湖北省长阳县第一高级中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(含精品解析)

长阳一中2017-2018学年度第二学期期末考试
高二数学（理科）试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1. 已知复数，则复数的虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由复数的乘除法法则计算出复数，再由定义可得．
详解：，虚部为．
故选C．
点睛：本题考查的运算复数的概念，解题时根据复数运算法则化复数为简单形式，可得虚部与实部．
2. 设集合，则（）
A. [－4，－2]
B. (－∞，1]
C. [1，＋∞)
D. (－2，1]
【答案】B
【解析】分析：先解不等式得出集合B，再由集合的运算法则计算．
详解：由题意，，∴．
故选B．
点睛：本题考查集合的运算，解题关键是确定集合的元素，要注意集合的代表元是什么，由代表元确定如何求集合中的元素．
3. 下列选项叙述错误的是（）
A. 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”
B. 若命题，则
C. 若为真命题，则，均为真命题
D. 若命题为真命题，则的取值范围为
【答案】C
【解析】分析：根据四种命题的关系进行判断A、B，根据或命题的真值表进行判断C，由全称命题为真的条件求D中参数的值．
详解：命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，A正确；若命题
，则，B正确；若为真命题，则，只要有一个为真，C错误；若命题为真命题，则，，D正确．
故选C．
点睛：判断命题真假只能对每一个命题进行判断，直到选出需要的结论为止．命题考查四种命题的关系，考查含逻辑连接词的命题的真假以及全称命题为真时求参数的取值范围，掌握相应的概念是解题基础．
4. 已知函数，则不等式的解集是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】即函数f(x)为奇函数，
函数的导数，
则函数f(x)是减函数，
则不等式等价为，
即，
解得，
故不等式的解集为(3,+∞).
故选：C.
5. 若，均为单位向量，且，则与的夹角大小为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由向量垂直得向量的数量积为0，从而求得，再由数量积的定义可求得夹角．
详解：∵，∴，∴，
∴，∴．
故选C．
点睛：平面向量数量积的定义：，由此有，根据定义有性质：
．
6. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的分别为63,98，则输出的（）
A. 9
B. 3
C. 7
D. 14
【答案】C
【解析】由，不满足，则变为，由，则变为，由，则，
由，则，由，则，由，则，由，退出循环，则输出
的值为，故选C.
7. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长
为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 ( )
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
【答案】B
【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内
只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为，故选B.
点睛:三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.
8. 若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截
得的弦长为2，则的离心率为（）
A. 2
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．
点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
9. 设函数, ( )
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
【答案】C
【解析】分析：由－2＜1，知两个函数值要选用不同的表达式计算即可．
详解：，，
∴．
故选C．
点睛：本题考查分段函数，解题时要根据自变量的不同范围选用不同的表达式计算．
10. 如图，长方形的四个顶点坐标为O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2),曲线经过点B,现将质点随
机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影部分的概率为 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由定积分可得，阴影部分的面积为：，
由几何概型公式可得： .
本题选择A选项.
点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形
中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A)=.
11. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，为球的直径且
，则点到底面的距离为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径且，∴球心是的中点，
球半径，过作平面，垂足是，∵满足，，∴是
中点，且，∴，∴点到底面的距离为，故
选B．
12. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=，|DE|=，
则C的焦点到准线的距离为 ( )
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
【答案】C
考点：抛物线的性质.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若实数满足则的最小值为_______．
【答案】
【解析】略
视频
14. 设是数列的前n项和，且，，则________．
【答案】
【解析】分析：把换成，可得的递推式，从而得通项．
详解：，，∴，∴数列是首项和公差都为－1的等差数列，
∴，从而．
故答案为．
点睛：在已知项和前项和的关系中，常常得用得出的递推式，从而求得数列的通项公式，但有时也可转化为的递推式，得出与有关的数列是等差数列或等比数列，先求得，然后再去求．解题时要注意的求法．
15. 某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有 _______ .
【答案】120
【解析】分析：把丙丁捆绑在一起，作为一个元素排列，然后把甲插入，注意丙丁这个元素的位置不同决定着甲插入的方法数的不同．
详解：．
故答案为120．
点睛：本题考查排列组合的应用．排列组合中如果有元素相邻，则可用捆绑法，即相邻的元素捆绑在一起作为一个元素进行排列，当然它们之间也要全排列，特殊元素可优先考虑．注意分类与分步结合，不重不漏．
16. 我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法
——“三斜求积术”，即△ABC的其中a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.若b=2，且tan C=，则△ABC的面积S的最大值为________.
【答案】
【解析】分析：把已知等式切化弦后交叉相乘，由两角和的正弦公式和正弦定理得，再把它与代入面积公式化简变形可得．
详解：∵．∴，
，∴，
把代入面积公式得，∴当时，面积取最大值．
故答案为．
点睛：本题考查三角形面积的求法，考查用正弦定理进行边角互化，解题时要小心仔细计算，考查了运算求解能力．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

17. 的内角的对边分别为.
已知
（1）求；
（2）设为边上一点，且，求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出从而可得的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长的值；（2）先根据余弦定理求出，求出的长，可得，从而得到
，进而可得结果.
试题解析：（1），，由余弦定理可得，
即，即，解得（舍去）或，故.
(2)，，，，
，.
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.
（1）证明：平面P AB⊥平面P AD；
（2）若P A=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．
由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面P AD．
又AB平面P AB，所以平面P AB⊥平面P AD．
（2）在平面内作，垂足为，
由（1）可知，平面，故，可得平面.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.
由（1）及已知可得，，，.
所以，，，.
设是平面的法向量，则
即
可取.
设是平面的法向量，则
即可取.
则，
所以二面角的余弦值为.
【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：
①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；
②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；
③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.
19. 随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店．
（1）若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（2）若从这10名购物者中随机抽取3名，设表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）；（2）.
【解析】【试题分析】（1）先求事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”概率，再运用对立事件的概率公式求至少1名倾向于选择实体店的概率；（2）先确定随机变量取法，分别求出对应概率，列表可得分布列，最后运用随机变量的数学期望公式计算出数学期望
解：（1）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，
则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，
则P（A）=1﹣P=1﹣=．
（2）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，
P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．
E（X）=0×+1×+2×+3×=．
20. 已知椭圆C:经过点, 是椭圆的两个焦点，，是椭圆上的一个动点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在第一象限，且,求点的横坐标的取值范围；
【答案】（1）；（2）.
【解析】分析：（1）由焦距得出焦点坐标，求出点M到两焦点的距离之和即为，从而可得；
（2）用参数方程，设（），然后计算向量的数量积，可求得范围．
详解：（1）由已知得，，∴，
，同理，
∴，，∴，
椭圆标准方程为．
（2）设（），
则，，
∴，
∴，即点横坐标取值范围是．
点睛：在求椭圆的标准方程时，能用定义的就用定义，如已知曲线上一点坐标，两焦点坐标，可先求得此点到两焦点距离之和得出，再由求得，从而得标准方程．这种方法可减少计算量，增加正确率．21. 设函数。

（1）证明：在单调递减，在单调递增；
（2）若对于任意，都有，求m的取值范围。

【答案】（1）在单调递减，在单调递增；（2）.
【解析】（Ⅰ）．
若，则当时，，；当时，，．
若，则当时，，；当时，，．
所以，在单调递减，在单调递增．
考点：导数的综合应用．
22. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】分析：（1）由绝对值的定义分类去掉绝对值符号后解一元一次不等式，最后合并可得解集；
（2）不等式化为，利用绝对值的性质有
详解：（1）
当时，无解；
当时，由得，，解得；
当时，由解得
所以的解集为
（2）由得，而
且当时，
故的取值范围为
点睛：解含绝对值的不等式一般都是根据绝对值的定义分类去掉绝对值符号，然后再解不含绝对值的不等
式，有时根据不等式的形貌直接由绝对值性质求解，如，或
．。