北京北方交通大学2020年高二数学理期末试题含解析

北京北方交通大学2020年高二数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知U=R，，则（C U A）∩B=（）
A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．[1，3]D．（1，3）
参考答案：
B
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】首先整理集合A，解关于x的绝对值不等式，再根据指数函数的值域做出集合B 的范围，求出补集再写出交集．
【解答】解：∵A={x||x﹣2|≤1}={x|1≤x≤3}
∴C U A={x＜1或x＞3}，
∵={x|x＞1}
∴（C U A）∩B={x|x＞3}
故选B．
2. 设函数的导数为，且，，，则当
时，（）
A. 有极大值，无极小值
B. 无极大值，有极小值
C. 既有极大值又有极小值
D. 既无极大值又无极小值
参考答案：
B
【分析】
由题设，结合条件可得存在使得，再由
，可得在上单调递增，分析导数的正负，即可得原函数的极值情况.
【详解】由题设，所以，
，所以存在使得，又
，所以在上单调递增.
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.
因此，当时，取极小值，但无极大值，故选B.
【点睛】本题主要考查了函数导数的应用：研究函数的极值，但函数一次求导后导函数的单调性不明确时，仍可以继续求导，即二次求导，属于常见的处理方式，考查了学生的分析问题的能力，属于难题.
3. 定义在R上的可导函数，当时，恒成立，
，, 则a，b，c的大小关系为（）
A． B． C．
D．
参考答案：
A
4. 不等式的解集为,则函数的图象为（）
参考答案：
D
5. 已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种
A. 19
B. 26
C. 7
D. 12
参考答案：
B
分析：乙只能付现金，甲付现金或用支付宝与微信，然后按丙与甲乙相同的支付方式或不同的支付方式分类．
详解：由题意支付方法数有．
故选B．
点睛：本题考查排列组合综合应用，属于特殊元素与特殊位置优先安排问题．解题时关键是怎么分类，本题可以按乙甲丙丁顺序分步分类安排它们的支付方式．有一定的难度．6. 某校有六间不同的电脑室，每天晚上至少开放两间，欲求不同安排方案的种数，现有3位同学分别给出了下列三个结果：①；②；③，其中正确的结论是（）
A．①B．①与②C．②与③D．①②③
参考答案：
C
7. 函数y=x2cosx的导数为（）
A．y′=x2cosx-2xsinx B．y′=2xcosx+x2sinx
C．y′=2xcosx-x2sinx D．y′=xcosx-x2sinx
参考答案：
C
略
8. 篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球。

某人从篮子中随机取出两个球，记事件A=“取出的两个球颜色不同”，事件B=“取出一个红球，一个白球”，则
A．B．
C．D．
参考答案：
B
9. 记等差数列的前n项和为S n，若S3=6，S5=25，则该数列的公差d=( ) A．2 B．3 C．6 D．7
参考答案：
B
【考点】等差数列的性质．
【专题】方程思想；待定系数法；等差数列与等比数列．
【分析】由题意可得首项和公差的方程组，解方程组可得．
【解答】解：由题意可得S3=3a1+d=6，S5=5a1+d=25，
联立解得a1=﹣1，d=3，
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
10. ①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题，
②x，y∈R，“若xy=0，则x2+y2=0的否命题是真命题”；
③直线和抛物线只有一个公共点是直线和抛物线相切的充要条件；
则其中正确的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
B
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由复合命题的真假判断方法判断①；写出命题的否命题判断②，距离说明③是假命题．
【解答】解：①∵p，q中只要有一个假命题，就有p∧q为假命题，∴命题①错误；
②x，y∈R，“若xy=0，则x2+y2=0的否命题是x，y∈R，“若xy≠0，则x2+y2≠0”是真命题”；
③直线和抛物线只有一个公共点是直线和抛物线相切的充要条件为假命题，当直线与抛物线对称轴平行时，直线和抛物线也只有一个公共点．
∴真命题的个数是1个．
故选B．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知是直角三角形的概率
是．
参考答案：
略
12. 已知正数a,b满足3ab+a+b=1,则ab 的最大值是
参考答案：
13. 在ΔABC中，A、B、C是三个内角，C =30°，那么
的值是_____________。

.
参考答案：
略
14. 若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为________．
参考答案：
15. 已知，且，则等于________----------_________
参考答案：
16. 已知边长分别为a、b、c的三角形ABC面积为S，内切圆O半径为r，连接OA、OB、OC，则三角形OAB、OBC、OAC的面积分别为、、，由
得，类比得四面体的体积为V，四个面的面积分别为,则内切球的半径R=_________________
参考答案：
17. 若上是增函数，则实数的取值范围是_________.参考答案：
a-2
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)已知条件：和条件：，请选取适当的实数的值，分别利用所给的两个条件作为、构造命题“若则”，并
使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．
参考答案：
19. 已知函数．若函数f(x)在处有极值-4．
（1）求f(x)的单调递减区间；
（2）求函数f(x)在[－1,2]上的最大值和最小值．
参考答案：
（1）；（2）.
试题分析：
（1）先求出导函数，根据导数的几何意义得到关于的方程组，求得后再根据导函数的符号求出单调递减区间．
（2）由（1）求出函数的单调区间，可以数判断函数在上的单调性，求出函数在上的极值和端点值，通过比较可得的最大值和最小值．
试题解析：
（1）∵，
∴，
依题意有即，解得
∴，
由，得，
∴函数的单调递减区间
由知
∴，
令，解得．
当变化时，的变化情况如下表：
由上表知，函数在上单调递减，在上单调递增．
故可得
又．
∴
综上可得函数在上的最大值和最小值分别为和．
20. 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点（1，1），且在点（2，﹣1）处与直线y=x﹣3相切，求
a、b、c的值．
参考答案：
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的简单性质．
【分析】先求函数y=ax2+bx+c的导函数f′（x），再由题意知函数过点（1，1），（2，﹣1），且在点（2，﹣1）处的切线的斜率为1，即f′（2）=1，分别将三个条件代入函数及导函数，解方程即可
【解答】解：∵f（1）=1，∴a+b+c=1．
又f′（x）=2ax+b，
∵f′（2）=1，∴4a+b=1．
又切点（2，﹣1），∴4a+2b+c=﹣1．
把①②③联立得方程组解得
即a=3，b=﹣11，c=9．
21. （本小题满分12分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且
，
（1）求角B的大小；
（2）若最大边的边长为，且，求最小边长．
参考答案：
解：（Ⅰ）由整理得，
即，------2分
∴， -------5分
∵，∴。

-------7分
（Ⅱ）∵,∴最长边为， --------8分
∵，∴，--------10分
∴为最小边，由余弦定理得，解得，
∴，即最小边长为1 --------12分
略
22. （本小题满分12分）在数列。

（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和。

参考答案：
（1）证明：
[
数列是等差数列…………3分
由
…………6分
（2）由（1）的结论得…………7分
①…………8分
，②…………9分①-②，得
…………11分
…………12分
11 / 11。