，0） C ．（
，0） D ．（﹣
，0）
8. 现有
名女教师和
名男教师参加说题比赛，共有道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（ ） A.
B. C.
D.
9.函数f(x)= 1
ln|e x - e - x | 的部分图象大致是（ ）
10.已知不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥-≥+224x y x y x ，表示的平面区域为D ，点O(0,0)、A(1,0),若M 是D 上的
动点，则向量在向量方向上的投影的最小值为 （ ）
A. 22
B. 55
C. 1010
D. 310
10
11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
（ ）A ．13 B ．43 C ．83 D ．10
3
12.抛物线y 2
=2px(p>0)的焦点为F ，已知点A 、B 为抛物线
上的两个动点，且满足∠AFB= 1200,过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为
N ，则|MN||AB| 的最大值为（ ）
A. 33
B. 1
C. 23
3
D. 2
13. 设)0(25)(,1
2)(2
>-+=+=
a a ax x g x x x f ，若对于任意]1,0[1∈x ，总存在]1,0[0∈x ，使得)()(10x f x g =成立，则a 的取值范围是 （ ）
A. ),4[+∞ B ．]25,0( C.]4,25[ D ．),2
5
[+∞
第Ⅱ卷（非选择题，共98分）
：已知x ，y 的关系符合回归方程
+=a x b y ，其中b ＝－20.若该品牌的饮料的进价为2元，为使利润最大，零售价应定为________元.
17. 已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'
()f x ，若对于任意实数x ，有
'()()f x f x >，且()1y f x =-为奇函数，则不等式()x f x e <的解集为
三、解答题：本大题共7小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18. (本小题满分12分）
数列{a n }是以d （d ≠0）为公差的等差数列，a 1=2，且a 2，a 4，a 8成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若b n =（n ∈N*），求数列{b n }的前n 项和T n ．
19.(本小题满分12分)
已知函数()sin(2)cos(2)sin 236f x x x m x ππ=++++(R)m ∈,()212
f π
=.
（Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2b =，()2
B
f =ABC ∆的面积
求ABC ∆的周长.
20. (本小题满分12分) 微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）.为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50
（Ⅱ）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“A 组”和“B 组”的人数；
（Ⅲ）从（2）中抽取的5人中再随机抽取2人赠送200元的护肤品套装，求这2人中至少有1人在“A 组”的概率.
参考公式：)
)()()(()(22
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中n a b c d =+++为样本容量.
21.(
在三棱柱111ABC A B C -中，2AC BC ==，120ACB ∠=︒，D 为11A B 的中点．
（Ⅰ）证明：1//AC 平面1BC D ； （Ⅱ）若11A A AC =，点1A 在平面ABC 的射影在AC
上，且侧面11A ABB 的面积为11A BC D -的体积．
22. (本小题满分12分) 已知椭圆:Γ2
221x y a
+=(1)a >的左焦点为1F ，右顶点为1A ，上
顶点为1B ，过1F 、1A 、1B 三点的圆P 的圆心坐标为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线:l y kx m =+（,k m 为常数，0k ≠）与椭圆Γ交于不同的两点M 和N ．
（ⅰ）当直线l 过(1,0)E ，且20EM EN +=
时，求直线l 的方程；
（ⅱ）当坐标原点O 到直线l 的距离为2，且MON ∆面积为2
时，求直线l 的倾斜角．
23．(本小题满分12分)
已知x=1是f （x ）=2x++lnx 的一个极值点． （Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）设函数g （x ）=f （x ）﹣
，若函数g （x ）在区间[1，2]内单调递增，求实数
a 的取值范围．
24. (本小题满分10分) 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，且取相同的长度单位．曲线C 1：cos 2sin 70ρθρθ--=，和C 2：()8cos 3sin x y θ
θθ=⎧⎨
=⎩
为参数. （Ⅰ）写出C 1的直角坐标方程和C 2的普通方程；
（Ⅱ）已知点P （-4，4），Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到曲线C 1距离的最小值．
河北冀州中学
2016-2017学年度下学期期中高二年级文科数学答案
A 卷：1.D 2.
B 3.
C 4.
D 5.A 6.B 7.C 8.C 9. D 10. C 11.D 12. A 13.C ．
．248∴（2+3d ）2=（2+d ）（2+7d ），整理得：d 2﹣2d=0， ∵d=2，d=0（舍去）， ∴a n =2+2（n ﹣1）=2n ，
数列{a n }的通项公式a n =2n ；
（Ⅱ）若b n ==
=
，
数列{b n }的前n 项和T n =1+
+
+…+
=1﹣
=
．
19. 解：（Ⅰ）∵()212
f π
=
∴()sin(2)cos(2)sin(2)1212312612f m ππππππ=⨯++⨯++⨯sin cos 2232
m
ππ=++=
解得：1m =…………………………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()sin(2)cos(2)sin 2f x x x x ππ
=++++
2sin 22sin(2)3
x x x =+=+…………………………………………………6分
∴()2sin()23
B f B π
=+=
∵0B π<< , 4333B πππ<+<,∴233B ππ+= ,则3B π
= …………………………8分
又∵1sin 24
ABC S ac B ac ∆===∴4ac =………………………………………10分
∵22222cos ()34b a c ac B a c ac =+-=+-= ∴2()41216a c +=+= ，∴4a c +=
∴ABC ∆的周长为6a b c ++= ………………………………………………12分 20. 解：（Ⅰ）由列联表可得()()()()()
()2
2
2100262030240.6490.70856445050n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯-----2分
没有60%的把握认为“A 组”用户与“性别”有关------------------4分 （Ⅱ）由题意得所抽取的5位女性中，“A 组”3人，“B 组”2人。

---------6分 （Ⅲ）设A 组为()123,,a a a ，B 组为()12,b b ----------------7分
从这5人中任取2人，基本事件空间
()()()()()()()()()(){}12132311122122313212,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a b a b a b a b b b Ω=
-----------------------10分
这2人中至少有1人在“A 组”的概率是
9
10
.---------------------12分 21. （Ⅰ）证明：连接1B C 交1BC 于点E ，连接DE ． 则E 为1B C 的中点，又D 为11A B 的中点，
所以1//DE AC ，且DE ⊂平面1BC D ，1
AC ⊄平面1BC D ， 则1//AC 平面1BC D ．
（Ⅱ）解：取AC 的中点O ，连接1AO ，过点O 作OF AB ⊥于点
F ，连接1A F ． 因为点1A 在平面ABC 的射影O 在AC 上，且11A A AC =， 所以
1AO ⊥平面ABC ，∴1AO AB ⊥，1AO OF O = ， ∴AB ⊥平面1AOF ，则1A F AB ⊥． 设1AO h =，在ABC ∆中，2AC BC ==，120ACB ∠=︒，
∴AB =12OF =，1A F =，
由11A ABB S =
=1
AO h ==．
则111111113A BC D B A C D A C D
V V AO S --∆==⨯
⨯1111
22sin1203224
=⨯⨯⨯︒=． 所以三棱锥11A BC D -的体积为1
4
．
22．解：（Ⅰ） 1(,0)A a ，1(0,1)B ，∴11A B 的中点为1(,)22a ，11A B 的斜率为1
a
-
∴11A B 的垂直平分线方程为1()22
a
y a x -=-……………………………2分
∵圆P 过点1F 、1A 、1B 三点，∴圆心P 在11A B 的垂直平分线上
.
11()2222
a
a ∴
-=-
，解得a =
a = ∴椭圆的方程为：2
213
x y +=……………………………………………………4分
（Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y 由22
13x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
可得：2222(31)230k y my m k +-+-= 122231m y y k ∴+=+，22
122
331
m k y y k -=+……③……………………………………………5分 （ⅰ） 直线l 过(1,0)E ，0k m ∴+=……④ 20EM EN +=
，1122(1,)2(1,)(0,0)x y x y ∴-+-=
从而1220y y +=……⑤
由③④⑤可得：1,1k m ==-，或1,1k m =-=
∴直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+………………………………………8分 （ⅱ） 坐标原点O 到直线l
=
223(1)4m k ⇒=+……⑥
结合③：21|||MN y y =-=
=
由⑥⑦得：||MN =
∴1||2MON
S MN ∆=⨯=10分 MON ∆
=
可得：k =
设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ= 由于0θπ≤<，所以6
π
θ=
或56
π
θ=
………………………………………………12分
23. 解：（Ⅰ）f′（x ）=2﹣+，
x=1是f （x ）=2x++lnx 的一个极值点， 故f′（1）=2﹣b+1=0，解得：b=3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：g （x ）=2x++lnx ﹣﹣=2x+lnx ﹣， 若函数g （x ）在区间[1，2]内单调递增，
则g′（x ）=2++
=
，
则2x 2+x+a ≥0在[1，2]恒成立， 即a ≥﹣2x 2﹣x 在[1，2]恒成立， 令h （x ）=﹣2x 2﹣x=﹣2
+，x ∈[1，2]，
h （x ）在[1，2]递减，h （x ）max =h （1）=﹣3， 故a ≥﹣3．
24．解:（Ⅰ）曲线1C :270x y --=，曲线2C 的普通方程为22
1649
x y +
= （Ⅱ）设曲线2C 上的点()8cos ,3sin Q θθ则PQ 中点为M 3sin 44cos 2,2θθ+⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，M 到直
线270x y --=的距离为d ==
， 所以当
()sin 1θα+=时，d。