2020-2021学年人教A版必修一课件4.2 第一课时 指数函数的概念、图象和性质

3．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大 a2，求a的值． 解：①当0<a<1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大 值f(x)max＝f(1)＝a1＝a，最小值f(x)min＝f(2)＝a2， 所以a－a2＝a2，解得a＝12或a＝0(舍去)； ②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值 f(x)max＝f(2)＝a2，最小值f(x)min＝f(1)＝a1＝a，所以a2－a＝ a2，解得a＝32或a＝0(舍去)．综上所述，a＝12或a＝32.
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝x－3 4＋ 2x－4的定义域是________． 解析：依题意有x2－x－44≠≥00，， 解得x∈[2,4)∪(4，＋∞)． 答案：[2,4)∪(4，＋∞)
2．若函数f(x)＝ ax－a 的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围 是________．
解析：∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当a>1时，x≥1.故函数定义域 为[1，＋∞)时，a>1. 答案：(1，＋∞)
解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(2,9)代入，得a2＝9， 解得a＝3或a＝－3(舍去)． 所以f(x)＝3x. 所以f(－1)＝3－1＝13.
答案：13
指数型函数的定义域和值域
[例 2] 求下列函数的定义域和值域：
1
(1)y＝2 x－4
；(2)y＝23－|x|；(3)y＝
1－12x.
[名师点津]
1．指数函数图象的特征 同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示．
直线x＝1与四个指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的交点 依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，所以有0<b<a<1<d<c， 因此可得出以下结论：在y轴的右侧，底数越大，图象越高，简 称“底大图高”．
即实数m的取值范围是{m|m≥1或m＝0}． [答案] (1)D (2){m|m≥1或m＝0}
处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型 函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的 值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下 平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性确定函数的对称情况，单调 性决定函数图象的走势．
[问题探究] 1．请分别写出这4组函数的解析式．
提示：(1)y＝f(x－1)＝2x－1； (2)y＝f(|x|)＋1＝2|x|＋1； (3)y＝－f(x)＝－2x； (4)y＝|f(x)－1|＝|2x－1|.
2．若给出函数f(x)＝4x的图象，能否由图象变换的方法得到上 面这4组函数的图象？若能，试分别写出图象的变换过程． 提示：能．(1)将函数y＝f(x)＝4x的图象向右平移1个单位长度得 到函数y＝f(x－1)＝4x－1的图象． (2)保留函数y＝f(x)＝4x在y轴右方的图象，并对称至y轴左边， 再向上平移1个单位长度得到y＝f(|x|)＋1＝4|x|＋1的图象． (3)函数y＝－f(x)＝－4x与y＝f(x)＝4x的图象关于x轴对称． (4)将函数y＝f(x)＝4x的图象向下平移1个单位长度得到函数y＝ f(x)－1＝4x－1的图象，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的 上方，便得到函数|f(x)－1|＝|4x－1|的图象．
[解] (1)∵x 应满足 x－4≠0，∴x≠4，
∴定义域为{x|x≠4，x∈R }．
∵x－1 4≠0，∴2x－1 4≠1，
1
∴y＝2 x－4的值域为{y|y＞0，且 y≠1}．
(2)定义域为R .
∵|x|≥0，∴y＝23－|x|＝32|x|≥320＝1， ∴此函数的值域为[1，＋∞)． (3)由题意知1－12x≥0， ∴12x≤1＝120，∴x≥0，∴定义域为{x|x≥0，x∈R }． ∵x≥0，∴12x≤1.又∵12x＞0，∴0＜12x≤1. ∴0≤1－12x＜1，∴0≤y＜1，∴此函数的值域为[0,1)．
4．2 指数函数
新课程标准
核心素养
1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义， 数学抽象
理解指数函数的概念.
2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数 函数的图象，探索并理解指数函数的单调 性与特殊点.
直观想象、 数学运算
第一课时 指数函数的概念、图象和性质
[问题导入]
预习课本P111～118，思考并回答下列问题 1．指数函数的概念是什么？
2．指数函数图象的变换 (1)平移规律：设b>0， ①y＝ax的图象―上―移―b―个―单―位→y＝ax＋b的图象； ②y＝ax的图象―下―移―b―个―单―位→y＝ax－b的图象； ③y＝ax的图象―左―移―b―个―单―位→y＝ax＋b的图象； ④y＝ax的图象―右―移―b―个―单―位→y＝ax－b的图象．
() () ()
2．下列函数中，是增函数是______(填上你认为正确的序号)． ①y＝13x；②y＝( 3＋1)x； ③y＝2－x；④y＝(a2＋2)x. 答案：②④
3．函数f(x)＝2x＋3的值域为________．
答案：(3，＋∞)
4．函数y＝ax－1－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点________． 解析：由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点 (0,1)，因而在函数y＝ax－1－1中，当x＝1时，恒有y＝0， 即函数y＝ax－1－1的图象恒过点(1,0)． 答案：(1,0)
2．结合指数函数的图象，分别指出指数函数y＝ax(a>1)和y＝ ax(0<a<1)的定义域、值域和单调性各是什么？
[新知初探]
知识点一 指数函数的概念 一般地，函数y＝ ax (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是
_自__变__量__，定义域是 R .
[想一想]
1．为什么指数函数的底数a>0，且a≠1?
3．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________. 解析：设f(x)＝ax(a>0，a≠1)，∵f(2)＝2，∴a2＝2， ∴a＝ 2，即f(x)＝( 2)x.
答案：( 2)x
知识点二 指数函数的图象和性质
a的范围
a＞1
图象
0＜a＜1
定义域
值域
性 质
过定点
单调性
பைடு நூலகம்
奇偶性
_R___
[跟踪训练]
1．若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝________.
解析：由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数， 可得aa2＞－03，a＋且3a＝≠11，， 解得aa＝＞10或，a且＝a2≠，1， ∴a＝2. 答案：2
2．若指数函数f(x)的图象经过点(2,9)，则f(－1)＝________.
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝22xx＋－22－－xx的大致图象为
()
解析：由于给定的函数解析式比较复杂，因此可考虑对其变形
并通过研究函数性质得到函数图象．
要使函数有意义，则2x－2－x≠0，即x≠0，故其定义域为
{x|x≠0}．
由于所有选项中的图象都具有奇偶性，因此考虑其奇偶性：
f(－x)＝22－ －xx＋ －22xx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
<1，且y＝
ax－
1 a
在R
上单调递增，故C符合；当0<a<1时，
1 a
>1，因此x＝0
时，y<0，且y＝ax－1a在R 上单调递减，故D符合．故选C、D. 答案：CD
指数函数图象变换问题探究 为研究函数图象的变换规律，某数学兴趣小组以指数函数f(x) ＝2x为例，借助几何画板画出了下面4组函数的图象： (1)y＝f(x－1)；(2)y＝f(|x|)＋1；(3)y＝－f(x)；(4)y＝|f(x)－1|.
_(_0_，__＋__∞__)_ _(_0_,_1_) _
在R 上是_增__函__数__
在R 上是_减__函__数__
非奇非偶函数
[想一想]
1．在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？ 提示：指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能 出现在第三、四象限．
2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象与底数a有什么关系？
再考虑单调性：f(x)＝
2x＋2－x 2x－2－x
＝
22x＋1 22x－1
＝1＋
2 22x－1
，当x>0时，
f(x)为减函数，故符合条件的函数图象只有A. 答案：A
2．(多选)函数y＝ax－1a(a>0，a≠1)的图象可能是
()
解析：当a>1时，
1 a
∈(0,1)，因此x＝0时，0<y＝1－
1 a
提示：底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升” 与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当 0<a<1时，指数函数的图象是“下降”的．
[做一做]
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝12x是减函数． (2)已知函数f(x)＝3x，若m>n，则f(m)>f(n)． (3)指数函数的图象一定在x轴的上方． 答案：(1)√ (2)√ (3)√
[解析] (1)①中指数式( 2 )x的系数不为1，故不是指数
函数；②中y＝2x－1＝
1 2
·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指
数函数；③是指数函数．
(2)根据指数函数的定义，得k2＋－2b＝＝10，，
解得kb＝＝－2. 1，
[答案] (1)③ (2)－1 2
判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式：判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这 一结构特征． (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特 征．只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数．
提示：①如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必
要；当x≤0时，ax无意义．
②如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝
1 2
，
1 4
，…，该函
数无意义．
③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.
2．指数函数的解析式有什么特征？ 提示：指数函数解析式的3个特征：①底数a为大于0且不 等于1的常数；②自变量x的位置在指数上，且x的系数是 1；③ax的系数是1.
[解析] (1)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函 数，从而有0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0＜a＜1) 的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0.
(2)画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．
若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象只有1个交点，则 m≥1或m＝0，
(2)对称规律
y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象
与y＝a－x的图象关于y轴对称 与y＝－ax的图象关于x轴对称 与y＝－a－x的图象关于坐标原点对称
指数函数的概念
[例1] (1)下列函数中是指数函数的是________(填序号)． ①y＝2·( 2)x；②y＝2x－1；③y＝π2x. (2)若函数y＝(k＋2)ax＋2－b(a>0，且a≠1)是指数函数，则 k＝________，b＝________.
[做一做]
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝x2是指数函数． (2)指数函数y＝ax中，a可以为负数． (3)y＝2x＋1是指数函数．
答案：(1)× (2)× (3)×
() () ()
2．函数y＝(a－2)ax是指数函数，则a＝________. 解析：由指数函数定义知a－2＝1得a＝3. 答案：3
函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有 意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t ∈M的值域． [提醒] (1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为 各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要 注意分类讨论．
指数型函数图象
[例3] (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常
数，则下列结论正确的是
()
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
(2)在平面直角坐标系中，若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|
的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是________．
[迁移应用] 1．若将函数更换为y＝12x，并得到如下图象：