离散数学 第6章 格(祝清顺版)

格与布尔代数的简介
离散数学
第六章 格与布尔代数
2007年8月20日
Discrete Mathematics
第1节 格的基本概念
科学出版社
主讲：祝清顺 教授
本节主要内容
1. 概念 一.格的定义
2. 对偶原理
3. 基本性质
二.格是代数系统
1. 作为代数系统的格的定义 2. 偏序集合的格与代数集合的格的关系 1. 子格 三.子格
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对偶原理
格的对偶原理表述如下: 设P是对任意格都为真的命题, 如果在命题P中把≤换成 ≥ (或把≥换成≤), ∨换成∧, ∧换成∨, 就得到另一个命 题P, 我们把P称为P的对偶命题, 则P对任意格也是真的命 题. 例如, P: a∧b＝b∧a P: a∨b＝b∨a
用盖住的性质画出偏序集图或称哈斯图，其作图规则为：
(1)小圆圈代表元素。 (2) 如果 x≤y 且x≠y，将代表 y 的小圆圈画在代表 x 的小 圆圈之上。 (3)如果<x, y>∈covA，则在x与y之间用直线连结。
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知识回顾
4. 上界、下界
定义 4 ：设 (A ，≤ ) 是一偏序集，对于 BA ，如有a∈A， 且对任意元素x∈B，都有x≤a ，则称a为 B的上界。同理， 对任意元素x∈B，都有a≤x，则称a为B的下界。 5.最小上界和最大下界 定义 5 ：设 (A ，≤ ) 是一偏序集且 BA ， a 是 B 的任一上 界，若对B的所有上界 y均有a≤y ，则称 a是B 的最小上界，
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格与布尔代数的简介
格与布尔代数的具体应用：
格与布尔代数在计算机科学中具有非常重要的应用，如
在保密学、计算机语言学、开关理论、计算机理论和逻辑
设计以及其它一些科学和工程领域中都直接应用了格与布
尔代数。
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x, y∈P(B)，x∨y就是x∪y，x∧y就是x∩y。
由于∪和∩运算在P(B)上是封闭的，所以x∪y，x∩y∈ P(B)。 称(P(B), ), 为B的幂集格。
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例题
例3 偏序集下图中的哪些哈斯图是格, 并说明理由。
d c b a d b f e c b a
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例题
例4 设S是任意集合, L＝(S)是它的幂集, 则
偏序集(L, )是格, 它的对偶格是(L, ),
这里 是“包含于”, 是“包含”. 在偏序集(L, ) 中, A∧B是集合A∪B, A∨B 是集合 A∩B.
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Discrete Mathematics
第6章 格
科学出版社
主讲：祝清顺 教授
基本内容
1
偏序格与代数格
22
3 4
集合的表示方法 格的性质
子格 特殊格
5
布尔代数
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第六章 格与布尔代数
2007年8月20日
第6章 格与布尔代数
格与布尔代数：它们都是具有两个二元运算的代数系统， 这两个代数系统与前面所讨论的代数系统之间存在重要的 区别：在格与布尔代数中，偏序关系具有重要意义。 为了强调偏序关系的重要作用，我们将分别从偏序集与代 数系统论两个方面引入格的概念，给格附加一定的限制之 后，格就转化为布尔代数，即布尔代数是特殊的格。 本章先介绍格, 在此基础上引入分配格和有补格, 而把布 尔代数作为一种特殊的格加以讨论. 布尔代数 格
代数得到了严谨的处理。
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格与布尔代数的简介
1938年, C. E. Shannon发表的A Symbolic Analysis
of Relay and Switching Circuits 论文，为布尔代数
在工艺技术中的应用开创了先河 , 自此以后布尔代数在 自动推理和逻辑电路设计的分析和优化等问题的讨论中 都有着最直接的应用 , 作为计算机设计基础的《数字逻 辑》就是布尔代数. 格是一种兼有序与代数重要结构，它与模糊数学等现代 数学有着十分紧密的关系。
说明 在格中分配不等式成立。 一般说来，格中的∨和∧运算并不是满足分配律的。
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格的运算性质
定理4 (模不等式) 设(L, ≤)是格, 对于任意a, b, cL, 则
a≤c 当且仅当 a∨(b∧c)≤(a∨b)∧c.
[证] 设a≤c. 根据最小上界定义, a∨c＝c. 由定理3的第
对于B中的每一个元素x，有b≤x，则称b为(B，≤)的最
小元。
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知识回顾
3.哈斯图
定义 3 ：在偏序集 (A ，≤ ) 中，如果 x 、y∈A， x≤y ，
x≠y，且没有其他元素z，使x≤z，z≤y，则称元素y盖住 元素x。记为：covA={<x，y>|x、y∈A，y盖住x}。 对于给定偏序集(A, ≤), 它的盖住关系是唯一的, 所以可
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(6)
格的运算性质
定理3(分配不等式) 设L是格，证明 a, b, c∈L 有 a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c)
[证]
由 a≤a，b∧c≤b 得
a∨(b∧c)≤a∨b 由 a≤a，b∧c≤c 得 a∨(b∧c)≤a∨c 从而得到 a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c)
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子格
定义2 设(L,∧,∨)是格，S是L的非空子集，若S关于L中
的运算∧和∨仍构成格，则称S是L的子格。
例5 设格L如右图所示。令
S1＝{a, e, f, g}
S2＝{a, b, e, g}
则S1不是L的子格，S2是L的子格。
因为对于e和f, 有e∧f＝c， 但cS1。
一式得
a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c)＝(a∨b)∧c. 反之, 设a∨(b∧c)≤(a∨b)∧c. 由最小上界定义, a≤a∨(b∧c). 由最大上界的定义, (a∨b) ∧c≤c. 由偏 序的传递性, 便得a≤c.
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2. 格同态
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知识回顾
1.偏序集 定义1：设A是一个集合，如果A上的一个关系R满足自 反性、反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系， 记作≤, (A, ≤)称作偏序集。 2. 最大元、最小元 定义 2 ：设 (A ，≤ ) 是一个偏序集，且 B 是 A 的子集， 若有某个元素 bB ，对于 B 中的每一个元素 x ，有x≤b， 则称b为(B，≤)的最大元；同理，若有某个元素 bB，
(3) 若a≤b且c≤d, 则a∨c≤b∨d, a∧c≤b∧d.
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格的运算性质
定理3 设(L, ≤)是格，则运算∨和∧适合交换律、结合律 、幂等律和吸收律，即
(1)交换律 a, b∈L 有
a∨b＝b∨a (2)结合律 a, b, c∈L 有 (a∨b)∨c＝a∨(b∨c) (3)幂等律 a∈L 有 (a∧b)∧c＝a∧(b∧c) a∧b＝b∧a
的最小上界和最大下界看成x与y的二元运算∨和∧。
说明
x∨y：表示x与y的最小上界，∨读作“并”；
x∧y：表示x和y的最大下界，∧读作“交”。 本章出现的∨和∧符号只代表格中的运算，而不再 有其它的含义。
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格的实例
例1 设n是正整数，Sn是n的正因子的集合。D为整除关系, 则偏序集(Sn, D)构成格。x,y∈Sn，
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对偶原理说明
应用对偶原理的注意事项: P是对任意格都为真的命题, 其对偶命题才为真, 否则对 某个特殊的偏序集合(L, ≤)为真的命题, 在(L, ≥)中未必为 真. 例如, L＝Z, ≤表示普通数目的大小顺序, 则偏序集合(L, ≤)有最小元0, 由此, 并不能应用对偶原理, 得出“(L, ≥) 有最大元”这个结论. 说明 许多格的性质都是互为对偶的. 有了格的对偶原理, 在证明格的性质时, 只须证明其中的一个命题即可.
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格与布尔代数的简介
起源与发展： 布尔代数最初是作为对逻辑思维法则 的 研 究 而 提 出 的 ， 英 国 数 学 家 George Boole在1847年左右利用数学方法研究了 类与类之间的关系法则。他的研究后来发 展成为一个数学分支——布尔代数。 自布尔之后，许多数学家对布尔代数一般化作了努力，在 奠 基 工 作 方 面 ， 丰 廷 顿 (E. V. Hungtington) 、 雪 佛 尔 (H.M. Sheffer)和斯通(E. H. Stone)都做出了贡献。布克霍 夫(G. Birkhoff)和麦克朗(S.Maclane)的研究进一步使布尔
记作lubB。同理，b是B的任一下界，若对B的所有下界z
均有z≤b，则称b是B的最大下界，记作glbB。
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格的定义
定义1 设(S, ≤)是偏序集，如果x, y∈S，{x, y}都有最
小上界和最大下界，则称S关于偏序≤作成一个格。 由于最小上界和最大下界的唯一性，可以把求{x, y}
x∨y=lcm(x, y)，即x与y的最小公倍数。
x∧y=gcd(x, y)，即x与y的最大公因数。 下图给出了格(S8, D)，(S6, D)和(S30, D)。
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例题
例2 判断偏序集 (P(B), )，其中P(B)是集合B的幂集, 是否构成格, 并说明理由。 [解] 是格。
a∨a＝a
(4)吸收律 a,b∈L 有
a∧a＝a a∧(a∨b)＝a
2007年8月20日
a∨(a∧b)＝a
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定理3证明
(1) a∨b和b∨a分别是{a, b}和{b, a}的最小上界。 由于{a,b}＝{b, a}，所以a∨b＝b∨a。 由对偶原理，a∧b＝b∧a得证。 (2) 由最小上界的定义有 (a∨b)∨c≥a∨b≥a (1) (a∨b)∨c≥a∨b≥b (2) (a∨b)∨c≥c (3) 由式2和3有 (a∨b)∨c≥b∨c (4) 再由式1和4有 (a∨b)∨c≥a∨(b∨c) (a∨b)∨c≤a∨(b∨c) 根据偏序关系的反对称性有 (a∨b)∨c＝a∨(b∨c) 由对偶原理，(a∧b)∧c＝a∧(b∧c)得证。
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格的运算性质
定理2 设(L, ≤)是格, 对于对于任意的a, b, c, dL, 都
有
性 质
(1) a≤a∨b 且b≤a∨b; (2) 若a≤c且b≤c, 则 a∧b≥c.
对偶形式
a≥a∧b 且≥a∧b. 若a≥c且b≥c, 则 a∨b≤c;
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定理3证明
(3) 显然a≤a∨a,
又由a≤a可得 a∨a≤a。
根据反对称性有
a∨a＝a，
由对偶原理，a∧a＝a 得证。 (4)显然 a∨(a∧b)≥a (5)
又由 a≤a，a∧b≤a 可得 a∨(a∧b)≤a 由式5和6可得 a∨(a∧b)＝a， 根据对偶原理，a∧(a∨b)＝a 得证。
f
d c b
e d a
g
c
(Ⅰ )
a (Ⅱ )
e b c d a
(Ⅴ )
(Ⅲ )
( )
[解] 哈斯图(Ⅰ), (Ⅲ)和(Ⅴ)表示格. 图(Ⅱ)不表示格, 因为 d∧e和b∨c都不存在. 图(Ⅳ) 不表示格, 因为f ∨g不存在.
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对偶原理
给定一个偏序集合(L, ≤), ≤的逆关系≥也是S中的偏序 关系, (L, ≥)也是偏序集合, 我们称偏序集合(L,≤)和(L,≥)互为 对偶. 从图形上看, 后者的哈斯图就是前者哈斯图的上下颠倒. 如果A S, 则关系≤的glb(A)对应于≥的lub(A), ≤的 lub(A)对应于≥的glb(A). 容易证明: 如果(L, ≤)是一个格, 则(L, ≥)也是一个格, 我 们称这两个格互为对偶。