北京市第四中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题(有答案)[精品]

北京四中2016~2017学年度第一学期期中测试
高三数学 期中试卷（理）
（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.） 1．已知全集{}1,2,3,4U =,集合{1,2}A =,则U A =
ð
A ．{4}
B ．{3,4}
C ．{3}
D ．{1,3,4}
2．设命题2:,2n p n n ∃∈>N ，则p ⌝为
A ．2,2n n n ∀∈>N
B ．2,2n n n ∃∈N ≤
C ．2,2n n n ∀∈N ≤
D ．2,2n n n ∃∈<N 3．为了得到函数3
lg
10
x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点 A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
4．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪
+⎨⎪⎩
≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为
A ．0
B ．1
C ．32
D ．2
5．等比数列{}n a 满足11353,21,a a a a =++=则357a a a ++=
A ．21
B ．42
C ．63
D ．84
6．已知x ∈R ，则“απ=”是“sin()sin x x α+=-”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在区间[1,0]-上单调递增，设)3(f a =， )2(f b =，)2(f c =，则c b a ,,大小关系是
A ．a >b >c
B ．a >c >b
C ．b >c >a
D ．c >b >a
8.已知函数22,0
()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+=⎨+>⎩
≤，若()f x ax ≥，则实数a 的取值范围是
A ．(,0]-∞
B ．(,1]-∞
C ．[2,1]-
D ．[2,0]-
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.） 9．设i 是虚数单位，则
1i
1i
-=+ .
10．执行如图所示的框图，输出值x = .
11．若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和
最大．
12．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，
x x x f 4)(2-=，则不等式()0x f x >的解集为
______.
13．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米200元，侧面造价是每平方米100元，则该容器的最低总造价是________元．
14．已知函数()y f x =，任取t ∈R ，定义集合
{|
t A y =()y f x =，点(,())P t f t ，(,())Q x f x 满足||PQ .
设,M m t t 分别表示集合A t 中元素的最大值和最小值，记()h t M m t t =-.则 (1) 若函数()f x x =，则(1)h =______；
（2）若函数π()sin 2
f x x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则()h t 的最小正周期为______.
三、解答题（共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 15．（本题满分13分）
集合2{|320}A x x x =-+<，11
{|28}2
x B x -=<<，{|(2)()0}C x x x m =+-<， 其中m ∈R . （Ⅰ）求A B ；
（Ⅱ）若()A B C ⊆，求实数m 的取值范围.
16．（本题满分13分）
已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且
{}n n b a -是等比数列．
（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ．
17．（本题满分13分）
已知函数()4sin cos 6f x x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
,x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调减区间；
（Ⅱ）求函数()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值与最小值.
18．（本题满分13分）
已知函数()1()ln(1)01x
f x ax x x
-=++
+≥，其中0a >. （Ⅰ）若1a =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.
19．（本题满分14分）
设函数()ln e x b f x a x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程为
e(1)2y x =-+. （Ⅰ）求,a b ； （Ⅱ）设()2
()e 0e
x g x x x -=-
>，求()g x 的最大值； （Ⅲ）证明函数()f x 的图象与直线1y =没有公共点.
20．（本题满分14分）
对于集合M ，定义函数1,,
().1,M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合,M N ，定义集合
{()()1}
M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,16}B =. （Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；
（Ⅱ）用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值；
（Ⅲ）有多少个集合对(),P Q ，满足,P Q A B ⊆，且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆？
参考答案
一．选择题（每小题5分，共40分）
()4,+∞
2
15. 解：（Ⅰ）()2{|320}1,2A x x x =-+<=；()1{|28}0,42
x B x -=<<=； 所以()1,2A B =； （Ⅱ）()0,4A B =，
若2m >-，则()2,C m =-，若()0,4A B C =⊆，则4m ≥； 若2m =-，则C =∅，不满足()0,4A B C =⊆，舍； 若2m <-，则(),2C m =-，不满足()0,4A B C =⊆，舍； 综上[)4,m ∈+∞.
16. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得
41123
333
a a d --=
==. 所以1(1)3,n a a n d n n *=+-=∈N ． 设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得
344112012
843
b a q b a --=
==--，解得2q =.
所以()11112n n n n b a b a q ---=-=. 从而11232,n n n n b a n n --*=+=+∈N ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知132,n n b n n -*=+∈N ．
123n n S b b b b =+++
+
01211(32)(62)(92)(32)2n n n --=++++++++
0121(3693)(2222)n n -=+++
+++++
+
(33)12212
n n n +-=+-
233
2122
n n n =++- 所以，数列{}n b 的前n 项和为233
2122
n n n ++-.
17. 解：
()4sin cos 6f x x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭14sin sin 2x x x ⎫=-⎪⎪⎝⎭
2cos 2sin x x x =-
2cos21x x =+-1
2cos2)12x x =+-π2sin(2)16
x =+-. （Ⅰ）令
3222,2
6
2k x k k π
π
πππ+≤+
≤
+∈Z ，解得263
k x k ππ
ππ+≤≤+， 所以函数()f x 的单调减区间为2[+,],6
3
k k k π
π
ππ+
∈Z . （Ⅱ）因为02
x π
≤≤
，所以
726
6
6x π
π
π≤+
≤
，所以1sin(2)126
x π
-≤+≤ ， 于是 12sin(2)26x π
-≤+≤ ，所以2()1f x -≤≤.
当且仅当2x π
=
时 ()f x 取最小值min ()()22
f x f π
==-; 当且仅当26
2
x π
π
+
=
，即6x π
=
时最大值max ()()16
f x f π
==.
18. 解定义域为[)0,+∞.222
22()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-'=-=++++.
（Ⅰ）若1a =，则22
1
()(1)(1)
x f x x x -'=++，令()0f x '=，得1x =（舍1-）.
所以1a =(0,1).
（Ⅱ）22
2
(
)(1)(1)ax a f
x ax x +-'=++，∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +>
①当2a ≥时，在区间(0,)'(
)0,f x +∞
>上，∴()f x 在[)1,+∞单调递增，所以
()(0)1;f x f =的最小值为
②当02a <<
时，由'(
)0'()0f x x f x x >><<解得由解得 ∴()f x +∞的单调减区间为（0）.所以()f x 在x =
处取得最小值，注意到(0)1,f f <=，所以不满足 综上可知，若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,).+∞ 19. 解：()f x ∞（I ）函数的定义域为(0,+),
()2()ln ln ln .x x x b b a b
b f x a x e a x e a x e x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(1)2,(1).f f e '==由题意可得 2
1,.a b e
==
故 （Ⅱ）2
(),'()(1)x x g x xe g x e x e
--=-=-则.
(0,1)()0;(1,)()0.()1
()(0,)(1).
x g x x g x g x g x g e
''∈>∈+∞<∞∞=-所以当时当时，故在（0,1）单调递增，
在(1,+)单调递减，从而在的最大值为 （Ⅲ）12
()ln ,x x f x e x e x -=+由（I ）知又0(1)ln12=21,f e e =+>于是函数()f x 的图象
与直线1y =没有公共点等价于()1f x >。

2
()1ln .x f x x x xe e
->>-而等价于
()ln ,()ln 1.h x x x h x x '==+设函数则
11
(0,)()0;(,)()0.x h x x h x e e
''∈<∈+∞>所以当时，当时，
11
(),()11().h x h x e e
h e e
+∞∞=-故在（0,）单调递减，在（）单调递增，从而在(0,+)的最小值为
由（Ⅱ）知0()(),() 1.x h x g x f x >>>综上，当时，即 20.解：（Ⅰ）(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=. （Ⅱ）根据题意可知：对于集合,C X ， ①a C Î且a X Ï，则(({})()1Card C X a Card C X ∆=∆-；
②若a C Ï且a X Ï，则(({})()1Card C X
a Card C X ∆=∆+.
所以 要使()()Card X A Card X B ∆+∆的值最小，2，4，8一定属于集合X ；1，6，10，16是否属于X 不影响()()Card X A Card X B ∆+∆的值；集合X 不能含有A B 之外的元素.
所以 当X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，
()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值4.
（Ⅲ）因为 {()()1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-，
所以 A B B A ∆=∆.
由定义可知：()()()A B A B f x f x f x ∆=⋅.
所以 对任意元素x ，()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅，
()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅. 所以 ()()()()A B C A B C f x f x ∆∆∆∆=. 所以 ()()A B C A B C ∆∆=∆∆.
由 ()()P A Q B A B ∆∆∆=∆知：()()P Q A B A B ∆∆∆=∆. 所以 ()()()()()P Q A B A B A B A B ∆∆∆∆∆=∆∆∆. 所以 P Q ∆∆∅=∅. 所以 P Q ∆=∅，即P Q =. 因为 ,P Q A B ⊆，
所以 满足题意的集合对(),P Q 的个数为72128=.。