2024届湖南省邵东县第一中学高一数学第二学期期末考试模拟试题含解析

2024届湖南省邵东县第一中学高一数学第二学期期末考试模拟
试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm )进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )
A ．20，22.5
B ．22.5，25
C ．22.5，22.75
D ．22.75，22.75
2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若
sin 5sin 2A c
B b
=，7sin B =
，57ABC S =△b =（ ） A ．23B ．27C 15D 14
3．在数列{}n a 中，若12a =，()*121
n
n n a a n a +=
∈+N ，则5a =（ ） A ．
4
17
B ．
317 C ．
217
D ．
517
4．电视台某节目组要从2019名观众中抽取100名幸运观众．先用简单随机抽样从
2019人中剔除19人，剩下的2000人再按系统抽样方法抽取100人，则在2019人中，
每个人被抽取的可能性（ ）
A ．都相等，且为100
2019
B ．都相等，且为120
C ．均不相等
D ．不全相等
5．若两等差数列{}n a ，{}n b 前n 项和分別为n A ，n B ，满足
()73416n n A n n N B n *+=∈+，则1111
a b 的值为( ). A ．
74
B ．
32
C ．
43
D ．
7871
6．已知，则
（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．-1
7．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则
cos 2A =（ ）
A ．
78
B ．
18
C ．78
-
D ．18
-
8．同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为( )
A ．
14 B ．16 C ．19 D ．
112
9．若m 是2与8的等比中项，则m 等于( )
A ．12
B ．4±
C ．4-
D ．32
10．若直线l 过两点(1,2)A ，(3,6)B ，则l 的斜率为（ ） A ．
12
B ．12
-
C ．2
D ．2-
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知指数函数[]0,2x
y a =在上的最大值与最小值之和为10，则a =____________。

12．设ABC ∆的内角A ∠、B 、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，且满足
3cos cos 5a B b A c -=.则tan tan A
B
=______.
13．函数()2sin cos 1y x x x R =-∈的值域是______． 14．在数列{}n a 中，若113,4n n a a a +==+，则5a =____．
15．已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin cos αα+的值为__________．
16．已知cot m α=（02
π
α-
<<），则cos α=________.（用m 表示）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。

17．如图，在平面四边形ABCD 中，22,
2,2AB BC AC ===.
（Ⅰ）求cos BAC ∠；
（Ⅱ）若45,90D BAD ∠=∠=，求CD .
18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且(
)*
122,n n S S n n n N
-=+≥∈
()1求n S
()2若数列{}n b 满足2n
a
n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
19．泉州与福州两地相距约200千米，一辆货车从泉州匀速行驶到福州，规定速度不得超过a 千米/时，已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v 千米/时的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为64元. （1）把全程运输成本y 元表示为速度v 千米/时的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？
20．已知向量(1,0)a =，(sin 2,1)b x =--，(2sin ,1)c x =+，(1,)d k =(,)x k R ∈． （1）若[,]x ππ∈-，且()//a b c +，求x 的值； （2）对于()11,m x y =，()22,n x y =，定义12211
(,)2
S m n x y x y =
-．解不等式1(,)2
S b c >
； （3）若存在x ∈R ，使得()()a b c d +⊥+，求k 的取值范围．
21．已知{}n a 是等差数列，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()121n n b b S =+，10b ≠，又224a b =，7311a b +=.
（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）令()
*
n n n c a b n N =∈，求{}n c 的前n 项和n T .
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、C 【解题分析】
根据平均数的定义即可求出．根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可． 【题目详解】
：根据频率分布直方图，得平均数为1
（12.1×
0.02+17.1×0.04+22.1×0.08+27.1×0.03+32.1×0.03）＝22.71， ∵0.02×1+0.04×1＝0.3＜0.1， 0.3+0.08×1＝0.7＞0.1； ∴中位数应在20～21内， 设中位数为x ，则
0.3+（x ﹣20）×0.08＝0.1， 解得x ＝22.1；
∴这批产品的中位数是22.1． 故选C ． 【题目点拨】
本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数平均数的应用问题，是基础题目． 2、D 【解题分析】 利用正弦定理化简
sin 5sin 2A c
B b
=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c ，由
sin B =
，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 【题目详解】 由于
sin 5sin 2A c B b
=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即5
2a c =
由于在ABC
中，sin 4B =
，4
ABC S =△
，所以1sin 24
ABC
S ac B =
=
，
联立521
sin 2sin a c ac B B ⎧
=⎪⎪
⎪=
⎨⎪⎪=
⎪⎩
，解得：5a =，2c = 由于B
为锐角，且sin 4
B =
，所以3cos 4B ==
所以在ABC 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=
，故b =数舍去） 故答案选D 【题目点拨】
本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题． 3、C 【解题分析】
利用倒数法构造等差数列，求解通项公式后即可求解某一项的值. 【题目详解】 ∵121
n n n a a a +=
+，∴1211n n n a a a ++=，即111
2n n a a +-=， 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是首项为1
2，公差为2的等差数列，∴()11143122n n n a a -=+-⨯=， 即243n a n =
-，∴52
17
a =．故选C ．
【题目点拨】 对于形如1(0)n n n Aa a AB Ba A +=
≠+，可将其转化为11
1(0)
n n n n Ba A B AB a Aa a A
++==+≠的等差数列形式，然后根据等差数列去计算.
4、A 【解题分析】
根据随机抽样等可能抽取的性质即可求解. 【题目详解】
由随机抽样等可能抽取，可知每个个体被抽取的可能性相等， 故抽取的概率为100
2019
. 故选：A 【题目点拨】
本题考查了随机抽样的特点，属于基础题. 5、 B 【解题分析】
解：因为两等差数列{}n a 、{}n b 前n 项和分别为n A 、n B ，
满足73()416
n n A n n N B n ++=∈+，故
1121112132
a S
b T ==,选B 6、D 【解题分析】 ∵，
∴
，
，故选D.
7、C 【解题分析】
根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【题目详解】
∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C
∴sin C ＝4cos A sin C ∵1＜C ＜π，sin C ≠1． ∴1＝4cos A ，即cos A 14
=
， 那么2
7cos2218
A cos A =-=-
． 故选C 【题目点拨】
本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题． 8、C 【解题分析】
求出基本事件空间，找到符合条件的基本事件，可求概率. 【题目详解】
同时掷两枚骰子,所有可能出现的结果有：
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)
共有36种，点数之和为5的基本事件有：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4种；
所以所求概率为41
369
P ==.故选C. 【题目点拨】
本题主要考查古典概率的求解，侧重考查数学建模的核心素养. 9、B 【解题分析】
利用等比中项性质列出等式，解出即可。

【题目详解】
由题意知，228m =⨯，∴4m =±． 故选B 【题目点拨】
本题考查等比中项，属于基础题。

10、C 【解题分析】
直接运用斜率计算公式求解. 【题目详解】
因为直线l 过两点()1,2A ，()3,6B ，所以直线l 的斜率62
231
k -==-，故本题选C. 【题目点拨】
本题考查了斜率的计算公式，考查了数学运算能力、识记公式的能力.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、3 【解题分析】
根据1a >和01a <<时x y a =的单调性可确定最大值和最小值，进而构造方程求得结果.
【题目详解】
当1a >时，x y a =在[]0,2上单调递增 2
max y a ∴=，0
min 1y a ==
2110a ∴+=，解得：3a =或3-（舍）
当01a <<时，x y a =在[]0,2上单调递减 0
max 1y a ∴==，2
min y a =
2110a ∴+=，解得：3a =（舍）或3-（舍）
综上所述：3a = 故答案为：3 【题目点拨】
本题考查利用函数最值求解参数值的问题，关键是能够根据指数函数得单调性确定最值点. 12、4 【解题分析】
解法1 有题设及余弦定理得
2222223225
c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅= 22235a b c ⇒-=.
故222
222tan sin cos 2tan sin cos 2c a b a A A B ca b c a B B A b bc
+-⋅
⋅==+-⋅⋅
222222
4c a b c b a +-==+-. 解法2 如图4，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D .则
cos a B DB =，cos b A AD =.
由题设得3
5
DB AD c -=
.又DB DA c +=，联立解得 15AD c =，4
5DB c =.故
tan 4tan CD
A D
B AD CD B AD
DB
===.
解法3 由射影定理得cos cos a B b A c +=. 又3
cos cos 5
a B
b A
c -=
，与上式联立解得 4cos 5a B c =，1cos 5b A c =.故tan sin cos cos 4tan sin cos cos A A B a B
B B A b A
⋅===⋅.
13、[]
2,0- 【解题分析】
将函数化为sin()y A x B ωϕ=++ 的形式，再计算值域。

【题目详解】
因为2sin cos 1=sin 21y x x x =--()x R ∈ 所以[2,0]y ∈- 【题目点拨】
本题考查三角函数的值域，属于基础题。

14、19 【解题分析】
根据递推关系式，依次求得2345,,,a a a a 的值. 【题目详解】
由于113,4n n a a a +==+，所以21324347,411,415a a a a a a =+==+==+=，
54419a a =+=.
故答案为：19 【题目点拨】
本小题主要考查根据递推关系式求数列某一项的值，属于基础题.
15、15
-
【解题分析】
按三角函数的定义，有431sin cos 555
αα-+=
+=-.
16、【解题分析】
根据同角三角函数之间的关系，结合角所在的象限，即可求解. 【题目详解】 因为cot m α=，02
π
α-<<
所以
cos sin m α
α
=，0m <
故22222cos cos sin 1cos m αααα==-，解得cos α=， 又02
π
α-
<<，0m <，
所以cos α=
故填【题目点拨】
本题主要考查了同角三角函数之间的关系，三角函数在各象限的符号，属于中档题.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（Ⅰ）8
；（Ⅱ）52.
【解题分析】
（Ⅰ）在ABC ∆中利用余弦定理即可求得结果；（Ⅱ）在ACD ∆中利用正弦定理构造方程即可求得结果. 【题目详解】
（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理可得：
222cos
2AB AC BC BAC AB AC +-∠===
⋅
（Ⅱ）90DAC BAC ∠=-∠
sin cos DAC BAC ∴∠=∠=， 在ACD ∆中，由正弦定理可得：sin sin 45CD AC DAC =∠
，即：82
= 解得：52
CD = 【题目点拨】
本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，考查公式的简单应用，属于基础题.
18、（1）2
n S n n =+；（2）1443n +-. 【解题分析】
（1）由2n ≥时，12n n n a S S n -=-=，再验证12a =适合2n a n =，于是得出2n a n =，再利用等差数列的求和公式可求出n S ；
（2）求出数列{}n b 的通项公式，判断出数列{}n b 为等比数列，再利用等比数列的求和公式求出数列{}n b 的前n 项和n T ．
【题目详解】
（1）当2n ≥且n *∈N 时，12n n n a S S n -=-=；
12a =也适合上式，所以，()2n a n n N *=∈，则数列{}n a 为等差数列， 因此，()()122222
n n n a a n n S n n ++===+； （2）24n a n n b ==，且1
1444
n n n n b b ++==，所以，数列{}n b 是等比数列，且公比为4， 所以()141444143
n n n T +--==-． 【题目点拨】
本题考查数列的前n 项和n S 与数列通项的关系，考查等差数列与等比数列的求和公式，考查计算能力，属于中等题．
19、（1）128002y v v
=+,(]0,v a ∈；（2）80a ≥，货车应以80v =千米/时速度行驶，080a <<货车应以v a =千米/时速度行驶
【解题分析】
（1）先计算出从泉州匀速行驶到福州所用时间，然后乘以每小时的运输成本（可变部分加固定部分），由此求得全程运输成本，并根据速度限制求得定义域.
（2）由
128002v v
=，80v =，对a 进行分类讨论.当80a ≥时，利用基本不等式求得行驶速度.当080a <<时，根据128002y v v =+的单调性求得行驶速度. 【题目详解】
（1）依题意一辆货车从泉州匀速行驶到福州所用时间为
200v 小时， 全程运输成本为220020012800640.012y v v v v v
=⨯+⨯=+， 所求函数定义域为(]0,v a ∈；
（2）当80a ≥时，
故有128002320y v v =+≥=， 当且仅当
128002v v =，即80v =时，等号成立. 当080a <<时， 易证128002y v v
=+在(]0,v a ∈上单调递减 故当v a =千米/时，全程运输成本最小.
综上，为了使全程运输成本最小，80a ≥，货车应以80v =千米/时速度行驶， 080a <<货车应以v a =千米/时速度行驶.
【题目点拨】
本小题主要考查函数模型在实际生活中的应用，考查基本不等式求最小值，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
20、（1）6π-或56π-（2）5,,66x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭
（3）[]5,1k ∈-- 【解题分析】
（1）由题()sin 1,1a b x +=--,由()//a b c +可得()sin 12sin x x -=-+,进而求解即可；
（2）由题意得到()()()1,sin 22sin sin 2
S b c x x x =-++=,进而求解即可； （3）由()()a b c d +⊥+可得()()0a b c d +⋅+=,整理可得k 关于x 的函数,进而求解
即可
【题目详解】
（1）由题,()sin 1,1a b x +=--,
因为()//a b c +,所以()sin 12sin x x -=-+,则1sin 2x =-
, 因为[,]x ππ∈-,所以6x π=-或65x π=- （2）由题,()()()1,sin 22sin sin 2S b c x x x =-++=, 因为1(,)2
S b c >,所以1sin 2x >, 当[]0,x π∈时,566
x ππ<<, 因为sin y x =是以π为最小正周期的周期函数,
所以5,,66x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭
（3）由（1）()sin 1,1a b x +=--,由题,()3sin ,1c d x k +=++,
若()()a b c d +⊥+,
则()()()()()sin 13sin 10a b c d x x k +⋅+=-+-+=,
则()2
2sin 2sin 4sin 15k x x x =+-=+-, 因为[]sin 1,1x ∈-,所以[]5,1k ∈--
【题目点拨】
本题考查共线向量的坐标表示,考查垂直向量的坐标表示,考查解三角函数的不等式
21、（1）12n n b -=，n a n =
（2）(1)21n n T n =-+
【解题分析】
（1）运用数列的递推式，以及等比数列的通项公式可得{}n b ，{}n a 是等差数列，运用等差数列的通项公式可得首项和公差，可得所求通项公式；
（2）求得12
n n n n c a b n -==⋅，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，
即可得到所求和.
【题目详解】
（1）()121,0n n n b b S b =+≠
当1n =时，()()1111112111b b S b b b =+=+∴=；
当2n ≥时，()11121n n b b S --=+，且()121n n b b S =+
相减可得：111222n n n n n n n b S S b b b b ---∴-=-==
故：12n n b -=
{}n a 是公差为d 的等差数列， 224a b =，7311a b +=即为：
112,67a d a d +=+=11,1n a d a n ∴==∴=.
（2）12
n n n n c a b n -==⋅，
前n 项和： 1112234...2n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅
232122232...2n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅
两式相减可得： 112124...22212n
n n
n n T n n ---=++++-⋅=-⋅- 化简可得：(1)21n n T n =-+
【题目点拨】
本题考查了数列综合问题，考查了等差等比数列的通项公式，项和转化，乘公比错位相减等知识点，属于较难题.。