高考数学理科5月份摸拟试卷新人教版

09年高考理科数学5月份摸拟试卷 （共8页）
(测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷)
一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）。

把答案直接填写在答题卷的相应位置上。

1、设全集I R =，集合201x A x x ⎧+⎫
=≥⎨⎬-⎩⎭
，则I A =ð______________。

2、复数
112
i
i -+的实部与虚部的和为____________。

3、以双曲线22
1610
x y -=的中心为顶点，以右焦点为焦点的抛物线的方程为___________。

4、若tan 24πα⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
，则tan 2α=_____________。

5、与直线230x y ++=垂直，且点()2,1P
到它的距离_______________________。

6、已知()5
a x +的展开式中2
x 的系数为1k ，4
1x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
（,0a R a ∈≠）的展开式中x 的系
数为2k ，则12k k ⋅=_____________。

7、某校选派A 、B 两个班参加一次社会活动，其中A 班有学生40名，其中男生24人；B 班有学生50名，其中女生30人，现从A 、B 两班各找一名学生进行问卷调查，则找出的学生是一男一女的概率为_______________。

8、设()()()1,2,,1,,0OA OB a OC b =-=-=-且0,0a b ≥≥，O 为坐标原点，若A 、B 、
C 三点共线，则142a b ++的最小值为______________。

9、已知数列{}n a 对于任意的p 、*q N ∈，满足p q p q a a a +=+且22a =，则
12232008
2009
111
a a a a a a ++⋅⋅⋅+=______________。

10、点P 为双曲线2
219x y -=上一点，12,F F 为它的左、右两个焦点，PQ 是12F PF ∠的角分线。

过1F 作PQ 的垂线，垂足为
R ，点O 为坐标原点，则OR =_________。

11、()()
cos cos 30x
f x x =
-，则()()()()125859f f f f ++⋅⋅⋅++=___________。

12、对于函数(
)f x =
，存在一个正数b ，使得()f x 的定义域和值域相同, 则
非零实数a 的值为_____________。

二、选择题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）。

每小题所给的四个选项中只有一个是正确的，请将正确答案的选项填在答题卷的相应位置上。

13、函数(
)sin 2f x x x =+（[]0,x π∈）的单调递减区间是 （ ） A ）0,
6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ）2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ）7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ）5,36ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦ 14、设1F 、2F 是曲线22
1:15x C y +=的焦点，P 是曲线222:13
x C y -=与1C 的一个交点，则12cos F PF ∠的值为 （ ）
A ）等于零；
B ）大于零；
C ）小于零；
D ）以上三种情况都有可能。

15、下列函数：
①y ②2log y x =-； ③116x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
； ④3y x =。

其中原函数的图像与其反函数的图像有三个交点的函数为 （ ） A ）①②③ B ）①②④ C ）②③④ D ）①③④
16、已知函数(
)2f x x = （ ）
A ）()f x 有最大值，无最小值；
B ）()f x 有最小值，无最大值；
C ）()f x 既有最大值又有最小值；
D ）()f x 既无最大值也无无最小值。

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

每题解题过程写在该题的答题框内，否则不计分。

17、（本题共2小题，其中第1小题4分，第2小题8分，满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和225n S n n =-+（*
n N ∈）。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）如果两个互不相等的正整数12,n n 满足
12
2n n q +=（q 为正整数），试比较122
n n S S +与
q S 的大小，并说明理由。

18、（本题共2小题，其中第1小题8分，第2小题6分，满分14分）
如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -的外接球面的表面积为3π，且1
AC ⊥平面1BDC ， （1）求此四棱柱的体积；
（2）如图，AC 与BD 交于点E ，1CB 与1C B 交于点F ，求平面BEF 与平面CEF 所成的
锐二面角的大小。

19、（本题共2小题，其中第1小题8分，第2小题6分，满分14分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，且sin
cos
sin 222sin
cos 022sec
1
2
A
A c
B
B B -=-
（1）试判断ABC ∆的形状；
（2）若ABC ∆的周长为16，求此三角形面积的最大值。

20、（本题共2小题，其中第1小题4分，第2小题10分，满分14分） 我们将点(),P x y 经过矩阵a b c d ⎛⎫
⎪⎝⎭
的变换得到新的点(),P x y '''称作一次运动，即：
x a b x y c d y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

（1）若点()3,4P 经过矩阵0110A ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
变换后得到新的点P '，求出点P '的坐标，并指出A
B
C
D
E
F
1A
1B 1C 1D
点P '与点P 的位置关系； （2）若函数()215
f x x a a
=
+（0x ≥）的图像上的每一个点经过（1）中的矩阵A 变换后，所得到图像对应函数()y g x =，试研究在()y g x =上是否存在定义域与值域相同的区间[],m n ，若存在，求出满足条件的实数a 的取值范围；若不存在，说明理由。

21 、（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题8分，第3小题8分，满分20分） 已知点E 、F 的坐标分别是()2,0-、()2,0，直线EP 、FP 相交于点P ，且它们的
斜率之积为1
4
-。

（1）求证：点P 的轨迹在一个椭圆C 上，并写出椭圆C 的方程；
（2）设过原点O 的直线AB 交（1）中的椭圆C 于点A 、B ，定点M 的坐标为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，试
求MAB ∆面积的最大值，并求此时直线AB 的斜率AB k ；
（3）反思（2）题的解答，当MAB ∆的面积取得最大值时，探索（2）题的结论中直线AB
的斜率AB k 和OM 所在直线的斜率OM k 之间的关系。

由此推广到点M 位置的一般情况或椭圆的一般情况（使第（2）题的结论成为推广后的一个特例），试提出一个猜想或设计一个问题，尝试研究解决。

[说明：本小题将根据你所提出的猜想或问题的质量分层评分]
高三数学（理科）参考答案
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

17、（本题共2小题，其中第1小题4分，第2小题8分，满分12分） 解：（1）当1n =时，13a =，-----------------------------------------------------------------1’ 当2n ≥时，()()2
2
1252151n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=-+---+-⎣⎦
47n =-+-------------------------------------------3’
当1n =时满足通项公式，47n a n ∴=-+--------------------------------------4’ （2）
12
12,
2
n n n n q +≠=， ()()12
22
2112212525252
2
n n q S S S n n n n q q +∴
-=
-+-+--+--------------------6’ ()222121210252n n q q q ⎡⎤=
-+++-⎣
⎦ ()2
22
121222n n n n +⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭
()222
12121222n n n n ⎡⎤=-+-+⎣
⎦
()2
12102
n n =
-<---------------------------------------------------10’ 12
2
n n q S S S +∴
>-----------------------------------------------------------------------------12’
18、（本题共2小题，其中第1小题8分，第2小题6分，满分14分）
解：（1）如图，建立空间直角坐标系，设1,AB a AA b ==，则()(),0,0,,,0D a A a a ， ()()()110,,0,0,0,,,,B a C b A a a b --------------------------------------------2’ ()()(
11,,0,,0,,,DB a a DC a b CA a ∴=-=-= 由1
AC ⊥平面1BDC 可得： 10CA DB ⋅=即2
2
0a a -+=显然成立，------4 及110CA DC ⋅=即2
2
0a b -+=，
可得：a b =即此正四棱柱为正方体------------6
由外接球表面积为2
43r ππ=
，可得：2
r =
----------------------------------7’
=求得正方体的棱长为1，∴正方体的体积为1；-----------------8’ （2）由（1）可知：1CA 为平面BEF 的一个法向量，且()11,1,1CA =----------------9’ 同理可证1BD 为平面CEF 的一个法向量，且()11,1,1BD =---------------------10’
111111
1
cos ,3
3CA BD CA BD CA BD ⋅=
=
=⋅---------------------------------------13’ ∴平面BEF 与平面CEF 所成的锐二面角的大小为1
arccos
3
---------------------14’
19、（本题共2小题，其中第1小题8分，第2小题6分，满分14分）
解：（1）由sin
cos
sin 222sin
cos 022sec
1
2
A
A c
B
B B -=-
sin
cos cos sin sin 22222
A B A B C
++=’ 即sin sin 22A B C +⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
-------------------------------------------------------3’ ,,A B C 为∆的内角，22A B C π+
-∴
=即sin sin 22
C C π-⎛⎫
+
= ⎪⎝⎭
cos
sin 22C C ∴+=24C π⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
’ 即sin 124C π⎛⎫
+=
⎪⎝⎭，3,2444
C πππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
-------------------------------------6’ 242C ππ∴
+=即2
C π
∠=，∴此三角形为直角三角形；--------------------8’ （2）由已知可知16a b c ++=且2
2
2
a b c +=
，可得：16a b +=-----9’ 又
a b +
+≥
（,a b R +∈）--------------------------10’
(82≤
=当且仅当a b =时等号成立-----------------------12’
此时(2
642ab ≤即面积有最大值为192-’
20、（本题共2小题，其中第1小题4分，第2小题10分，满分14分） 解：（1）
01341043⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，P '∴的坐标为()4,3-----------------------------------2’ 显然点P '与点P 关于直线y x =成轴对称；-----------------------------------4’ （2）由（1）知()y g x =为()y f x =的反函数，---------------------------------------5’
25x a y ∴=-，x ∴=
∴当0a >时，()g x =
5
x a ≥
）----------------------------------------7’
当0a <时，()g x =5
x a
≤）----------------------------------------8’
当0a >时，函数()y g x =在定义域内单调递增， 要使函数()y g x =存在定义域与值域相同的区间[],m n ，
x =当0x ≥时有两个相异实根，---------------------------10’ 即方程2
5ax x -=有两个相异正根（0x =显然不是方程的根），
5a x x ∴=+
（0x >）即函数y a =与函数5
y x x
=+（0x >）有两个交点，
由图像可知：a >5
x x
+≥x =----12’
当0a <时，函数()y g x =的值域为[)0,+∞，而5
0x a
≤<，
∴当0a <时，不存在定义域与值域相同的区间[],m n ，
a ∴的取值范围为()
+∞。

----------------------------------------------------14’
21、（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题8分，第3小题8分，满分20分） 解：（1）设(),P x y 为轨迹上的动点，由题意
221
44224
y y x y x x ⋅=-⇒+=+- 即22
14x y +=，∴点P 的轨迹在椭圆22:14
x C y +=上；------------4’ （2）解法一：（Ⅰ）当直线AB 垂直于x 轴时，2AB =，此时1MAB S ∆=----------6’ （Ⅱ）当直线AB 不垂直于x 轴时，设该直线方程为y kx =，代入椭圆中
得：A 、B
两点的坐标为：⎛⎫
⎝，
则AB =’
又点M 到直线AB
的距离d =
------------------------9’
1
2MAB S AB d ∆∴=
⋅=
-----------------------------------10’
MAB S ∆∴== 由
2
4141
k
k ≥-+
，得MAB S ∆，等号成立时12k =- 综上，MAB S ∆
1
2
AB k =-----------------12’
解法二：
MAB OMA OMB S S S ∆∆∆=+，由椭圆的对称性可知A 、B 两点到直线OM 的距离
相等，设距离为d ，
于是OMA OMB S S ∆∆=
，即22
MAB OMA S S OM d d ∆∆==⋅=
， ∴当d 取道最大值时，MAB S ∆最大，--------------------------------------------7’ 设直线1
:202
OM y x x y =⇔-=，椭圆上的点(),A x y ，
()222
44444
1555
x xy y xy d d xy -+-∴=
⇒===-----------9’
222
211,1144
x x y xy xy y xy xy =+≥⇒≤=+≥-⇒≥-
11xy ∴-≤≤，当且仅当1xy =-时，2
max max 85d
d =
⇒=
()max MAB S OM d ∆∴=⋅==， 而1xy =-当且仅当
2x y =-时取得，∴此时1
2
AB k =-------------------12’
解法三：同解法二可得：22
MAB OMA S S OM d d ∆∆==⋅=
⋅， ∴当d 取道最大值时，MAB S ∆最大，--------------------------------------------7’ 设直线1
:202
OM y x x y =
⇔-=，由对称性， 不妨设椭圆上的动点()[)2cos ,sin ,0,A θθθπ∈
34d πθ⎛
⎫∴=
=
+ ⎪⎝
⎭--------------------------------9’
∴当3sin 14
πθ⎛⎫
+
=± ⎪
⎝
⎭
时，max d =
于是()max max 25MAB S OM d ∆=⋅== 又[)0,θπ∈，则当3sin 14
πθ⎛
⎫
+
=± ⎪⎝
⎭
时，34πθ=，
此时2,222A ⎛⎛⎛⋅-= ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭，于是12AB OA k k ==---------12’ （3）说明：本小题共8分，建议根据学生提出的问题或猜想的质量划分为三档，其中：
（Ⅰ）此档最高得分4分，若学生提出诸如：
“设点()1,M b （0ab ≠）为椭圆2
2:14
x C y +=内一点，过椭圆C 中心的直线AB 与椭圆分别交于A 、B 两点，当且仅当OM AB k k =-时，MAB ∆的面积取得最大值。

此推广不充分，且为假命题的猜想，但能举出反例否定之，则最高得4分；
若提出的猜想或问题质量不高，则无论能否自行解决，最高得2分。

（Ⅱ）此档最高得分6分，若学生的猜想或设计的问题能将点M 的位置推广到一般情况或者能将椭圆方程推广到一般情况（即推广了其中一个条件），则可得4分； 若能分析“OM AB k k =-”为假命题，并能进一步尝试发现斜率AB k 和OM k 之间的关系（但无明确结论），则最高可得5分；
学生在自行解决推广其中一个条件的问题中，若能发现AB k 和OM k 之间的规律（本质规律参考满分一档的解答）或完整解答自己提出的推广问题，则可得6分。

（Ⅲ）最高得分8分，若学生能提出较一般化的推广，例如：
试问1：“设点(),M m n （0mn ≠）和椭圆22
22:1x y C a b
+=（0,0a b >>），若过椭
圆C 中心的直线AB 与椭圆分别交于A 、B 两点，试验证：当MAB ∆的面积取得最大值时，直线AB 的泄率AB k 和OM 所在直线的斜率OM k 满足2
2AB OM b k k a
⋅=-”（或其等价命题）则
可得6分；
试问2：“设点(),M m n （0mn ≠）和椭圆22
22:1x y C a b
+=（0,0a b >>），若过椭
圆C 中心的直线AB 与椭圆分别交于A 、B 两点，试求出当MAB ∆的面积取得最大值时，直线AB 的泄率AB k 和OM 所在直线的斜率OM k 满足的关系式”则可得5分； 若能找到本质规律并给予证明，则得满分8分。

现给出设问1的一种证明： 证明：设(),M m n （0mn ≠），由椭圆的对称性，可设()cos ,sin A a b θθ，点A 到直线OM 的距离为d ，由此OM 所在直线方程为0nx my -=，
(
)d θϕ∴=
=+，
其中sin cos ϕϕ⎧
=⎪
⎪
⎨⎪=
⎪⎩
，可得tan an bm ϕ=-
要使d 取得最大值，则必有()sin 1θϕ+=±，即,2
k k Z π
θϕπ+=+∈
∴此时必有,2
k k Z π
θπϕ=+-∈，由题设，当d 取得最大值时，
22t a n t a n c o t 2AB
b b b b bm b m
k k a a a
a an a n
πθπϕϕ-⎛⎫⎛⎫==⋅+-=⋅=⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴此时22
22AB OM
b m n b k k a n m a
⋅=-⋅=-，
可以验证，在第（2）题条件下，1
4
AB OM k k ⋅=-
是以上结论的一个特例。